Итак, теперь можно заняться детальным исследованием квантовой теории. Техническое содержание основных идей довольно простое – сложно лишь примириться с тем, что они бросают вызов нашим предубеждениям по поводу устройства мира. Мы уже говорили, например, что частицу можно представить в виде множества маленьких циферблатов, расставленных здесь и там, и что длина стрелки такого циферблата (возведенная в квадрат) соответствует вероятности, с которой частицу можно обнаружить в конкретном месте. Циферблаты – это не суть системы, а математический инструмент, которым мы пользуемся, чтобы вычислить шансы найти где-то нашу частицу. Мы привели правило сложения циферблатов, необходимое для описания феномена интерференции. Сейчас нам нужно окончательно свести концы с концами и сформулировать правило, которое объясняло бы, как циферблаты изменяются от одного момента к другому. Это правило послужит заменой первому закону Ньютона в том смысле, что позволит спрогнозировать действия частицы, оставленной в покое. Сначала представим одиночную частицу в некоторой точке.

Мы знаем, как представлять частицу в точке (рис. 4.1). Итак, изображен одиночный циферблат с длиной стрелки 1 (потому что 1 в квадрате – это и есть 1, стало быть, вероятность найти частицу в этой точке равна 1, то есть 100 %). Предположим, что на циферблате 12 часов, хотя этот выбор совершенно произволен. С точки зрения вероятности стрелка часов может указывать в любом направлении, но надо же с чего-то начать, так что условимся на 12 часов. Мы хотим добиться ответа на следующий вопрос: каковы шансы того, что частица позже будет находиться где-то еще? Иными словами, сколько еще циферблатов нужно нарисовать и где их поместить в следующее мгновение? Исааку Ньютону на такой очевидный вопрос отвечать было бы даже скучно: если мы размещаем где-то частицу и ничего с ней не делаем, она никуда и не движется. Но природа весьма категорично утверждает, что это попросту неверно. На самом деле Ньютон не мог ошибиться еще сильнее.

Рис. 4.1. Одиночный циферблат, представляющий частицу, которая четко локализуется в конкретной точке пространства

А вот и правильный ответ: частица в следующий момент может оказаться в любой точке Вселенной. Это значит, что нам придется нарисовать бесконечное множество циферблатов – по одному для каждой мыслимой точки в пространстве. Это предложение стоит перечитать много раз. Наверное, лучше раскрыть эту мысль.

Допущение, что частица может быть где угодно, эквивалентно полному отсутствию предположений по поводу ее движения. Это самое беспристрастное допущение, которое мы можем сделать, и такое решение обладает определенной аскетической[7] привлекательностью, хотя, по общему признанию, действительно кажется, что оно нарушает все законы здравого смысла, а заодно, возможно, и законы физики.

Циферблат представляет нечто определенное – вероятность того, что частица будет обнаружена на месте этого циферблата. Если мы знаем, что частица находится в конкретном месте в конкретное время, то представляем это в виде одиночного циферблата в этой точке. Но если мы начнем с частицы, находящейся в нулевой момент времени в определенном месте, то для «нулевого момента плюс еще сколько-то времени» придется нарисовать огромное – на самом деле бесконечное – количество других циферблатов, заполняющих всю Вселенную. Так подтверждается возможность того, что частица перепрыгивает в любое другое место в одно мгновение. Наша частица будет одновременно и в нанометре от исходного положения, и в миллиарде световых лет отсюда, в ядре звезды отдаленной галактики. Звучит, говоря по-простому, странно. Но нужно со всей ясностью сказать: теория должна быть способна объяснить двухщелевой эксперимент, и как волна начинает распространяться, если обмакнуть в стоячую воду палец ноги, так и электрон, изначально расположенный в некой точке, должен распространяться с течением времени. Нужно только установить, как именно он распространяется.

Мы предполагаем, что, в отличие от водяной волны, электронная волна распространяется по всей Вселенной мгновенно. В техническом смысле можно сказать, что правило распространения частиц отличается от правила распространения водяной волны, хотя в обоих случаях распространение соответствует «волновому уравнению». Уравнение для водяных волн отличается от уравнения волн-частиц (это то самое знаменитое уравнение Шрёдингера, которое мы упомянули в прошлой главе), но оба они связаны с физикой волн. Различия – в деталях того, как объекты движутся с места на место. Кстати, если вы немного в курсе теории относительности Эйнштейна, то должны бы занервничать, услышав, что мы ведем речь о мгновенных перемещениях частицы по Вселенной, так как получается, словно что-то передвигается быстрее скорости света. На самом же деле идея того, что частица может быть здесь и через мгновение очень далеко отсюда, сама по себе вовсе не противоречит теориям Эйнштейна, потому что суть их в том, что быстрее скорости света не может перемещаться информация, а этому ограничению квантовая теория удовлетворяет. Как мы вскоре увидим, динамика прыжков частиц через Вселенную совершенно не такая, как при передаче информации, потому что мы не можем сказать заранее, куда же прыгнет частица. Кажется, что наша теория строится на полной анархии, и будет вполне естественно, если вы не поверите, что природа так себя может вести. Но далее в этой книге мы убедимся, что порядок нашей повседневной жизни действительно берет свое начало в этом фантастически абсурдном поведении.

Если вам непросто переварить подобную анархию – например, необходимость наполнить всю Вселенную маленькими циферблатами, чтобы описать движение единственной субатомной частицы от одного момента к другому, – то вы в хорошей компании. Снятие покровов с квантовой теории и попытки истолковать ее внутреннюю деятельность поставят в тупик кого угодно. Нильс Бор, например, известен такой фразой: «Те, кто не пришел в ужас при знакомстве с квантовой механикой, просто не могут ее понять». Ричард Фейнман предварил третий том «Фейнмановских лекций по физике» словами: «Думаю, могу с уверенностью сказать, что никто не понимает квантовую механику». К счастью, следовать ее законам гораздо проще, чем пытаться разобраться в ее сути. Способность тщательно рассматривать последствия определенного набора предположений, не слишком затрудняя себя их философским смыслом, – одно из самых важных умений современного физика. Это как раз в духе Гейзенберга: зададим первичные предположения и вычислим их последствия. Если мы получаем набор предсказаний, согласующихся с повседневными наблюдениями, теория признается жизнеспособной.

Многие проблемы слишком сложны, чтобы решить их одним мыслительным усилием, а глубокое понимание редко приходит в моменты, когда ученый кричит «эврика». Нужно убедиться, что вы действительно понимаете каждый мельчайший шаг, и после достаточного количества шагов должно появиться понимание общей картины. В противном случае мы поймем, что пошли по ложному пути и нужно начинать все с начала. Эти мельчайшие шаги, которые мы упомянули, не так сложны, но идея взять один циферблат и превратить его в бесконечное множество циферблатов, безусловно, сложна, особенно если представить себе, что их все надо нарисовать. Вечность, если перефразировать Вуди Аллена, – это очень долго, особенно ближе к концу. Советуем не паниковать и не сдаваться. В любом случае мы имеем дело лишь с кусочком вечности. Наша следующая задача – установить правило, которое будет описывать поведение этих циферблатов в определенное время после запуска частицы.

Это правило – основной закон квантовой теории, хотя впоследствии нам понадобится и второй закон, когда мы перейдем к рассмотрению возможности наличия во Вселенной больше одной частицы. Но начнем по порядку и сначала сосредоточимся на единственной на всю Вселенную частице: никто не обвинит нас в том, что мы хватаемся за все сразу. Итак, она существует в один миг времени – предположим, мы точно знаем, в какой именно, – и представлена единственным циферблатом. Наша конкретная задача – найти правило, описывающее, как будут выглядеть в любой момент все новые циферблаты, рассеянные по Вселенной.

Сначала мы сформулируем это правило, не подводя под него никаких оснований. К тому, почему правило звучит именно так, а не иначе, вернемся через несколько абзацев, но сейчас должны просто принять его на веру. Итак, вот оно: во время t в будущем стрелка циферблата, находящегося на расстоянии x от исходного циферблата, продвинется против часовой стрелки на величину, пропорциональную x²; величина продвижения также пропорциональна массе частицы m и обратно пропорциональна времени t. В записи с помощью символов это значит, что нам нужно повернуть стрелку против хода часов на величину, пропорциональную mx² / t. А если объяснять это словами, то быстрее двигаются по циферблату более массивные частицы, более далекие от исходной точки, а с течением времени ход становится медленнее. Существует алгоритм – или, если угодно, рецепт, – который точно описывает, как определить поведение определенного набора циферблатов в какой-то момент будущего. В каждой точке Вселенной мы рисуем новый циферблат, стрелка которого сдвинута на заданную правилом величину. Это подкрепляет наше предположение о том, что частица может (и так оно и есть) перепрыгивать из начального положения в любую другую точку Вселенной, порождая в процессе движения новые циферблаты.

Для простоты мы представляли только один исходный циферблат, но, конечно, в какой-то момент времени уже может существовать несколько циферблатов, и это отражает постулат, что частица не находится в каком-то определенном месте. Как разобраться с целой кучей циферблатов? Ответ таков: нужно делать то, что мы делали для одного циферблата, и повторять процесс для всех имеющихся циферблатов. Эту идею иллюстрирует рис. 4.2. Первичный набор циферблатов представлен маленькими кружками, а стрелки показывают, как частица перепрыгивает с места каждого первичного циферблата в точку X, «оставляя» там новый циферблат. Конечно, при этом каждый первичный циферблат порождает в точке X новый циферблат, и мы должны сложить их все вместе, чтобы создать окончательный циферблат для точки X. Размер этого окончательного циферблата дает вероятность впоследствии найти частицу в точке X.

.

Рис. 4.2. Прыгающие циферблаты. Окружности соответствуют местонахождению частицы в определенный момент времени; нам необходимо каждой такой точке поставить в соответствие по циферблату. Чтобы вычислить вероятность обнаружения частицы в точке X, мы должны позволить частице прыгнуть туда из всех исходных мест ее пребывания. Несколько таких прыжков обозначено стрелками. Форма линий не имеет никакого значения и уж точно не означает, что частица движется с места нахождения циферблата в точку X по какой-то определенной траектории

Необходимость сложения всех появляющихся в точке циферблатов не так уж странна. Каждый циферблат соответствует специфической траектории, по которой частица могла бы прибыть в точку X. Сложение циферблатов легко понять, если вернуться к двухщелевому эксперименту: мы просто пытаемся перефразировать описание волны для циферблатов. Можем представить два исходных циферблата – по одному у каждой щели. Каждый из них порождает новый циферблат на конкретной точке экрана в одно из последующих мгновений, и мы должны сложить эти два циферблата, чтобы получилась интерференционная фигура[8]. Итак, правило предсказания внешнего вида циферблата в любой точке состоит в том, чтобы перенести в эту точку все исходные циферблаты, один за другим, а потом сложить их все по правилу сложения, описанному в предыдущей главе.

Так как мы решили описывать подобным языком распространение волн, можно использовать его и при размышлениях о более знакомых нам волнах. Самой идее уже много лет. Известно, что голландский физик Христиан Гюйгенс описывал так световые волны еще в 1690 году. Он, конечно, не упоминал воображаемых циферблатов, скорее подчеркивал, что каждую точку световой волны нужно рассматривать в качестве источника вторичных волн (как каждый циферблат порождает множество новых). Эти вторичные волны затем соединяются, что дает новую волну. Процесс повторяется, так что каждая точка новой волны служит источником результирующих волн, которые вновь соединяются друг с другом, и таким способом волна продвигается дальше.

Теперь можно вернуться к тому моменту, который может вызывать ваше справедливое беспокойство. Почему мы выбрали величину mx² / t для определения сдвига часовой стрелки? У этой величины есть имя – это действие – и долгая почтенная история в развитии физики. На самом деле никто пока не понимает, почему эта величина настолько прочно укоренилась в природе, а стало быть, никто не может рационально объяснить, почему стрелки движутся так, как движутся. Возникает вопрос: как вообще кто-то понял, что это так важно? Понятие действия впервые предложил немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц в написанной в 1669 году, но неопубликованной работе, однако он не сумел найти способ производить вычисления с его помощью. Вновь ввел его в 1744 году французский ученый Пьер Луи де Мопертюи, а затем его использовал для формулировки нового и очень мощного принципа природы друг Мопертюи, математик Леонард Эйлер. Представьте себе мяч, летящий по воздуху. Эйлер обнаружил: мяч движется по такой траектории, что действие между двумя точками маршрута будет каждый раз наименьшим. В случае с мячом действие соотносимо с разностью между кинетической и потенциальной энергией мяча[9]. Эта закономерность получила название «принципа наименьшего действия», и он может быть использован как альтернатива ньютоновым законам движения. На первый взгляд, принцип довольно странен, потому что кажется, будто для полета с наименьшим действием шар должен заранее знать, куда он собирается лететь еще до того, как он туда полетит. Как иначе он мог бы лететь по воздуху так, чтобы величина, именуемая действием, каждый раз получалась минимальной, когда он уже пролетел? Если перефразировать, то принцип наименьшего действия кажется телеологическим (так говорят, когда предполагают, что события происходят с целью достичь заранее предопределенного исхода). Телеологические идеи вообще пользуются в науке дурной репутацией, и несложно догадаться почему. В биологии телеологическое объяснение появления сложных существ подкрепляло бы теорию существования творца, в то время как теория эволюции путем естественного отбора, выдвинутая Дарвином, предлагает гораздо более простое объяснение, которое к тому же прекрасно согласуется с имеющимися данными. В теории Дарвина нет телеологического компонента: случайные мутации ведут к появлению вариаций в организмах, а внешнее давление со стороны среды и других живых существ определяет, какие вариации передаются следующим поколениям. Этот процесс – единственный, способный объяснить то многообразие и сложность жизненных форм, которые мы наблюдаем сейчас на Земле. Иными словами, устраняется необходимость божественного промысла и постепенного восхождения организмов к какому-то совершенству. Вместо этого оказывается, что эволюция жизни – случайный путь, который определяется несовершенным копированием генов в постоянно меняющихся условиях внешней среды. Лауреат Нобелевской премии французский биолог Жак Моно даже назвал краеугольным камнем современной биологии «систематическое или аксиоматическое отрицание возможности того, что научное знание может быть получено на основе теорий, которые явным или неявным образом включают в себя телеологический принцип».

У физиков, однако, споры о том, работает ли принцип наименьшего действия, не ведутся, потому что он позволяет производить вычисления, верно описывающие природу, и является краеугольным камнем физики. Можно возразить, что принцип наименьшего действия вовсе не телеологический, но все споры в любом случае закончатся, когда мы возьмем на вооружение подход Фейнмана к квантовой механике. Мяч, летящий по воздуху, «знает», какую траекторию избрать, потому что на самом деле втайне исследует каждую возможную траекторию.

Как же выяснилось, что правило хода стрелок часов имеет нечто общее с величиной, именуемой действием? В исторической перспективе первым такую формулировку квантовой теории, включающей понятие действия, предложил Дирак, но со свойственной ему эксцентричностью опубликовал свое исследование в советском журнале – в знак поддержки советской науки. Статья под названием «Лагранжиан в квантовой механике» была опубликована в 1933 году и пребывала в забвении много лет. Весной 1941 года молодой Ричард Фейнман размышлял, как разработать новый подход к квантовой теории, используя лагранжеву формулировку классической механики (эта формулировка вытекает из принципа наименьшего действия). Однажды вечером на пивной вечеринке в Принстоне он встретил Герберта Йеле, европейского физика, и, как это водится у физиков, после нескольких кружек они начали обсуждать идеи для исследований. Йеле вспомнил давнюю статью Дирака, и на следующий день они нашли ее в Принстонской библиотеке. Фейнман немедленно начал вычисления по методам Дирака, и в течение дня на глазах у Йеле обнаружил, что может вывести уравнение Шрёдингера из принципа наименьшего действия. Это был большой шаг вперед, хотя Фейнман изначально предполагал, что Дирак мог уже сделать то же самое, потому что это ведь было элементарно; да, элементарно, если вас зовут Ричардом Фейнманом. Со временем Фейнману удалось выяснить у Дирака, знал ли тот, как можно использовать его работу 1933 года, если сделать несколько дополнительных математических шагов. Позднее Фейнман вспоминал, что Дирак, лежа на принстонской траве после не самой выдающейся лекции, ответил просто: «Нет, я не знал. Это интересно». Дирак был одним из величайших физиков в истории, но говорил очень мало. Юджин Вигнер, сам принадлежавший к сонму великих, заметил: «Фейнман – это второй Дирак, но на этот раз с человеческим лицом».

Итак, напомним: мы сформулировали правило, которое позволяет зарисовать множество циферблатов, представляющих состояние частицы в некий момент времени. Правило довольно странное: мы наполняем Вселенную бесконечным количеством циферблатов, которые все оказываются связанными друг с другом отношениями, зависящими от тоже довольно странной, но имеющей большое историческое значение величины – действия. Если два или более циферблата оказываются в одном положении в одно и то же время, они суммируются. Правило основано на том, что мы должны предоставить частице свободу перепрыгнуть из любого конкретного места во Вселенной в любое другое место за бесконечно малое время. Мы сразу же сказали: такие абсурдные на вид идеи должны подвергнуться проверке путем столкновения с природой, чтобы убедиться, что получается что-то разумное. Для начала рассмотрим, как из этой кажущейся анархии возникает нечто очень конкретное. Это один из краеугольных камней квантовой теории – принцип неопределенности Гейзенберга.

Принцип неопределенности Гейзенберга – одна из самых неправильно понимаемых частей квантовой теории, тропинка, по которой всякие шарлатаны и поставщики вздора проталкивают свою философскую ерунду. Гейзенберг представил эту концепцию в 1927 году в работе под названием Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik[10], которое с трудом поддается переводу. Самое трудное слово – anschaulich, которое значит то ли «физический», то ли «интуитивный».

Гейзенбергом, возможно, двигало внутреннее раздражение по поводу того, что интуитивно более понятная версия квантовой теории, предложенная Шрёдингером, была принята шире, чем его собственная, несмотря на то что оба метода вели к одинаковым результатам. Весной 1926 года Шрёдингер был уверен, что его уравнение для волновой функции дает физическую картину происходящего внутри атомов. Он считал, что волновую функцию можно визуализировать и что она связана с распространением электрического заряда внутри атома. Это все оказалось неверным, но, по крайней мере, позволило физикам уверенно чувствовать себя всю первую половину 1926 года, пока Борн не предложил вероятностную интерпретацию.

Гейзенберг, с другой стороны, построил свою теорию на абстрактной математике, которая чрезвычайно успешно предсказывала результаты экспериментов, но не подлежала четкой физической интерпретации. Он изложил свое раздражение Паули в письме от 8 июня 1926 года – за несколько недель до того, как Борн метнул свой метафорический гаечный ключ в сторону интуитивного подхода Шрёдингера: «Чем больше я думаю о физической стороне теории Шрёдингера, тем более отвратительной она мне кажется. Там, где Шрёдингер пишет об Anschaulichkeit (наглядности) своей теории… я читаю Mist». Немецкое слово mist переводится как «вздор», «дерьмо»… или «ерунда».

Гейзенберг решил выяснить, что же должно пониматься под «интуитивной картиной», или Anschaulichkeit, физической теории. Что, спросил он себя, квантовая теория должна говорить о таких уже известных свойствах частиц, как их положение? В духе своей оригинальной гипотезы он предположил, что имеет смысл вести речь о положении частицы, только если указать при этом, как его измерять. Поэтому нельзя задавать вопрос, действительно ли электрон находится внутри атома водорода, не описав, каким, собственно, образом вы собираетесь получить информацию об этом. Кажется, это похоже на семантику, но нет. Гейзенберг заметил, что сам процесс измерения порой вносит возмущение, результатом которого становятся ограничения на пути того, что мы можем «знать» об электроне. В своей оригинальной работе Гейзенберг сумел оценить отношения между точностью измерения положения и импульса частицы. В знаменитом принципе неопределенности он утверждает, что если Δx – это неопределенность наших знаний о положении частицы (греческая буква Δ произносится «дельта», так что Δx произносится «дельта икс»), а Δp – соответствующая неопределенность импульса, то

где h – постоянная Планка, а символ ~ значит «примерно равен». Иными словами, произведение неопределенности положения частицы на неопределенность ее импульса будет приблизительно равно постоянной Планка. Это значит, что чем более точно мы определяем положение частицы, тем меньше можем знать о ее импульсе, и наоборот. Гейзенберг пришел к этому выводу, рассматривая отрыв фотонов от электронов. Фотоны – это средство, благодаря которому мы «видим» электрон, как и все остальные объекты: фотоны отрываются от них и собираются перед нашими глазами. Обычно свет, испускаемый объектом, вызывает в самом объекте лишь незначительные возмущения, но это не отменяет нашей фундаментальной неспособности полностью отделить процесс измерения от измеряемого предмета. Логично предположить, что можно миновать ограничения принципа неопределенности, если придумать достаточно хитроумный эксперимент. Сейчас мы покажем, что это не так, и принцип неопределенности носит фундаментальный характер: мы выведем его исключительно из нашей теории циферблатов.

Вместо того чтобы начать с частицы в определенной точке, подумаем лучше о ситуации, когда мы лишь примерно знаем, где находится частица, но точное ее местоположение неизвестно. Если она где-то в небольшой области пространства, нужно представить ее в виде ряда циферблатов, занимающих всю эту область. В каждой его точке будет находиться по циферблату, и эти циферблаты отразят вероятность, с которой частицу можно найти в этой точке. Если мы возведем в квадрат длины всех стрелок этих циферблатов в каждой точке и сложим, то получим 1, то есть вероятность найти частицу где-то в этой области равна 100 %.

Через некоторое время мы воспользуемся собственными квантовыми правилами для серьезных вычислений, но сначала вынуждены признаться, что забыли упомянуть важное дополнение к правилу поворота стрелок. Мы не хотели вводить его раньше, потому что это чисто техническая деталь, но, если игнорировать ее при вычислении реальных вероятностей, правильных ответов не получим. Относится эта деталь к тому, что написано в конце предыдущего абзаца.

Если начать с одиночного циферблата, стрелка должна иметь длину 1, потому что частица должна находиться в месте расположения циферблата со 100 %-ной вероятностью. Наше квантовое правило гласит: чтобы описать положение частицы в какой-то момент будущего, мы должны переместить циферблат во все точки Вселенной, соответственно тому, как частица может прыгнуть из своего текущего местоположения. Естественно, мы не в силах сделать так, чтобы все стрелки циферблатов имели длину 1, потому что тогда вся интерпретация вероятности рушится. Представьте, например, что частица описывается четырьмя циферблатами, так как находится в четырех разных местах. Если стрелка каждого циферблата имеет длину 1, то вероятность того, что частица находится в любой из четырех позиций, будет равняться 400 % – очевидно, что это нонсенс. Чтобы решить эту проблему, мы должны уменьшать циферблаты, а не только двигать их против часовой стрелки. Это «правило уменьшения» гласит, что после того, как все новые циферблаты будут порождены, каждый из них должен быть разделен на квадратный корень из общего количества часов[11]. Для четырех часов это значит, что каждую стрелку нужно разделить на √4, то есть стрелка каждого циферблата будет иметь длину ½. Отсюда следует: вероятность того, что частица будет найдена на месте любого из четырех циферблатов, равна (½)2 = 25 %. Таким простым способом мы можем убедиться, что вероятность нахождения частицы где-либо всегда будет 100 %-ной.

Конечно, количество возможных положений может быть бесконечным, так что циферблаты могут оказаться и нулевого размера. Это вызывает тревогу, но математика справится. Для наших целей мы всегда будем считать, что число циферблатов конечно и нам никогда не будет нужно знать, насколько уменьшается каждый циферблат.

Вернемся к предположению, что Вселенная содержит единственную частицу, положение которой точно не известно. Следующий раздел можете воспринимать как небольшую математическую задачу – следить за ходом мысли сначала окажется сложно (тогда попробуйте перечитать), но если вы сможете понять, что происходит, то поймете и то, как возникает принцип неопределенности. Для простоты допустим, что частица движется в одномерном пространстве, то есть находится где-то на прямой линии. Более реалистичный пример для трех измерений не отличается фундаментально, зато его сложнее изобразить. На рис. 4.3 мы сделали зарисовку ситуации одномерного движения, изобразив частицу линией из трех циферблатов. Однако нужно представить, что их намного больше – по одному в каждой точке, где может находиться частица. Просто нарисовать такое количество было бы очень трудно. В этой группе циферблатов, соответствующей исходному положению частицы, циферблат 3 находится слева, а циферблат 1 – справа. Итак, в этой ситуации мы знаем, что частица в начальный момент находится где-то между циферблатами 1 и 3. Ньютон сказал бы, что она останется между циферблатами 1 и 3, если с ней ничего не делать, но как насчет квантового правила? Здесь-то и начинается самое интересное: мы поиграем с правилами циферблатов, чтобы ответить на этот вопрос.

Рис. 4.3. Три циферблата, показывающие одинаковое время и расположенные на одной линии, описывают частицу, в начальный момент находящуюся где-то в области этих циферблатов. Нас интересует, каковы шансы на то, чтобы найти частицу в точке X в некоторый последующий момент времени

Позволим времени идти вперед и выясним, что произойдет с этим рядом циферблатов. Представим себе сначала одну конкретную точку на большом расстоянии от исходной группы циферблатов. На рисунке она отмечена буквой X. О точных параметрах «большого расстояния» поговорим чуть позже, а сейчас это просто значит, что стрелки должны существенно изменить свое положение.

Применив правила игры, мы должны перенести каждый циферблат из исходной группы в точку Х, передвигая стрелки и уменьшая их соответствующим образом. Физически это соответствует тому, что частица прыгает из точки поля в точку Х. В точку Х прибудет несколько циферблатов – по одному из каждой исходной точки, и следует сложить их все. В итоге квадрат длины результирующей стрелки циферблата в точке Х даст нам вероятность нахождения частицы в Х.

Теперь понаблюдаем за процессом в развитии и добавим ряд цифр. Допустим, что точка Х находится на расстоянии 10 единиц от циферблата 1, а ширина области, занимаемой исходной группой циферблатов, – 0,2 единицы. При ответе на очевидный вопрос «Что это за расстояние – 10 единиц?» в наше повествование входит постоянная Планка, но сейчас мы ловко отпихиваем ее в сторону и просто отмечаем, что 1 единица расстояния соответствует 1 полному (12-часовому) обороту стрелки на циферблате. Это значит, что точка Х примерно в 10² = 100 полных оборотах от изначального поля (помните о правиле хода часов). Положим также, что циферблаты в исходной группе были одного размера и все указывали на 12 часов. Предположение об их одинаковом размере – это предположение о том, что частицу можно с одинаковыми шансами найти в точках, соответствующих циферблатам 1, 2 и 3 на нашем рисунке, а значение того, что все циферблаты показывают одинаковое время, выявится позднее.

Чтобы переместить циферблат из точки 1 в точку Х, нужно в соответствии с правилом сделать полный оборот стрелки против хода часов 100 раз. Сейчас перенесемся в точку 3, которая находится в 0,2 единицы от точки 1, и переместим в Х и этот циферблат. Так как этот циферблат должен пройти 10,2 единицы, открутить его стрелку назад нужно чуть дальше – 10,2² раза, что очень близко к 104.

Теперь у нас два циферблата в точке Х, соответствующие частице, прибывшей туда из точки 1, и частице, прибывшей из точки 3. Их нужно сложить, чтобы начать вычислять итоговый циферблат. Поскольку обе стрелки были откручены назад примерно одинаковое количество раз, то они оба показывают приблизительно 12 часов. При сложении они дают часы с более длинной стрелкой, тоже указывающей на 12. Заметьте, роль играет только конечное положение часовой стрелки. Нет смысла фиксировать число ее оборотов. Пока все хорошо, но мы еще не закончили, потому что между правым и левым краями исходной группы еще есть множество маленьких циферблатов.

И мы переводим внимание на циферблат, лежащий посредине исходной группы, то есть в точке 2. Этот циферблат находится в 10,1 единицы от Х, то есть нужно совершить 10,12 оборота стрелки. Это очень близко к 102 полным оборотам, то есть снова получается целое число. Нужно прибавить этот циферблат к остальным из точки Х, и, как и в предыдущий раз, стрелка станет длиннее. Продолжим: есть точка между точками 1 и 2, и при перемещении циферблата в точку Х нужно будет сделать 101 полный оборот, что снова удлинит стрелку получающегося циферблата. И тут наступает важный момент. Если обратиться к циферблату между этими двумя, то его нужно будет подкрутить 100,5 раза до достижения точки Х. Таким образом получится циферблат, стрелка которого укажет на 6 часов, и при сложении мы уменьшим длину стрелки в Х. Немного подумав, вы убедитесь, что, хотя точки, отмеченные как 1, 2 и 3, дают в Х циферблаты, указывающие на 12, как и точки, лежащие между 1–2 и 2–3, но точки, лежащие на ¼ и ¾ пути между 1–3 и 2–3, дают циферблаты, указывающие на 6. Всего получается 5 циферблатов со стрелкой вверх и 4 циферблата со стрелкой вниз. При сложении всех этих циферблатов мы получим в точке Х такой циферблат, стрелка которого будет микроскопической, потому что почти все циферблаты будут отменять друг друга.

Такое «аннулирование циферблатов», разумеется, относится и к более реалистическому случаю, когда мы принимаем во внимание абсолютно все точки, лежащие в области между точками 1 и 3. К примеру, точка, лежащая на ⅛ пути от точки 1, дает циферблат со стрелкой на 9 часов, в то время как точка, лежащая на ⅜ пути, указывает на 3 часа – и снова они отменяют друг друга. В суммарном итоге оказывается, что циферблаты, соответствующие всем возможным для частицы маршрутам из любой точки поля в точку Х, отменяют друг друга. Аннулирование показано в правом углу рисунка. Стрелки соответствуют часовым стрелкам, прибывающим в Х из различных точек исходной области.

В результате сложения всех этих стрелок они отменяют друг друга. Это основной момент, который нужно усвоить.

Итак, повторим: мы сейчас показали, что, если исходная группа циферблатов достаточно велика и точка Х достаточно далека, то для каждого циферблата, прибывающего в Х со стрелкой на 12 часов, найдется другой циферблат со стрелкой на 6 часов, отменяющий предыдущий. Для каждого циферблата со стрелкой на 3 часа найдется другой со стрелкой на 9 часов, отменяющий первый, и т. д. Эта массовая отмена подразумевает, что на самом деле нет практически никаких шансов найти частицу в точке Х. Звучит это очень интересно и вдохновляюще, так как кажется, что описание соответствует неподвижной частице. Начав со смехотворного на вид предположения о том, что частица может перемещаться из любой точки пространства в любое другое место Вселенной за очень короткий срок, мы обнаруживаем, однако, что это не так, если начать с группы циферблатов. В ситуации, когда все циферблаты интерферируют друг с другом, частица практически не имеет возможности сдвинуться далеко от исходного положения.

Этот вывод, по словам профессора Оксфордского университета Джеймса Блайни, стал результатом «неконтролируемой квантовой интерференции». Для этого явления и соответствующей ему взаимной отмены циферблатов точка Х должна быть достаточно далека от исходной области, – настолько, чтобы циферблаты могли совершить достаточное количество оборотов. Почему? Потому что если точка Х расположена слишком близко, то стрелки часов, возможно, не успеют сделать даже один оборот, а следовательно, не будут отменять друг друга столь эффективно. Представим, например, что расстояние между циферблатом в точке 1 и точкой Х не 10 единиц, а 0,3 единицы. Теперь стрелка циферблата на передней стороне области повернется меньше, чем в предыдущем случае, совершая всего 0,3² = 0,09 оборота, и укажет на начало второго. Аналогично стрелка циферблата из точки 3 на задней стороне области совершит 0,5² = 0,25 оборота и укажет на 3 часа. Соответственно, все циферблаты в Х укажут на что-то между часом и тремя, то есть больше не отменяют друг друга, а складываются в один большой циферблат, указывающий приблизительно на 2 часа. Все это говорит о том, что существует довольно весомый шанс нахождения частицы в местах, расположенных вблизи от исходной области, но все же вне ее. Под «вблизи» мы понимаем расстояние, недостаточное для того, чтобы получить по меньшей мере один оборот стрелки часов. Все это уже намекает на принцип неопределенности, но по-прежнему выглядит довольно туманно, поэтому давайте разберемся, что именно мы понимаем под «достаточно большой» исходной областью и «достаточно удаленной» от него точкой.

Вслед за Дираком и Фейнманом мы сделали предположение, что, если частица массой m проходит расстояние x за время t, величина поворота стрелок будет пропорциональна действию, то есть mx² / t. Однако слова «пропорциональна» недостаточно, если нужно рассчитать реальные величины. Нужно точно знать, чему равен поворот стрелок. В главе 2 мы говорили о законе всемирного тяготения Ньютона и для точных количественных прогнозов ввели понятие гравитационной постоянной Ньютона, которая определяет величину силы гравитации.

С помощью добавления в уравнение постоянной Ньютона можно подставлять числа в уравнение и вычислять характеристики реальных физических явлений, например период обращения Луны по орбите или маршрут движения космического корабля «Вояджер-2» по Солнечной системе. Но нам нужно что-то подобное и для квантовой механики – такая природная константа, которая «задает масштаб» и позволяет нам взять величину действия и выдать точное предсказание того, сколько оборотов должны сделать часовые стрелки при перемещении частицы на конкретное расстояние из исходного положения за заданное время. Эта константа называется постоянной Планка.

Вечером 7 октября 1900 года в полете вдохновения Максу Планку удалось понять, каким образом нагретые тела излучают энергию. Всю вторую половину XIX века точные отношения между распространением световых волн, испускаемых нагретыми телами, и их температурой были одной из главных загадок физики. Каждое нагретое тело испускает свет, причем с увеличением температуры природа этого света изменяется. Мы знакомы с видимым диапазоном света, соответствующим цветам радуги, но свет может иметь и такую длину волны, которая окажется слишком короткой или слишком длинной по сравнению с видимым человеческим глазом спектром. Свет с большей длиной волны называется «инфракрасным», его можно наблюдать с помощью приборов ночного видения. Еще более длинные – радиоволны. Более короткие, чем видимый спектр, световые волны называются ультрафиолетовыми, а волны самой короткой длины относятся к гамма-излучению. Неосвещенный кусок угля при комнатной температуре испускает инфракрасное излучение. Но если бросить его в костер, он начнет светиться красным цветом. Дело в том, что при повышении температуры угля средняя длина волны излучения уменьшается, постепенно доходя до значения, воспринимаемого человеческим глазом. Чем сильнее нагрето тело, тем короче длина волны, которую оно излучает. В XIX веке, когда точность экспериментальных измерений существенно выросла, стало ясно, что верной математической формулы для описания этого наблюдения не существует. Эту ситуацию часто называют «проблемой излучения черного тела», потому что физики называют идеализированные объекты, которые полностью поглощают излучение и затем переизлучают его (осуществляют реэмиссию), «черными телами». Эта проблема была очень серьезной, потому что показывала неспособность физиков понять характер света, излучаемого всеми на свете объектами.

Планк обдумывал этот и сопредельные вопросы термодинамики и электромагнетизма много лет, прежде чем был назначен профессором теоретической физики в Берлине. Изначально пост предлагался Больцману и Герцу, но оба отклонили предложение. Это оказалось неожиданной удачей, потому что Берлин был центром экспериментальных исследований излучения черного тела, а погружение Планка в сердце экспериментальной работы оказалось ключевым для его последующих теоретических свершений. Физики часто работают лучше, когда имеют возможность вести незапланированные беседы с коллегами по самому широкому спектру вопросов.

Мы знаем дату и время откровения, явившегося Планку, потому что он с семьей проводил воскресный день 7 октября 1900 года вместе с коллегой Генрихом Рубенсом. За обедом они обсуждали непригодность современных им теоретических моделей для детального объяснения излучения черного тела. К вечеру Планк нацарапал формулу на почтовой открытке и отправил Рубенсу. Формула оказалась верной, но выглядела и впрямь очень странно. Планк позднее охарактеризовал свои действия как жест отчаяния: он перепробовал все, что пришло в голову. Честно говоря, совершенно непонятно, как он пришел к своей формуле. В великолепной биографии «Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна», составленной Абрахамом Пайсом, написано: «Его аргументация была безумной, но безумие это было того божественного сорта, который привносят в науку только величайшие ее представители». Предложение Планка было одновременно революционным и необъяснимым. Он понял, что может истолковать излучение черного тела, только если предположить, что энергия испускаемого излучения состоит из большого количества более мелких «пакетов» энергии. Иными словами, общая энергия квантуется в единицах новой фундаментальной константы природы, которую Планк назвал квантом действия. Сегодня мы называем ее постоянной Планка.

Формула Планка предполагает (хотя он не имел об этом представления), что свет всегда излучается и поглощается пакетами, или квантами. В современной записи эти пакеты обладают энергией E = hc / λ, где λ – длина световой волны (произносится «лямбда»), c – скорость света, а h – постоянная Планка.

Роль постоянной Планка в этом уравнении – быть коэффициентом преобразования длины световой волны в энергию соответствующего кванта. Предположение, что определенное Планком квантование энергии испускаемого света возникает, потому что сам свет тоже состоит из частиц, было очень осторожно выдвинуто Альбертом Эйнштейном. Он сделал это предположение в 1905 году, в чудесный год вспышки своего творческого гения, когда он сформулировал также специальную теорию относительности и самое знаменитое уравнение в истории науки: E = mc². Правда, Нобелевскую премию 1921 года по физике (которая из-за каких-то хитрых бюрократических уловок была вручена только в 1922-м) Эйнштейн получил за работу над фотоэффектом, а не за более известные теории относительности. Ученый предположил, что свет можно рассматривать как поток частиц (в то время он не использовал термин «фотоны»), и верно осознал, что энергия каждого фотона обратно пропорциональна длине волны. Эта идея Эйнштейна стала источником одного из самых знаменитых парадоксов квантовой теории, в которой частицы ведут себя как волны, и наоборот.

Планк разрушил первые камни в основании Максвеллова представления о свете, показав, что энергия света, излучаемого нагретым телом, может быть описана, только если она испускается квантами. Окончательно разметал весь фундамент классической физики Эйнштейн. Его интерпретация фотоэлектрического эффекта заключалась не только в том, что свет испускается малыми порциями, но и в том, что он взаимодействует с материей в форме локализованных пакетов. Иными словами, свет действительно ведет себя как поток частиц.

Идея о том, что свет состоит из частиц (можно сказать, что «электромагнитное поле квантовано») звучала глубоко противоречиво, и правота Эйнштейна была признана лишь через несколько десятилетий. Так же неохотно, как они соглашались с идеей фотона, одним из соавторов которой стал сам Планк, в 1913 году коллеги Эйнштейна представляли его к членству в престижной Прусской академии (это было спустя целых восемь лет после введения понятия фотона):

Иными словами, на самом деле в реальность фотонов никто не верил. Широко распространено было мнение о том, что предположение Планка относилось больше к свойствам материи – мельчайшим осцилляторам, испускающим свет, – чем к собственно свету. Было попросту слишком странно считать, что замечательные волновые уравнения Максвелла подлежат замене теорией частиц.

Мы рассказываем эту историю во многом для того, чтобы подтвердить: осознать квантовую теорию сложно всем и всегда. Визуализировать такие объекты, как электрон или фотон, нереально: они ведут себя то как частица, то как волна, а иногда как ни то ни другое. Эйнштейна этот вопрос беспокоил до конца жизни. В 1951 году, за четыре года до смерти, он писал: «Все 50 лет труда не приблизили меня к ответу на вопрос: что же такое световые кванты?»

Сейчас, спустя еще 60 лет, не возникает сомнения, что теория, которую мы продолжаем разрабатывать с помощью множества мельчайших циферблатов, безошибочно описывает результаты каждого эксперимента, поставленного для ее проверки.

Такова вкратце история введения постоянной Планка. Но для наших целей важнее всего отметить, что постоянная Планка – это единица «действия», то есть та же величина, которая говорит нам, насколько нужно повернуть часы. Современное значение постоянной Планка равно 6,626 × 10–34 кг·м²/с, что является крошечной величиной по меркам повседневности. Это и служит причиной того, почему мы не замечаем в повседневной жизни ее всепроникающего действия.

Вспомните, что мы писали о действии, соответствующем прыжку частицы из одной точки в другую: оно равно массе частицы, умноженной на квадрат расстояния, на которое совершен прыжок, и деленной на временной интервал, в течение которого этот прыжок происходит. Измеряется оно в кг·м²/с, как и постоянная Планка, так что если мы просто разделим действие на постоянную Планка, то все единицы сократятся и получится чистое число. Согласно Фейнману, это чистое число и есть та самая величина, на которую мы должны перевести стрелку, соответствующую частице, которая прыгает с одного места на другое. Например, если число равно 1, это значит один полный оборот, а если ½, то пол-оборота, и т. д. В символической форме точная величина, на которую мы должны перевести стрелку часов для расчета вероятности прыжка частицы на расстояние x за время t, равна mx² / (2ht).

Заметьте: в формуле появляется дробь ½. Вы можете либо принять на веру, что она необходима для достижения соответствия экспериментальным данным, либо заметить, что она возникает из самого определения действия[12]. Оба варианта прекрасно подойдут. Сейчас, когда мы знаем значение постоянной Планка, можно точно вычислить величину поворота стрелки часов и коснуться вопроса, который чуть раньше оставили без ответа. А именно: что такое прыжок на расстояние «10»?

Посмотрим, что наша теория говорит о маленьком по повседневным нормам объекте – о песчинке. Теория квантовой механики, которую мы разработали, предполагает, что, если поместить песчинку в какую-то точку, позднее она может оказаться в любом другом месте Вселенной. Но очевидно, что с настоящими песчинками так не происходит. Мы уже видели способ выхода из этой потенциальной проблемы, потому что если интерференция между циферблатами, соответствующими песчинке, перепрыгивающей из множества изначальных точек, достаточна, то при сложении циферблатов они все отменяют друг друга, и песчинка остается на месте.

Первый вопрос, на который нужно ответить, звучит так: сколько раз будут повернуты стрелки часов, если мы переместим частицу с массой песчинки на расстояние, например, 0,001 мм за одну секунду? Мы не сможем увидеть такое небольшое расстояние невооруженным глазом, но для атомного мира оно все еще велико. Вычислить это довольно просто самостоятельно, заменив числа в правиле хода часов Фейнмана[13]. Ответом будет где-то триллион полных оборотов стрелки. Только представьте себе масштабы сопутствующей интерференции.

В результате песчинка остается на своем месте, и практически нет шансов, что она перепрыгнет на существенное расстояние, хотя для получения этого вывода мы реально учитывали возможность того, что она может тайно выпрыгнуть куда-то в другую точку Вселенной.

И этот результат очень важен. Если вы сами подставили числа в формулу, то уже понимаете, почему это так: дело в ничтожной величине постоянной Планка. Если записать ее полностью, получится 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662 6 кг·м²/с.

Если разделить почти любое привычное нам число на это, получится множество оборотов стрелок и огромная интерференция, так что все экзотические перемещения нашей песчинки по Вселенной отменят друг друга, и эту путешественницу через пространство мы будем воспринимать лишь как скучную пылинку, неподвижно лежащую на пляже.

Мы, разумеется, особенно интересуемся теми случаями, когда циферблаты не отменяют друг друга. Как мы уже видели, это происходит, если стрелка проходит не более одного оборота. В этом случае неконтролируемой интерференции не будет. Посмотрим, что это значит с количественной точки зрения.

Возвращаемся к группе циферблатов, заново нарисовав ее на рис. 4.4, но на этот раз вместо работы с точными числами будем рассуждать более абстрактно. Предположим, что область, в которой расположена группа циферблатов, имеет размер Δx, а расстояние до ближайшей точки области от точки Х равно x. В этом случае размер области Δx соответствует неопределенности нашего знания о начальном положении частицы; она стартует откуда-то из области размера Δx. Начиная с точки 1, которая находится в исходной области и ближе всего к точке Х, мы должны поворачивать часы соответственно прыжку из этой точки в точку Х на величину

Рис. 4.4. Он изображает то же самое, что и рис. 4.3, с тем исключением, что нет ограничения конкретной величиной размера группы циферблатов или расстоянием до точки X

Теперь перейдем к самой удаленной точке – точке 3. Когда мы переносим циферблат из этой точки в точку Х, стрелка поворачивается на большую величину, а именно

Теперь мы можем точно сформулировать условие, при котором циферблаты, прибывающие в точку Х из всех точек исходного поля, не аннулировали бы друг друга: разница между циферблатами, прибывшими из точек 1 и 3, должна быть меньше одного полного оборота, то есть

W₃ − W₁ < один оборот.

Если записать это полностью, мы получим

Рассмотрим конкретный случай, в котором размер области Δx будет много меньше расстояния x. Это значит, что мы исследуем условия, при которых частица совершит скачок значительно больший, чем диаметр ее исходной области. В этом случае условие, при котором циферблаты не отменяют друг друга, выводится непосредственно из предыдущего неравенства и выглядит как

Если вы немного знаете математику, то поймете, как это получается – с помощью перемножения членов в скобках и пренебрежения той частью, которая включает в себя (Δx)². Это можно сделать, потому что по условиям Δx по сравнению с x – величина очень малая, а малая величина в квадрате – это очень малая величина.

Это уравнение заключает в себе условие, при котором циферблаты в точке Х не отменяют друг друга. Мы знаем, что если циферблаты не аннулируются взаимно в определенной точке, то существуют хорошие шансы обнаружить в этой точке частицу. Итак, мы выяснили, что если частица изначально расположена внутри области размером Δx, то через время t существуют хорошие шансы найти ее на значительном расстоянии x от поля, если неравенство выше будет выполнено. Более того, это расстояние увеличивается со временем, потому что в формуле мы на время t делим. Иными словами, чем больше времени проходит, тем выше вероятность нахождения частицы довольно далеко от ее исходного положения. Тут мы начинаем подозревать, что частица все-таки двигается. Заметьте также, что шансы нахождения частицы вдалеке от исходной точки увеличиваются, если Δx уменьшается – то есть если неопределенность исходного положения частицы становится меньше. Иными словами, чем более точно мы улавливаем частицу, тем быстрее она удаляется от исходного положения. Теперь это уже очень напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Напоследок давайте немного переформулируем наше неравенство. Заметьте: чтобы частица проделала путь из любой точки исходной области до точки Х за время t, она должна пройти расстояние x. Если вы действительно зарегистрировали частицу в точке X, то, разумеется, пришли к выводу, что частица передвигалась со скоростью x / t. Кроме того, напомним, что масса, умноженная на скорость частицы, есть ее импульс, поэтому величина mx / t – это измеренный нами импульс частицы. Теперь можно продвинуться еще дальше и вновь упростить неравенство, записав

где p – импульс. Можно переформулировать уравнение так, что оно примет вид

pΔx < h,

и это действительно заслуживает дальнейшего обсуждения, потому что данное уравнение уже очень сильно напоминает принцип неопределенности Гейзенберга.

Итак, наши математические расчеты пока окончены, и, если вы не очень пристально следили за ними, вам следует ухватить нить рассуждений с этого момента.

Если начать с частицы, находящейся внутри связной области размером Δx, то, как мы установили, с течением времени она может оказаться где угодно внутри более крупной области размером x.

Эта ситуация показана на рис. 4.5. Точнее говоря, это значит, что, если бы мы искали частицу в начальный момент, были бы шансы найти ее где-то во внутренней области. Если бы мы не стали проводить измерения, а решили подождать, высоки были бы шансы найти ее где-то во внешней, более крупной связной области. Это значит, что частица могла перейти из точки внутри малой начальной области в точку внутри более крупной. Однако она не обязана была двигаться, так что до сих пор есть вероятность нахождения ее в меньшей области Δx. Но вполне возможно, что измерения покажут, что частица дошла как раз до края большой области[14]. Если бы этот предельный случай был реализован при измерении, то мы заключили бы, что частица движется с импульсом, который задается только что выведенным нами уравнением (если вы не следовали за нашими математическими рассуждениями, просто примите это на веру), то есть p = h / Δx.

Рис. 4.5. Небольшая область со временем растет, в то время как изначально локализованная там частица с течением времени делокализуется

Теперь можем опять начать сначала и вернуть все в исходное положение. Частица опять окажется в малой области размера Δx. После измерения мы, вероятно, найдем частицу в какой-то другой точке внутри более крупной области, до границы, и таким образом придем к выводу, что ее импульс меньше предельного значения.

Если мы представим, что вновь и вновь повторяем этот эксперимент, измеряя импульс частицы, которая первоначально находится внутри небольшой области размером Δx, мы обычно будем получать при измерении множество значений p где-то между нулем и предельным значением h / Δx. Фраза «если проделать этот эксперимент несколько раз, то можно предсказать, что измеренный импульс окажется в пределах между нулем и h / Δx» значит, что «импульс частицы имеет неопределенность h / Δx». Как и в случае с неопределенностью положения, физики ввели для неопределенности этого рода символ Δp и пишут, что ΔpΔx ~ h. Значок ~ обозначает, что произведение неопределенностей положения и импульса примерно равно постоянной Планка – оно может быть или немного больше, или немного меньше. Немного углубившись в математику, можно сделать это уравнение еще более точным. Результат будет зависеть от подробностей расположения первоначальной группы циферблатов, но не стоит тратить на него слишком много сил и времени, потому что уже сделанного достаточно, чтобы понять основные идеи.

Утверждение, что неопределенность положения частицы, умноженная на неопределенность ее импульса (приблизительно), равна постоянной Планка – возможно, самая известная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга. Эта формулировка гласит: если мы знаем, что частица находится в какой-то исходный момент времени в какой-то области, то измерение положения частицы в какой-то более поздний момент времени покажет, что частица движется с импульсом, значение которого нельзя предсказать точнее, чем «нечто между нулем и h / Δx». Иными словами, если мы будем все больше и больше сужать начальную область нахождения частицы, она будет стремиться отпрыгнуть от этой области все дальше. Это настолько важно, что заслуживает третьего варианта формулировки: чем точнее вы знаете положение частицы в какой-то момент, тем хуже будете знать скорость ее движения и, соответственно, ту точку, в которой она окажется позже.

Эта формулировка принципа неопределенности как раз и принадлежит Гейзенбергу. Она лежит в основе квантовой теории, но тут мы должны четко заявить, что сам по себе принцип вовсе не является неопределенным. Это утверждение о нашей неспособности точного отслеживания частицы, и здесь не больше места для квантового волшебства, чем в ньютоновой физике. На последних нескольких страницах мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из фундаментальных правил квантовой физики, которые соответствуют правилам хода часов, сложения и вычитания циферблатов. И действительно, его происхождение кроется в нашем допущении, что частица через мгновение после измерения ее положения может оказаться в любом другом месте Вселенной. Диковатость нашего первого предположения, что частица может оказаться в совершенно произвольном месте Вселенной, была приручена с помощью неконтролируемой квантовой интерференции, и принцип неопределенности – это в каком-то смысле все, что осталось от исходной анархии.

Прежде чем двинуться дальше, мы должны сказать еще нечто очень важное об интерпретации принципа неопределенности. Не следует впадать в заблуждение, думая, что частица находится в каком-то конкретном единственном месте и что распространение исходных циферблатов отражает лишь ограниченность нашего понимания. Если мы считаем, что не можем правильно вывести принцип неопределенности, потому что не можем признать необходимость рассматривать все циферблаты из всех точек внутри исходной области, можно перемещать их по очереди в отдаленную точку Х и потом складывать. Именно делая это, мы и получили наш результат, то есть нам пришлось предположить, что частица прибывает в Х через суперпозицию многих возможных маршрутов.

Принципом Гейзенберга мы чуть позже воспользуемся для иллюстрации некоторых примеров из реального мира. Сейчас же достаточно и того, что нам удалось вывести один из ключевых результатов квантовой теории, не пользуясь ничем другим, кроме простых манипуляций с воображаемыми циферблатами.

Подставим в уравнения несколько цифр, чтобы добиться лучшего понимания предмета. Сколько нужно ждать возникновения существенной вероятности, что песчинка выпрыгнет из спичечного коробка? Предположим, что спичечный коробок имеет стенки длиной 3 см, а песчинка весит 1 мкг. Напомним, что условие для появления существенной вероятности перемещения песчинки на заданное расстояние определяется неравенством

где Δx – размер коробка. Теперь подсчитаем, каким должно быть время t, если мы хотим, чтобы песчинка покрыла расстояние x = 4 см, что уверенно превосходит размеры спичечного коробка. С помощью очень несложной алгебры находим, что

после чего подставляем числа и обнаруживаем, что t должно быть больше, чем примерно 1021 секунд. Это около 6 × 1013 лет, то есть в 1000 раз больше возраста Вселенной. Так что, вероятно, этого не случится. Квантовая механика – странная штука, но не настолько странная, чтобы песчинка сама по себе выпрыгивала из спичечного коробка.

Завершая эту главу и переходя к следующей, сделаем еще одно, последнее наблюдение. Наш вывод принципа неопределенности основывался на конфигурации часов, показанной на рис. 4.4. Если говорить точнее, то мы установили исходную группу часов так, чтобы все стрелки были одинаковой длины и показывали одно и то же время. Это соответствует частице, находящейся в начальном состоянии покоя в определенной области пространства, – как, например, песчинка в спичечной коробке. Хотя мы выяснили, что частица, скорее всего, не будет пребывать в покое, мы также обнаружили, что для больших объектов – а для квантового мира песчинка действительно очень велика – это движение совершенно незаметно. Таким образом, какое-то движение в нашей теории есть, но это движение неощутимо для достаточно больших объектов. Похоже, мы упускаем из виду что-то важное, потому что крупные предметы на самом-то деле движутся, а квантовая теория, как мы помним, – это теория и малых, и больших объектов. Теперь мы должны обратиться к новой проблеме: как объяснить движение?

В предыдущей главе мы вывели принцип неопределенности Гейзенберга из размышлений над определенным исходным расположением циферблатов в небольшой области. Часы имели стрелки одинакового размера, указывавшие в одинаковом направлении. Мы выяснили, что это отображает частицу, которая находится в относительно стационарном состоянии, хотя квантовые законы предполагают, что она все же совершает некие перемещения. Сейчас мы зададим другую первоначальную конфигурацию, чтобы описать частицу в движении.

На рис. 5.1 новое сочетание циферблатов. Это по-прежнему группа циферблатов, соответствующая частице, первоначально расположенной вблизи от них. Стрелка в положении 1 указывает на 12, как и ранее, но все остальные стрелки в поле повернуты и показывают другое время. На этот раз мы нарисовали пять часов просто потому, что так рассуждения будут более наглядными, хотя мы по-прежнему должны представить циферблаты и между точками, где размещаются те, что мы нарисовали: по одному циферблату для каждой точки в области. Применим, как и ранее, правило квантовой теории и переместим эти циферблаты в точку Х, находящуюся далеко от исходной группы, чтобы вновь описать то множество траекторий, по которым частица может переместиться из этой группы в точку Х.

Рис. 5.1. Исходная группа (которую иллюстрируют циферблаты 1–5) состоит из часов, показывающих разное время – стрелки каждых последующих сдвинуты на три часа вперед по отношению к предыдущим. Нижняя часть рисунка демонстрирует, как отличается время на часах по всей группе

Повторим уже ставшую, надеемся, стандартной процедуру: возьмем циферблат из точки 1 и переместим в точку Х, поворачивая стрелку в процессе этого перемещения. Она повернется на величину

Теперь возьмем циферблат из точки 2 и переместим в точку Х. Расстояние будет немного больше – допустим, что больше на d, и потребуется чуть больше повернуть стрелку:

Именно это мы и делали в предыдущей главе, но, возможно, вы уже заметили, что для новой начальной конфигурации циферблатов результат будет не совсем тем же, что в прошлый раз. Новая установка стрелок отличается тем, что циферблат 2 изначально показывает время на три часа вперед по сравнению с циферблатом 1:3 часа, а не 12. Но при переносе циферблата 2 в точку Х мы должны повернуть стрелку назад чуть больше, чем на циферблате 1, в соответствии с тем дополнительным расстоянием d, которое он должен покрыть. Если построить исходную ситуацию так, что начальное опережение показаний циферблата 2 будет точно таким же, как дополнительный поворот стрелки в процессе движения в точку Х, то циферблат 2 прибудет в точку Х, показывая точно такое же время, как циферблат 1. Это будет означать, что произойдет не отмена, а суммирование циферблатов и создастся новый циферблат бо́льших размеров, что, в свою очередь, означает наличие высокой вероятности нахождения частицы в точке Х. Это совершенно не похоже на ту неконтролируемую квантовую интерференцию, случившуюся, когда все наши циферблаты показывали одинаковое время. Сейчас рассмотрим циферблат 3, который мы повернули на 6 часов вперед по сравнению с циферблатом 1. Этот циферблат должен пройти дополнительное расстояние 2d до точки Х, и снова из-за смещения стрелки этот циферблат в точке прибытия будет показывать 12 часов. Если задать все смещения стрелок подобным образом, то же самое будет происходить по всей группе, так что все циферблаты в точке Х будут суммироваться.

Это значит, что вероятность нахождения частицы в точке Х в какое-то более позднее время будет достаточно высокой. Точка Х отличается от других, потому что именно в ней все циферблаты из исходной группы, словно сговорившись, покажут одно и то же время. Но точка Х – не единственная из имеющих особенный характер: все точки слева от Х на расстоянии, равном размеру исходной группы, обладают тем же свойством: циферблаты в них тоже складываются с положительным результатом. Чтобы увидеть это, заметьте, что можно взять циферблат 2 и переместить его в точку на расстоянии d слева от Х. Это будет соответствовать перемещению циферблата на расстояние x, а это то же самое расстояние, на которое мы переместили циферблат 1 по направлению к точке Х. После этого можно переместить циферблат 3 в эту новую точку на расстояние x + d, что будет тем же самым расстоянием, на которое мы до того переместили циферблат 2. Эти два циферблата, следовательно, тоже должны показывать одно и то же время в точке прибытия и суммироваться. Мы можем продолжать делать то же самое для всех циферблатов в исходной группе, но только до тех пор, пока расстояние слева от Х не станет равно размеру исходной группы. За пределами этой особой области циферблаты в основном будут отменять друг друга, потому что останутся без защиты от обычной неконтролируемой квантовой интерференции[15].

Истолкование этого эксперимента очевидно: группа циферблатов движется, как показывает рис. 5.2.

Рис. 5.2. Группа циферблатов с постоянной скоростью движется вправо. Это происходит потому, что в исходной группе стрелки циферблатов повернуты по отношению друг к другу так, как описано в тексте

Это удивительный результат. Задав начальную группу с помощью часов, показывающих разное, а не одинаковое время, мы пришли к описанию движущейся частицы. Интересно, что мы можем установить очень важную связь между часами со сдвинутыми стрелками и поведением волн.

Помните, что в главе 2 нам пришлось ввести идею циферблатов, чтобы объяснить волновое поведение частиц в двухщелевом эксперименте. Вернемся к рис. 3.3, где мы изобразили набор циферблатов, описывающий волну. Он напоминает набор циферблатов в нашей движущейся группе. Соответствующую волну мы изобразили под группой циферблатов на рис. 5.1, пользуясь совершенно теми же методами, что и ранее: 12 часов – пик волны, 6 часов – ее минимум, а 3 и 9 часов соответствуют нулевой высоте волны.

Как мы могли предвидеть, представление движущейся частицы, видимо, имеет что-то общее с волной. У волны есть длина, соответствующая расстоянию между циферблатами с идентичными показаниями стрелок. Мы изобразили ее на рисунке, обозначив буквой λ.

Сейчас можно вычислить, насколько далеко точка Х должна располагаться от исходной группы, чтобы смежные циферблаты складывались с положительным значением. Это приводит нас к еще одному очень важному результату в квантовой механике и существенно проясняет связь между квантовыми частицами и волнами. Снова наступает момент, когда нам потребуется немного математики.

В первую очередь нужно вывести дополнительную величину, на которую повернута стрелка циферблата 2 по сравнению с циферблатом 1, поскольку дальше циферблат отправится в точку Х. С помощью результатов из начала главы находим, что

Вы можете сами произвести вычисления, раскрыв скобки и отбросив величину d², поскольку d – расстояние между циферблатами, которое слишком мало по сравнению с x – расстоянием до точки Х, лежащей очень далеко от исходной области.

Довольно несложно записать критерий и для циферблатов, показывающих одно и то же время; нам нужно еще немного подвести стрелки, чтобы при продвижении циферблата 2 это исходное смещение показаний часов полностью компенсировало дополнительный поворот стрелки в ходе перемещения циферблата. Для примера, показанного на рис. 5.1, циферблат 2 дополнительно переводится на ¼, потому что мы должны будем повернуть стрелку на четверть часа вперед. Точно так же циферблат 3 подводится на ½, потому что мы должны будем повернуть стрелку вперед на полчаса. Символически выразить долю полного оборота в виде d / λ, где d – расстояние между циферблатами, а λ – длина волны.

Если вы этого пока не улавливаете, рассмотрите случай, при котором расстояние между двумя циферблатами будет равняться длине волны. Тогда d = λ, а, следовательно, d / λ = 1, что соответствует одному полному обороту, при этом оба циферблата покажут одинаковое время.

Подытожим: чтобы два соседних циферблата показывали в точке Х одинаковое время, требуется, чтобы дополнительный поворот часовой стрелки в начальном положении равнялся дополнительному повороту часовой стрелки при распространении волны на расстояние:

Как и выше, можем упростить это выражение, отметив, что mx / t – это импульс частицы, p. После небольших преобразований уравнения получим:

Полученный результат настолько важен, что заслуживает собственного имени. И действительно, эта формула называется уравнением де Бройля, поскольку впервые в сентябре 1923 года ее предложил французский физик Луи де Бройль. Важность формулы в том, что она связывает длину волны с известным импульсом частицы. Иными словами, так проявляется тесная связь между свойством, обычно присутствующим у частиц – импульсом, и свойством, чаще всего ассоциирующимся с волнами, – длиной волны. Таким образом, из наших манипуляций с часами возник корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики.

Уравнение де Бройля ознаменовало огромный концептуальный скачок. В своей оригинальной работе он писал, что «воображаемая связанная волна» должна приписываться всем частицам, в том числе электронам, и что поток электронов, проходя через щель, «должен демонстрировать феномен дифракции»[16]. В 1923 году это были еще теоретические рассуждения, потому что Дэвиссон и Джермер обнаружили появление интерференционной фигуры при испускании пучков электронов только в 1927-м. Эйнштейн сделал примерно то же предположение, что и де Бройль, на других основаниях и приблизительно в это же время. Эти два теоретических результата стали катализатором для развития волновой механики Шрёдингера. В работе, вслед за которой Шрёдингер уже опубликовал уравнение своего имени, он писал: «Нам приходится серьезно отнестись к волновой теории де Бройля – Эйнштейна о движении частиц».

Мы можем подробнее разобраться с уравнением де Бройля и посмотреть, что произойдет, если уменьшить длину волны, что будет соответствовать большему смещению часовой стрелки соседних циферблатов. Иными словами, сократим расстояние между циферблатами, показывающими одно и то же время. Это значит, что нужно увеличить расстояние x, чтoбы компенсировать сокращение λ, – то есть для погашения дополнительной подкрутки стрелок точка Х должна оказаться дальше. Это соответствует более быстрому движению частицы: чем меньше длина волны, тем больше импульс, о чем и говорит уравнение де Бройля. Отличный результат: нам удалось «вывести» обычное движение (потому что со временем группа циферблатов движется равномерно), начав со статичного ряда циферблатов.

Теперь вернемся к важному вопросу, который до того мы в этой главе пропустили. Мы сказали, что исходная группа целиком движется к окрестностям точки Х, но лишь примерно сохраняет свою исходную конфигурацию.

Что мы имеем в виду под этим довольно туманным утверждением? Ответ снова связан с принципом неопределенности Гейзенберга и приводит нас к следующему открытию. Мы описывали происходящее с группой циферблатов, которая служит отображением частицы, находящейся где-то в малой области пространства. Эта область представлена на рис. 5.1 пятью циферблатами. Подобная группа называется волновым пакетом. Но мы уже видели, что локализация частицы в какой-то области пространства имеет свои последствия. Мы не можем воспрепятствовать тому, что локализованная частица получит «удар Гейзенберга» (то есть импульс ее будет неизвестен как раз ввиду ее локализации), и со временем это приведет к тому, что частица «просочится» за пределы области своего исходного расположения.

Этот эффект имеет место в случае, когда все циферблаты показывают одинаковое время; присутствует он и в случае перемещения группы циферблатов. Это приведет к такому распространению волнового пакета по мере движения, которое соответствует стационарному движению одиночной частицы.

Если подождать достаточно долго, то волновой пакет, которому соответствует движущаяся группа часов, полностью распадется, и мы потеряем все шансы на предсказание точного положения частицы. Это, разумеется, будет иметь место при любых попытках измерения скорости нашей частицы. Посмотрим, как это работает.

Хороший способ измерить скорость частицы – провести два измерения ее положения в два разных момента времени. После этого мы можем вывести ее скорость, разделив пройденное ею расстояние на время между двумя измерениями. Учитывая то, что мы сказали, это кажется опасным, потому что, если мы слишком точно измерим положение частицы, можем сжать весь волновой пакет, что изменит его последующее движение. Если же мы не хотим, чтобы частица получила значительный «удар Гейзенберга» (то есть существенный импульс, потому что Δx становится слишком малым), то должны убедиться, что наши измерения положения будут достаточно расплывчатыми. Конечно, слово «расплывчатый» слишком расплывчато, так что давайте его как-то определим. Если воспользоваться детектором частиц, способным определять частицы с точностью 1 мкм, а наш волновой пакет имеет ширину 1 нм, то детектор не окажет почти никакого воздействия на эту частицу. Экспериментатор, получающий данные с детектора, был бы счастлив иметь разрешение в 1 микрон, но с точки зрения электрона все, что может детектор, – это сообщить экспериментатору, что частица находится в некоем огромном ящике, который в тысячу раз больше, чем существующий волновой пакет. В этом случае «удар Гейзенберга», вызванный процессом измерений, будет очень мал по сравнению с тем, который порождается конечным размером самого волнового пакета. Вот что мы имеем в виду под словами «достаточно расплывчатый».

Мы рисовали эту ситуацию на рис. 5.3, обозначив исходную ширину волнового пакета d и разрешение нашего детектора Δ.

Рис. 5.3. Волновой пакет в два разных момента времени. Пакет двигается вправо и распространяется с течением времени. Пакет движется, потому что стрелки часов, которые его составляют, смещены относительно друг друга (де Бройль), и распространяется в соответствии с принципом неопределенности. Форма волнового пакета не так важна, но для полноты картины следует сказать, что если пакет большой, то циферблаты будут большими, а если пакет маленький, то небольшими будут и циферблаты

Мы изобразили также волновой пакет в более позднее время: он стал немного шире и имеет ширину d', которая больше, чем d. Максимум волнового пакета проходит расстояние L за временной интервал t со скоростью v. Приносим извинения, если эта формула навеяла вам давно забытые школьные дни, бездарно просиженные за исчерканной и покореженной деревянной партой, и голос учителя физики, теряющийся в полумраке зимнего дня и вгоняющий в совершенно неуместную дремоту. Мы покрываемся тут меловой пылью по серьезной причине и надеемся, что заключение этой главы вернет вас в сознание эффективнее, чем летающая тряпка для вытирания доски в детстве.

Снова оказавшись в нашей метафорической научной лаборатории, мы пытаемся измерить скорость v волнового пакета, выполнив два измерения его положения в два разных мгновения. Это даст нам расстояние L, которое волновой пакет покрыл за время t. Но разрешение нашего детектора равно Δ, так что мы не сможем точно вычислить L. В символической форме можно записать, что измеренная скорость равна

где знак плюс-минус просто напоминает, что если мы проводим два измерения положения, то получаем обычно не L, а скорее «L плюс чуть-чуть» или «L минус чуть-чуть», где «чуть-чуть» получается благодаря тому, что мы согласились не измерять положение частицы слишком точно. Важно принять во внимание, что L мы в действительности измерить не можем: мы всегда получаем значение где-то в диапазоне L ± Δ. Помните также, что величина Δ должна быть гораздо больше, чем размер волнового пакета, иначе частица сожмется и разрушит его. Немного перепишем последнее уравнение, чтобы лучше понять, что происходит:

Оказывается, что, если величина t будет очень большой, мы выполним измерение скорости v = L / t с весьма незначительной погрешностью, потому что можем ждать очень долго, добиться, чтобы t было сколь угодно большим, а Δ / t, соответственно, сколь угодно малым, притом что величина Δ продолжит оставаться достаточно великой. Поэтому кажется, что мы нашли отличный способ все же совершить точные вычисления скорости этой частицы, не вмешиваясь в ее ход: достаточно лишь долго подождать между первым и вторым измерениями. С точки зрения интуиции все прекрасно и логично. Представьте, что вы замеряете скорость автомобиля, движущегося по шоссе. Если замерите расстояние, которое он проедет за одну минуту, то вы, конечно, получите значительно более точный показатель его скорости, чем если интервал между измерениями составит одну секунду. Итак, мы обманули Гейзенберга?

Конечно, нет: мы забыли кое-что учесть. Частица описывается волновым пакетом, который рассеивается с течением времени. При наличии достаточного времени рассеяние окончательно размоет волновой пакет, так что частица может оказаться где угодно. Это увеличит диапазон значений, которые мы получим при измерении L, и перекроет нам возможность совершать сколь угодно точное вычисление скорости частицы.

Имея дело с частицей, описываемой волновым пакетом, мы все равно ограничены принципом неопределенности. Так как изначально частица находится где-то в области размером d, Гейзенберг информирует нас, что импульс частицы соответствующим образом искажается на величину h/d. Поэтому есть только один способ построения такой конфигурации циферблатов, чтобы представленная на ней частица двигалась с определенным импульсом, – нужно сделать d, то есть размер волнового пакета, очень большим. И чем больше он будет, тем меньше окажется неопределенность импульса частицы. Урок ясен: частица с хорошо известным импульсом описывается большой группой циферблатов[17]. Точнее говоря, частица с совершенно точно известным импульсом будет описана бесконечно длинной группой циферблатов, что означает бесконечно длинный волновой пакет.

Мы только что показали, что волновому пакету конечного размера не соответствует частица с определенным импульсом. Это значит, что, если измерить импульс очень большого количества частиц, которые описываются одним и тем же исходным волновым пакетом, мы не получим каждый раз один и тот же результат. Напротив, мы получим широкий набор разных ответов, и их разброс, как бы хороши мы ни были в экспериментальной физике, не может оказаться меньше, чем h / d.

Таким образом, мы можем сказать, что волновой пакет описывает частицу, которая движется с импульсом, определенным в рамках некоторого диапазона. Но уравнение де Бройля подразумевает, что в последнем предложении можно заменить слово «импульсы» словами «длины волн», потому что импульс частицы связан с волной определенной длины. Это, в свою очередь, означает, что волновой пакет должен состоять из волн разной длины. Точно так же, если частица описывается волной определенной длины, такая волна должна быть бесконечной. Кажется, нас подталкивают к выводу, что небольшой волновой пакет состоит из многих бесконечных волн разной длины. И действительно, нас побуждают двигаться по этому пути, и то, что мы описываем, хорошо знакомо математикам, физикам и инженерам. Мы входим в область математики, известную как анализ Фурье и названную в честь французского физика Жозефа Фурье.

Фурье был колоритной личностью. Среди его многочисленных достижений – губернаторство в Нижнем Египте при Наполеоне и открытие парникового эффекта. По слухам, ему нравилось заворачиваться в простыни, что в итоге привело к его безвременной кончине в 1830 году, когда он, плотно завернувшись, упал с собственной лестницы. Его главная аналитическая работа касалась теплопроводности твердого тела и была опубликована в 1807 году, хотя основная идея известна с гораздо более раннего времени.

Фурье показал, что абсолютно любая волна сколь угодно сложной формы и любого размера может быть получена сложением ряда волн-синусоид разной длины. Лучше всего показать это с помощью иллюстрации. На рис. 5.4 пунктирная кривая получается при сложении двух первых волн-синусоид на нижних графиках. Вы можете сложить их едва ли не в уме: обе волны имеют максимальную высоту в центре, так что складываются именно там, а на концах гасят друг друга. Штриховая кривая – это результат сложения всех четырех волн, показанных на нижних графиках, и в ней пик в центре еще более выражен. Наконец, непрерывная кривая показывает, что произойдет при сложении первых десяти волн, то есть четырех приведенных на иллюстрации плюс еще шести с последовательно уменьшающейся длиной. Чем больше мы добавляем волн, тем больше подробностей можем увидеть в результате. Волновой пакет на верхнем графике может описать локализованную частицу, в отличие от волнового пакета, изображенного на рис. 5.3. Таким образом, появляется реальная возможность синтезировать волну любой формы – и все это с помощью сложения простых волн-синусоид.

Рис. 5.4. Верхний график: сложение нескольких волн-синусоид дает в результате волновой пакет с резким пиком. Пунктирная кривая состоит из меньшего количества волн, чем штриховая, а та, в свою очередь, из меньшего, чем непрерывная. Нижние графики: первые четыре волны составляют волновой пакет на верхнем графике

Уравнение де Бройля сообщает нам, что каждая волна на нижних графиках рис. 5.4 соответствует частице с определенным импульсом, и этот импульс увеличивается с уменьшением длины волны.

Теперь становится более понятно, почему частица, описываемая локализованной группой циферблатов, должна обязательно иметь диапазон импульсов.

Продолжим пояснения и предположим, что частица описывается группой циферблатов, представленных непрерывной кривой на верхнем графике рис. 5.4[18]. Мы только что выяснили, что эту частицу можно описать и рядом гораздо более длинных групп циферблатов: первая волна с нижнего графика, плюс вторая волна с нижнего графика, плюс третья волна с нижнего графика и т. д. В этом случае в каждой точке оказывается несколько циферблатов (по одному из каждой длинной группы), которые мы должны сложить, чтобы получился единичный циферблат, представленный на верхнем графике рис. 5.4. Выбор метода представления частицы полностью зависит от вас: можно считать, что она представлена одним циферблатом в каждой точке (в этом случае размер циферблата непосредственно поясняет, где вероятнее всего обнаружить частицу, а именно в окрестности пика верхнего графика рис. 5.4). Или же можно считать, что она описывается как математический ряд циферблатов в любой точке, каждый из которых соответствует одному из возможных значений импульса частицы. Таким способом разложения в ряд мы напоминаем себе, что частица, локализованная в небольшой области пространства, не имеет определенного импульса. Невозможность построить компактный волновой пакет из волн одной-единственной длины – очевидная особенность математики Фурье.

Такой образ мысли дает возможность по-новому взглянуть на принцип неопределенности Гейзенберга. Он утверждает, что мы не можем описать частицу как локализованную группу циферблатов, если эти циферблаты соответствуют волнам только одной длины. Напротив, чтобы циферблаты отменяли друг друга за пределами локализованной области, мы обязаны смешивать волны разной длины, а следовательно, и разного импульса. Итак, цена, которую мы платим за локализацию частицы в какой-то области пространства, состоит в том, что мы не знаем ее импульса. Более того, чем сильнее мы ограничиваем область возможного местоположения частицы, тем больше волн разной длины нужно добавлять и тем хуже мы знаем импульс частицы. Именно это и составляет содержание принципа неопределенности, и очень приятно, что мы пришли к тому же выводу иным путем[19].

Завершая эту главу, мы хотели бы еще немного поговорить об анализе Фурье. Это очень хорошее средство описания квантовой теории, и оно тесно связано с идеями, которые мы как раз обсуждаем. Важно, что каждая квантовая частица, что бы она ни делала, описывается волновой функцией. Как мы уже говорили, волновая функция – это просто ряд небольших циферблатов, по одному для каждой точки в пространстве, – а размер циферблата определяет вероятность нахождения частицы в конкретной точке. Такой метод представления частицы носит название волновой функции пространственного положения, поскольку непосредственно связан с возможными положениями, которые может иметь частица. Однако есть много вариантов математического представления волновой функции, и маленькие циферблаты в пространственной версии – лишь один из них. Мы уже касались этого вопроса, когда говорили, что можно представить частицу в виде суммы волн-синусоид. Если ненадолго задержаться на этой возможности, легко понять, что составление полного списка волн-синусоид действительно дает исчерпывающее описание частицы (потому что при сложении этих волн можно получить циферблаты, связанные с волновой функцией пространственного положения).

Иными словами, если мы точно укажем, какие именно волны-синусоиды нужны нам для построения волнового пакета и с каким коэффициентом нужно прибавить каждую из волн-синусоид, чтобы получить нужную форму пакета, у нас получится иное, но полностью эквивалентное описание волнового пакета. Интересно, что любая волна-синусоида сама может быть описана одиночным воображаемым циферблатом: его размер отражает максимальную высоту волны, а фаза волны в определенной точке может быть представлена временем, на которое указывает стрелка. Таким образом, мы можем предпочесть представление частицы не через циферблаты в пространстве, но через альтернативный набор циферблатов – по одному для каждого возможного значения импульса частицы. Это описание столь же экономично, как и представление «циферблатов в пространстве», и вместо указания наиболее вероятного положения частицы мы указываем наиболее вероятные значения ее импульса. Этот альтернативный ряд циферблатов называется волновой функцией пространства импульсов и содержит ровно ту же информацию, что и волновая функция пространства положений[20].

Возможно, это звучит очень абстрактно, но технология, основанная на идеях Фурье, успешно используется в повседневной жизни: разложение волны на составляющие ее волны-синусоиды – это основа технологии аудио– и видеосжатия. Представьте себе звуковые волны, образующие вашу любимую мелодию. Эта сложная волна, как мы уже знаем, может быть разбита на составляющие с помощью ряда чисел, которые показывают относительный вклад каждой из множества волн-синусоид в получающийся звук. Оказывается, что, хотя для абсолютно точного воспроизведения исходного звука требуется множество отдельных волн-синусоид, можно отказаться от многих из них, что совершенно не скажется на восприятии качества аудиозаписи. Например, удаляются волны-синусоиды от звуков, не воспринимаемых человеческим слухом. Это существенно сокращает количество данных, которые нужны для хранения аудиофайла, поэтому ваши mp3-плееры не очень большие.

Можно задаться вопросом: как реально применить другую, еще более абстрактную версию волновой функции? Рассмотрим частицу, которая отображается одиночным циферблатом в представлении пространства положений. Так описывается частица, находящаяся в определенном месте Вселенной; в единственной точке – там, где расположен циферблат. Теперь рассмотрим частицу, которая отображается одиночным циферблатом в представлении пространства импульсов. Так описывается частица с единственным, точно определенным импульсом. Описание такой частицы с помощью волновой функции пространства положений потребует – по контрасту – бесконечного количества циферблатов одинакового размера, потому что, согласно принципу неопределенности, частица с точно определенным импульсом может находиться где угодно. В результате иногда проще производить вычисления непосредственно в терминах волновой функции пространства импульсов.

В этой главе мы выяснили, что описание частицы методом циферблатов способно схватывать суть того, что мы обычно называем «движением». Мы узнали, что наше восприятие равномерного движения объектов от одной точки к другой, согласно квантовой теории, является иллюзией. Более правдоподобно будет предположить, что частицы движутся из точки А в точку В всеми возможными путями. Только при сложении всех возможностей появляется движение в том виде, в каком мы его воспринимаем[21]. Мы также ясно увидели, как описание с помощью циферблатов позволяет перейти к волновой физике даже несмотря на то, что мы имеем дело лишь с частицами, подобными точкам. Сейчас пора использовать это сходство с волновой физикой для ответа на важный вопрос: как квантовая теория объясняет структуру атомов?

Изнутри атом представляет собой нечто странное. Если, например, вы встанете на протон и посмотрите оттуда во внутриатомное пространство, то увидите лишь пустоту. Электроны будут слишком малы, чтобы их разглядеть, даже если окажутся на расстоянии вытянутой руки, но даже и это будет происходить слишком редко. Протон в диаметре равен примерно 10^–15 м, то есть 0,000 000 000 000 001 метра, и по сравнению с электроном он просто квантовый колосс. Если вы стоите «на протоне» у побережья Англии, на белых скалах Дувра, то расплывчатые пределы атома расположатся где-то на фермах северной Франции. Атомы обширны и пусты, поэтому ваша полноразмерная версия тоже обширна и пуста. Простейший атом – это водород, состоящий из одного протона и одного электрона. Поскольку электрон исчезающе мал, может показаться, что область его движения безгранична, но это не так. Он прикреплен к протону взаимным электромагнитным притяжением, и именно размер и форма этой просторной тюрьмы определяют характерный штрихкод из цветов радуги, тщательно зафиксированный в Handbuch der Spectroscopie нашим старым приятелем и частым гостем профессором Кайзером.

Сейчас мы можем применить накопленные знания для решения вопроса, который ставил в тупик Резерфорда, Бора и других ученых в первые десятилетия XX века: что именно происходит внутри атома? Если помните, проблема состояла в том, что Резерфорд выяснил сходство атома в некоторых отношениях с миниатюрной Солнечной системой: Солнце как твердое ядро в центре, и электроны как планеты, вращающиеся по удаленным орбитам. Резерфорд знал, что эта модель не может быть верной, потому что электроны на орбитах вокруг ядра должны постоянно испускать свет. Результат должен быть для атома катастрофическим, потому что, если электрон постоянно испускает свет, он должен терять энергию и закручиваться по спирали в направлении неизбежного столкновения с протоном. Конечно, этого не происходит. Атомы довольно стабильны, поэтому в нарисованной картине что-то не так. Но что?

Эта глава очень важна для всей книги, потому что здесь мы впервые попытаемся с помощью нашей теории объяснить явления реального мира. Весь наш труд до этого момента носил теоретический характер: мы разрабатывали особый «формализм» – способы представления квантовой частицы. Принцип неопределенности Гейзенберга и уравнение де Бройля стали венцом наших усилий, но в целом мы вели себя достаточно скромно, рассматривая Вселенную как состоящую из одной-единственной частицы. Теперь пора показать, как квантовая теория влияет на наш повседневный мир. Структура атомов – вещь исключительно реальная и осязаемая. Вы состоите из атомов: их строение – это ваше строение, их стабильность – ваша стабильность. Можно без особого преувеличения сказать, что понимание структуры атомов – одно из непременных условий понимания Вселенной в целом.

В атоме водорода электрон заперт в области, окружающей протон. Начнем с того, что представим, будто этот электрон заперт в своего рода ящике, что, впрочем, не так далеко от истины. Мы займемся исследованием того, до какой степени физика электрона, запертого в маленьком ящике, отражает ключевые особенности реального атома. Мы продолжим использовать то, что усвоили из предыдущей главы по поводу волновых свойств квантовых частиц: когда дело доходит до описания атомов, волновая картина действительно все упрощает, и мы можем добиться серьезного прогресса, не особенно беспокоясь по поводу уменьшения, добавления и смещения часов и их стрелок. Однако нужно все время держать в уме, что волны – это удобное приближение к тому, что происходит «под покровом». Так как структура, разработанная нами для квантовых частиц, очень близка к той, что описывает водяные волны, звуковые или волны гитарной струны, рассмотрим сначала поведение этих знакомых нам материальных волн в условиях определенного рода ограничений.

В целом следует сказать, что волны – сложные объекты. Представьте, что вы прыгаете в бассейн, полный воды. Вода немедленно начнет расплескиваться, и, кажется, не получится описать происходящее какими-то простыми методами. Однако за этой сложностью таится скрытая простота. Ключевым фактором будет ограниченность воды бассейном, то есть все волны в нем заперты. Это порождает феномен, известный под названием стоячей волны. Стоячие волны скрыты от нас в том беспорядке, который мы видим после своего прыжка в бассейн, но есть способ заставить воду «осциллировать» – двигаться в форме регулярных, повторяющихся колебаний стоячих волн. Рис. 6.1 показывает, как выглядит водная поверхность после того, как подвергнется одному такому колебанию. Максимумы и минимумы восходят и нисходят, но самое важное – то, что они восходят и нисходят строго в одном и том же месте. Есть и другие стоячие волны, в том числе такая, где вода в центре цистерны ритмически поднимается и опускается. Эти особые волны мы обычно не видим, потому что их трудно создать, но смысл в том, что абсолютно любое возмущение воды – даже вызванное нашим не самым элегантным нырком и последующей отчаянной молотьбой руками – может быть представлено в виде некоего сочетания различных стоячих волн. Мы уже встречались с таким типом поведения – это прямое обобщение идей Фурье, с которыми мы познакомились в прошлой главе.

Рис. 6.1. Шесть последовательных срезов стоячей волны в цистерне с водой. Ось времени направлена от верхнего левого к нижнему правому снимку

Там мы видели, что любой волновой пакет может состоять из сочетания волн определенной длины. Эти особые волны, отражающие состояние частицы с определенным импульсом, – синусоиды. В случае с запертыми водяными волнами можно сделать обобщение, что любое возмущение воды всегда можно описать с помощью какого-то сочетания стоячих волн. Позже в этой главе мы увидим, что стоячие волны имеют в квантовой теории важную интерпретацию: собственно говоря, в них содержится ключ к пониманию строения атома. Держа это в уме, рассмотрим стоячие волны более пристально.

На рис. 6.2 показан еще один пример стоячих волн в природе – три из множества возможных стоячих волн на гитарной струне. Когда мы трогаем гитарную струну, мы слышим звук, который определяется стоячей волной наибольшей длины – первой из трех, показанных на рисунке. И в физике, и в музыке это известно под названием низшей гармоники, или основного тона. Волны другой длины обычно тоже присутствуют и называются обертонами, или высшими гармониками.

Рис. 6.2. Три волны наибольшей длины, которые могут возникнуть при переборе гитарной струны. Самая длинная волна (сверху) соответствует нижней гармонике (основному тону), а остальные – высшим гармоникам (обертонам)

Две другие волны на рисунке – это два обертона с наибольшими длинами волн.

Гитара – отличный пример: довольно легко понять, почему гитарная струна может вибрировать только на этих конкретных волнах. Дело в том, что она фиксирована на обоих концах: с одной стороны – кобылкой[22], а с другой – пальцами, прижимающими струну к грифу. Это значит, что в двух этих точках струна не может двигаться, что и определяет разрешенные длины волны. Если вы играете на гитаре, вы инстинктивно понимаете такую физику: перебирая пальцами по грифу по направлению к кобылке, вы уменьшаете длину струны, тем самым заставляя ее колебаться с меньшей длиной волны, что соответствует более высоким нотам.

Нижняя гармоника – это волна, которая имеет всего две стационарные точки, или «узла»; во всех остальных точках она движется. Как видно на рисунке, длина волны звука равна двойной длине струны. Следующая, меньшая длина волны уже равняется длине струны, потому что мы можем видеть еще один узел в центре. Затем можно получить волну с длиной в ⅔ длины струны и т. д.

В целом, как и в случае с водой, запертой в бассейне, струна будет вибрировать в каком-то сочетании различных возможных стоячих волн, в зависимости от того, как именно тронута струна. Конкретную форму струны всегда можно получить, сложив стоячие волны, соответствующие каждой из имеющихся гармоник.

Гармоники и их относительные размеры дают характерный тон звука. У разных гитар будет разное распределение гармоник, поэтому и звучать они будут по-разному, но среднее до (чистая гармоника) на одной гитаре практически совпадает со средним до на другой.

Для гитары форма стоячих волн очень проста: это чистые синусоиды, и их длина фиксирована длиной струны. Для случая с бассейном стоячие волны более сложные, что показано на рис. 6.1, но общая идея такая же.

Возможно, вас интересует, почему эти конкретные волны называются стоячими. Дело в том, что они не меняют своей формы. Если мы сделаем два снимка гитарной струны, колеблющейся в форме стоячей волны, то эти две фотографии будут отличаться только общим размером волны. Пики будут всегда находиться в одних и тех же местах, как и узлы, которые фиксируются концами струны или, в случае с бассейном, его бортиками.

С математической точки зрения можно сказать, что волны на двух фотографиях отличаются только общим множителем. Этот множитель периодически колеблется со временем и отражает ритмические колебания струны. То же самое верно и для бассейна на рис. 6.1, где каждая фотография отличается от остальных общим множителем. Например, последняя фотография может быть получена из первой посредством умножения высоты волны в каждой точке на −1.

Иными словами, волны, каким-то образом ограниченные, всегда можно выразить в виде суммы стоячих волн (то есть тех, которые не меняют своей формы), и, как мы уже сказали, есть довольно серьезные причины посвятить им столько времени. Главная из них – стоячие волны квантованы. Это совершенно очевидно для стоячих волн на гитарной струне: длина основного тона в два раза превышает длину струны, а следующая по длине возможная волна равняется длине струны. Между этими двумя волнами стоячей волны с какой-либо промежуточной длиной быть не может, так что можно сказать, что разрешенные длины волн на гитарной струне квантованы.

Таким образом, с помощью стоячих волн проявляется следующее: «запирая» волны, мы что-то квантуем. В случае с гитарной струной это, очевидно, длина волны. В случае с электроном внутри ящика квантовые волны, соответствующие электрону, тоже будут заперты, и по аналогии можно ожидать, что в ящике будут присутствовать лишь волны с определенным, конкретным набором длин волн, а, следовательно, нечто вновь будет квантовано. Другие волны просто не могут существовать, как гитарная струна не может одновременно звучать всеми нотами в октаве. И общее состояние электрона, как и звук гитары, описывается смешением стоячих волн. Эти квантовые стоячие волны начинают выглядеть очень интересно. Заинтригованы? Приступаем к анализу.

Чтобы продвинуться в своих исследованиях, мы должны уточнить форму ящика, в который помещаем наш электрон. Для простоты предположим, что электрон может свободно двигаться в области размером L, но ему полностью запрещено выходить за пределы этой области. Необязательно уточнять, каким образом мы собираемся запретить электрону это делать, но, если наша модель претендует на то, чтобы быть упрощенной моделью атома, нужно представить, что за это отвечает притяжение положительно заряженного ядра. На научном жаргоне это имеет название «прямоугольная потенциальная яма». Мы зарисовали эту ситуацию на рис. 6.3, и причины для такого названия представляются очевидными. Идея заключения частицы в потенциальной яме очень важна, мы обратимся к ней еще не раз, поэтому полезно убедиться, что мы точно понимаем, о чем идет речь. Как на самом деле можно улавливать частицы?

Рис. 6.3. Электрон, пойманный в прямоугольную потенциальную яму

Вопрос довольно сложный: чтобы добраться до его сути, нужно выяснить, как частицы взаимодействуют друг с другом, о чем пойдет речь в главе 10. Тем не менее мы можем добиться прогресса в рассуждениях, если не будем задавать слишком много вопросов.

Способность «не задавать слишком много вопросов» – необходимый для физика навык, потому что для получения хоть каких-то ответов где-то надо провести черту, так как ни одна система объектов не может быть полностью изолированной. Кажется разумным, что при желании понять, как работает микроволновая печь, не стоит интересоваться движением вокруг нее.

Все это движение окажет незначительное влияние на работу микроволновки. Оно вызовет колебания воздуха и земли, которые повлекут за собой небольшие сотрясения и самой печи. Могут появиться какие-то бродячие магнитные поля, которые повлияют на работу электроники, как бы хорошо она ни была защищена от подобных воздействий. Игнорируя такие вещи, легко допустить ошибку, так как можно упустить из виду действительно важные детали. Если так и произойдет, мы получим неверный ответ и будем вынуждены пересмотреть предположения. Это очень важный момент, напрямую связанный с научным успехом: все предположения в конце концов подтверждаются или опровергаются экспериментально. Арбитром является природа, а не человеческая интуиция. Поэтому наша стратегия – игнорировать подробности функционирования механизма удержания электрона и моделировать нечто под названием «потенциал». Слово «потенциал» на самом деле обозначает «воздействие на частицу какой-то физической или иной силы, которую я не очень хочу подробно объяснять». Мы, впрочем, позже подробно опишем методы взаимодействия частиц, а пока будем употреблять термин «потенциал». Если это звучит несколько бесцеремонно, рассмотрите пример, иллюстрирующий использование потенциалов в физике.

На рис. 6.4 изображен мяч, лежащий в долине. Если ударить по мячу, он может подняться, но лишь до определенного предела, после чего снова упадет. Это отличный пример частицы, пойманной потенциалом. В этом случае гравитационное поле Земли создает потенциал, а крутой холм порождает крутой потенциал. Нужно понимать, что мы можем вычислить подробности передвижения мяча по долине, не зная деталей того, как долина взаимодействует с мячом, потому что для этого пришлось бы знать еще и теорию квантовой электродинамики. Если окажется, что детали внутриатомного взаимодействия между атомами в долине и атомами в мяче слишком сильно воздействуют на движение мяча, наши предсказания окажутся неверными. На самом деле внутриатомные взаимодействия важны, потому что из них возникает трение, но моделировать ситуацию можно и без обращения к диаграммам Фейнмана. Однако мы уклонились от темы.

Рис. 6.4. Мяч лежит в долине. Высота над уровнем моря прямо пропорциональна потенциалу, воздействию которого подвергается движущаяся частица

Этот пример очень важен, потому что в прямом смысле демонстрирует форму потенциала[23].

Однако идея имеет более общее содержание и работает в том числе и для потенциалов, созданных не гравитацией и не впадинами на земной поверхности. Примером служит электрон, оказавшийся в прямоугольной яме. В отличие от случая с мячом в долине, высота стенок ящика не может быть точной высотой чего бы то ни было; скорее, можно говорить, что она соответствует скорости, с которой должен двигаться электрон, чтобы выбраться из ямы. В случае с долиной аналогом этого будет быстрое движение мяча, при котором он взлетит выше стен и выскочит из ямы. Если электрон движется достаточно медленно, точная высота потенциала не имеет особого значения, и можно уверенно предположить, что движение электрона ограничено внутренней частью ямы.

Теперь сосредоточимся на электроне, замкнутом в ящике, который описывается прямоугольной потенциальной ямой. Поскольку он не может вырваться из ящика, квантовые волны должны упасть до нуля у его стенок. Три возможные квантовые волны с наибольшими длинами будут полностью аналогичны волнам, созданным гитарной струной и показанным на рис. 6.2: самая длинная волна будет иметь двойной размер по сравнению с ящиком, то есть 2L; следующая по длине волна будет равна размеру ящика – L; а следующая – 2L / 3. В общем случае мы можем описать электронные волны формулой 2L / n, где n = 1, 2, 3, 4 и т. д.

Таким образом, для нашего прямоугольного ящика электронные волны будут иметь точно такую же форму, что и волны на гитарной струне: это будут волны-синусоиды с четко определенным набором разрешенных длин. Теперь можно двинуться вперед, призвав на помощь уравнение де Бройля из предыдущей главы и связав длину этих волн-синусоид с импульсом электрона: p = h / λ. В этом случае стоячие волны описывают электрон, которому разрешено иметь лишь определенные импульсы, заданные формулой p = nh / (2L), где все, что нам остается, – подставить разрешенные длины волны в уравнение де Бройля.

Получается, что импульс нашего электрона в прямоугольной яме квантуется. Это уже большое достижение. Однако надо быть осторожными: потенциал на рис. 6.3 – специфический случай, для других потенциалов стоячие волны обычно не синусоидальные. На рис. 6.5 показана фотография стоячих волн, созданных барабаном. Кожа барабана усыпана песком, который собирается в узлах стоячей волны. Так как кайма вибрирующего барабана круглая, а не прямоугольная, стоячие волны уже не будут синусоидами[24]. Это значит, что в более реалистичной ситуации, когда электрон пойман протоном, стоячие волны тоже не будут синусоидами. В свою очередь, это подразумевает, что связь между длиной волны и импульсом утеряна. И как в этом случае интерпретировать стоячие волны? Что если у пойманных частиц квантуется не импульс?

Рис. 6.5. Вибрирующий барабан покрыт песком. Песок собирается в узлах стоячих волн

Мы можем найти ответ, если заметим, что в прямоугольной потенциальной яме квантуется не только импульс электрона, но и его энергия. Это простое наблюдение, кажется, не содержит никакой новой важной информации, поскольку энергия и импульс прямо связаны друг с другом, а именно энергия E = p² / 2m, где p – импульс удерживаемого электрона, а m – его масса[25]. Но это наблюдение не такое уж бесполезное, как можно подумать, потому что для потенциалов не столь простых, как прямоугольная яма, каждая стоячая волна всегда соотносится с частицей определенной энергии.

Важное различие между энергией и импульсом появляется потому, что уравнение E = p² / 2m верно, только если потенциал одинаков по всей области вероятного пребывания частицы и позволяет ей двигаться свободно, как по мраморной столешнице или, что больше относится к делу, как электрону в прямоугольной яме. В общем случае энергия частицы не будет сводиться к E = p² / 2m; это будет сумма кинетической и потенциальной энергий частицы. Так разрушается прямая связь между энергией частицы и ее импульсом.

Можно еще раз проиллюстрировать это положение с помощью мяча в долине с рис. 6.4. Начнем с мяча, который счастливо покоится на дне. С ним ничего не происходит[26]. Чтобы заставить мяч катиться вверх по склону, его нужно ударить, то есть добавить ему энергии. В мгновение, следующее за ударом, вся его энергия будет кинетической. По мере подъема мяча по склону он будет замедляться, пока на какой-то высоте не остановится, после чего будет снова падать. В момент остановки он не будет обладать кинетической энергией, но ведь энергия не исчезла по волшебству. На самом деле вся кинетическая энергия превратилась в потенциальную, которая равняется mgh, где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли, а h – высота мяча над земной поверхностью. Когда мяч начинает падать, эта накопленная потенциальная энергия при наборе скорости постепенно снова превращается в кинетическую. Итак, пока мяч перелетает с одного конца долины в другой, общая энергия остается постоянной, но периодически перетекает из кинетической в потенциальную. Разумеется, импульс мяча постоянно меняется, но суммарная энергия остается неизменной (предположим, что трения, замедляющего скорость мяча, не существует. Если бы мы включили его в нашу картину, общая энергия тоже осталась бы неизменной, но нужно было бы добавить в качестве ее составляющей энергию, идущую на трение).

Сейчас мы попытаемся исследовать связь между стоячими волнами и частицами определенной энергии иным способом, не обращаясь к особому случаю прямоугольной ямы. Воспользуемся на сей раз маленькими квантовыми циферблатами.

В первую очередь заметьте: если электрон в какой-то момент времени описывается стоячей волной, то он будет описываться той же стоячей волной и в любой следующий момент. Под «той же» мы подразумеваем неизменность формы волны, как в случае со стоячей водяной волной на рис. 6.1. Мы, конечно, не имеем в виду, что волна вообще не меняется: изменяется ее высота, но не положение пиков и узлов.

Это позволяет нам установить, как должно выглядеть описание стоячей волны в терминах квантовых циферблатов, и оно показано на рис. 6.6 для случая стоячей волны основного тона. Размеры циферблатов вдоль волны отражают положение пиков и узлов, а все стрелки часов движутся с одинаковой скоростью. Надеемся, вы понимаете, почему мы изобразили именно такую группу циферблатов. Узлы должны всегда быть узлами, а пики – пиками, и они все должны оставаться на одном месте. Это значит, что циферблаты вблизи узлов должны всегда быть очень маленькими, а циферблаты, соответствующие пикам, должны всегда иметь самые длинные стрелки. Таким образом, единственное, что мы вольны делать, – так это поместить циферблаты по своему усмотрению и заставить их стрелки вращаться синхронно. Если следовать методологии предыдущих глав, мы должны были бы начать с конфигурации циферблатов, показанной в верхнем ряду рис. 6.6, и использовать правила уменьшения и поворота стрелок, чтобы получить три нижних ряда позже. Это упражнение со скачущими циферблатами – слишком сильный скачок прочь от темы книги, но его можно выполнить, и тут есть неплохой поворот[27], поскольку, чтобы выполнить упражнение правильно, нужно учесть тот факт, что частица «отскакивает от стенок ящика», прежде чем двинуться в своем направлении. Кстати, поскольку циферблаты в центре больше, мы можем непосредственно заключить, что электрон, который описывается этим набором циферблатов, скорее окажется в центре ящика, чем по краям.

Рис. 6.6. Четыре снимка стоячей волны в последовательные моменты времени. Стрелки на рисунке соответствуют стрелкам часов, а пунктирная линия – проекции «двенадцатичасового» направления. Все стрелки движутся в унисон

Итак, мы выяснили, что удерживаемый электрон описывается набором циферблатов, все стрелки которых вращаются с одинаковой скоростью. Физики, впрочем, обычно так не говорят, а уж музыканты и подавно; те и другие говорят, что стоячие волны – это волны определенной частоты[28]. Высокочастотные волны соответствуют часам, стрелки которых вращаются быстрее, чем стрелки часов низкочастотных волн. Это понятно, потому что если стрелка часов вращается быстрее, то уменьшается время падения волны с максимума до минимума и обратного подъема (представленного полным оборотом стрелки). Если говорить о водяных волнах, то высокочастотные стоячие волны поднимаются и опускаются быстрее, чем низкочастотные. В музыке говорят, что среднее до имеет частоту 262 Гц, то есть гитарная струна ежесекундно колеблется 262 раза. Нота ля выше среднего до, она имеет частоту 440 Гц, то есть колеблется быстрее (это общепринятый стандарт настройки в большинстве оркестров и для музыкальных инструментов во всем мире). Как мы уже отметили, однако, лишь для чистых синусоид верно, что волны определенной частоты имеют и определенную длину волны. В общем же случае частота – фундаментальная величина, которая описывает стоячие волны, но это определение, кажется, ничего не определяет. Вот вопрос на миллион долларов: что такое электрон определенной частоты? Напомним, что состояния электрона нам интересны, потому что они квантованы, и еще потому, что электрон в одном подобном состоянии остается таким все время (пока нечто не войдет в область потенциала, воздействуя на этот электрон).

Последнее предложение намекает, что мы должны понять значение частоты. В этой главе мы уже встречались с законом сохранения энергии, и это один из самых несомненных законов физики. Сохранение энергии означает, что если электрон в атоме водорода (или в прямоугольной яме) обладает определенной энергией, то эта энергия не может измениться, пока «что-то не произойдет». Иными словами, электрон не может спонтанно изменить свою энергию без какой-либо причины. Кажется, что это не очень интересно, но сравните это со случаем, когда известно, что электрон находится в определенной точке. Как мы все хорошо знаем, он теперь будет перемещаться по всей Вселенной в долю секунды, переводя бесконечное число циферблатов. Но поведение циферблатов для стоячей волны будет иным. Структура циферблатов сохранит свою форму, и все стрелки будут счастливо вращаться, пока что-либо не нарушит их хода. Неизменная природа стоячих волн, таким образом, делает их очевидным кандидатом на описание электрона с определенной энергией.

Сделав шаг, связывающий частоту стоячей волны с энергией частицы, теперь мы можем использовать наше представление о гитарных струнах и предположить, что более высокие частоты должны соответствовать большим энергиям. Дело в том, что высокая частота подразумевает меньшую длину волны (поскольку короткие струны вибрируют быстрее), и мы, изучив конкретный случай прямоугольной потенциальной ямы, можем ожидать, что более короткая длина волны соответствует частице с большей энергией – по уравнению де Бройля. Таким образом, можно сделать важный вывод, который необходимо запомнить: стоячие волны описывают частицы с определенной энергией, и чем больше энергия, тем быстрее идут стрелки часов.

Резюмируем: если электрон удерживается потенциалом, то его энергия квантуется. На физическом жаргоне это звучит так: удерживаемый электрон может существовать только на определенных «энергетических уровнях». Минимально возможная энергия электрона соответствует его описанию только одной стоячей волной «основного тона»[29], и этот энергетический уровень обычно называют основным состоянием. Энергетические уровни, соответствующие стоячим волнам с более высокими частотами, носят название возбужденных состояний.

Представим электрон с определенной энергией, удерживаемый в прямоугольной потенциальной яме. Мы говорим, что он «находится на определенном энергетическом уровне» и его квантовая волна связана с единственным значением n. Выражение «находится на определенном энергетическом уровне» отражает тот факт, что электрон в отсутствие любых внешних влияний не делает ничего. Обобщим: электрон можно описать сразу многими стоячими волнами, как звук гитары состоит из многих гармоник. Это значит, что в общем случае электрон не имеет конкретной энергии.

Важно, что при измерении энергии электрона всегда будет получаться величина, равная той, которая связана с одной из составляющих стоячих волн. Чтобы вычислить вероятность нахождения электрона с конкретной энергией, мы должны взять циферблаты, связанные с конкретной составляющей общей волновой функции, возвести их в квадрат и сложить. От получившегося числа и зависит вероятность нахождения электрона в этом конкретном энергетическом состоянии. Сумму всех таких вероятностей (одна для каждой составляющей стоячей волны) должна в итоге получиться равной единице, и это лучшая иллюстрация того, что энергия частицы всегда будет соответствовать конкретной стоячей волне.

Сразу скажем, что электрон может одновременно иметь несколько различных энергий, и это утверждение ничуть не менее странное, чем то, что он имеет множество положений. Конечно, дочитав книгу до этого момента, стресс вы вряд ли испытаете, но для нашего повседневного восприятия это все равно шок. Заметьте, что есть критически важная разница между удерживаемой квантовой частицей и стоячими волнами в бассейне или на гитарной струне. Идея квантования волны на гитарной струне вовсе не странна, потому что волна, которая, собственно, описывает вибрирующую струну, одновременно состоит из многих разных стоячих волн, и все они физически составляют общую энергию волны. Так как смешивать их можно любым образом, действительная энергия вибрирующей струны может принимать вообще любое значение. Однако для электрона, запертого внутри атома, относительный вклад каждой стоячей волны описывает вероятность того, что электрон будет обнаружен с некой конкретной энергией.

Важная разница в том, что водяные волны – это волны водяных молекул, а электронные волны – это определенно не волны электронов.

Все это показывает, что энергия электрона внутри атома квантуется. Это значит, что электрон просто не может иметь энергию, значение которой будет располагаться между определенными разрешенными величинами: примерно как если бы мы сказали, что машина может ехать со скоростью 10 или 40 км/ч, но не с какой-то скоростью между этими двумя величинами. И это фантастически странное умозаключение непосредственно объясняет, почему атомы не испускают свет постоянно, что сопровождалось бы спиральным движением электрона к ядру. Дело в том, что электрон не может постоянно, по чуть-чуть излучать энергию. Единственный способ, которым он может испускать энергию, – потерять ее сразу и полностью.

То, что мы уже усвоили, можно применить к наблюдаемым свойствам атомов, а именно к уникальному цвету их излучения. На рис. 6.7 показан видимый свет, испускаемый простейшим атомом – водородом. Свет состоит из пяти отчетливых цветов: ярко-красная линия соответствует свету с длиной волны 656 нм, светло-голубая – длине волны 486 нм, а три остальные фиолетовые затухают в ультрафиолетовой части спектра. Эта серия цветных линий известна как серия Бальмера (в честь швейцарского физика и математика Иоганна Бальмера, который в 1885 году предложил формулу для ее описания).

Рис. 6.7. Водородная серия Бальмера: вот что видно, когда свет, испускаемый газообразным водородом, проходит через спектроскоп

Бальмер понятия не имел, почему его формула верна, потому что квантовая теория еще не была открыта: он просто выразил регулярность серии удобной математической формулой. Но мы можем пойти дальше и показать, что все дело в разрешенных квантовых волнах внутри атома водорода.

Мы знаем, что свет можно представить в виде потока фотонов, каждый из которых обладает энергией E = hc / λ, где λ – длина световой волны[30]. Таким образом, то, что атомы испускают свет лишь определенного цвета, означает, что они испускают фотоны с четко определенной энергией. Мы выяснили также, что электрон, «заключенный в атоме», может обладать лишь определенной конкретной энергией. Это небольшой шаг на пути к объяснению давней загадки цвета излучения атомов: разные цвета соответствуют испусканию фотонов, при котором электроны «перепрыгивают» с одного разрешенного энергетического уровня на другой. Эта идея подразумевает, что наблюдаемая энергия фотона всегда должна соответствовать разнице между парой разрешенных значений энергии электрона. Такой способ описания физических явлений отлично иллюстрирует ценность выражения состояния электрона в терминах разрешенных значений его энергии. Если вместо этого мы бы предпочли говорить о разрешенных значениях импульса электрона, то квантовая природа этих явлений не была бы столь очевидной и нам не удалось бы с такой легкостью заключить, что атом может испускать и поглощать излучение только с определенными длинами волны.

Модель атома как частицы в ящике недостаточно точна для того, чтобы позволить нам вычислить значения энергии электрона в реальном атоме, необходимые для проверки всей нашей идеи. Но можно провести достаточно точные вычисления, если мы лучше смоделируем потенциал вблизи протона, который и удерживает электрон. Достаточно сказать, что эти вычисления без тени сомнения подтверждают: здесь-то и кроется причина появления загадочных спектральных линий.

Наверное, вы заметили, что мы пока не объяснили, почему электрон, испуская фотон, теряет энергию. Для целей, обсуждающихся в этой главе, такое объяснение не требуется. Но что-то должно побудить электрон покинуть святилище стоячей волны, и это «что-то» будет темой главы 10. Сейчас же просто скажем: чтобы объяснить наблюдаемые спектры светового излучения, испускаемого атомами, необходимо предположить, что свет испускается, когда электрон перескакивает с одного энергетического уровня на другой, с меньшей энергией. Разрешенные энергетические уровни определяются формой удерживающего ящика и варьируются от атома к атому, потому что разные атомы служат разной средой, внутри которой заключены их электроны.

До настоящего времени мы сполна использовали возможности для объяснения положения дел с помощью очень простой картины атома, но вообще-то не так уж верно считать, что электроны свободно передвигаются внутри какого-то ящика, который их ограничивает. Они передвигаются вблизи множества протонов и других электронов, и для лучшего понимания природы атомов мы должны определить, как более точно описать эту среду.

Вооружившись понятием потенциала, можно более точно описать атомы. Начнем с простейшего из всех – атома водорода. Он состоит всего из двух частиц – электрона и протона. Протон почти в 2000 раз тяжелее электрона, так что мы можем предположить, что он почти ничего не делает и просто покоится на месте, создавая потенциал, удерживающий электрон.

Протон обладает положительным электрическим зарядом, а электрон – равным ему отрицательным зарядом. Кстати, причина, по которой электрические заряды протона и электрона в точности равны и противоположны друг другу, – это одна из величайших загадок физики. Вероятно, есть очень веская причина, которая связана с некоей пока еще не открытой теорией субатомных частиц, но на момент написания этой книги никто не может сказать этого с уверенностью.

Рис. 6.8. Потенциальная яма Кулона вокруг протона. Яма глубже всего там, где находится сам протон

Что мы действительно знаем, так это то, что противоположные заряды притягиваются и протон перетягивает электрон к себе, поэтому, с точки зрения доквантовой физики, он может притянуть к себе электроны на сколь угодно малое расстояние. Насколько оно мало, зависит от конкретной природы протона: он твердый шарик или какое-то облако? Но этот вопрос не имеет физического смысла, потому что, как мы уже видели, существует минимальный энергетический уровень, на котором может находиться электрон и который определяется (грубо говоря) квантовой волной самой большой длины, которая способна поместиться в потенциал, созданный протоном. Этот созданный протоном потенциал мы изобразили на рис. 6.8. Глубокая «яма» функционирует так же, как уже известная нам прямоугольная потенциальная яма, только ее форма уже не столь проста. Она носит название потенциала Кулона, потому что подчиняется закону, описывающему взаимодействие двух электрических зарядов, который впервые вывел Шарль Огюстен де Кулон в 1783 году.

Проблема, однако, остается той же самой: мы должны выяснить, какие квантовые волны могут соответствовать этому потенциалу, что и определит разрешенные энергетические уровни атома водорода. Будучи бесхитростными, мы могли бы сказать, что это делается посредством «решения волнового уравнения Шрёдингера для потенциальной ямы Кулона», что служит способом применения правила перевода циферблатов. Детали этого процесса чисто технические, даже для таких простых объектов, как атом водорода. К счастью, мы не узнаем здесь почти ничего нового по сравнению с тем, что уже усвоили, так что перейдем прямо к ответу. Рис. 6.9 показывает некоторые получающиеся стоячие волны для электрона в атоме водорода. Это картина распределения вероятностей нахождения электрона в какой-либо точке. В более светлых областях такая вероятность выше. Конечно, реальный атом водорода трехмерный, и эти рисунки соответствуют разрезам в центре атома. Рисунок слева вверху – это волновая функция основного состояния, показывающая, что электрон в этом случае обычно находится на расстоянии примерно 1 × 10^–10 м от протона. Энергия стоячих волн нарастает от левого верхнего к правому нижнему рисунку. Масштаб тоже изменяется в восемь раз от левого верхнего к правому нижнему рисунку, так что светлая область, покрывающая большую часть левого верхнего рисунка, имеет примерно тот же размер, что и маленькие яркие точки в центре двух правых рисунков. Это значит, что электрон, скорее всего, будет располагаться дальше от протона, когда он находится на более высоких энергетических уровнях (а следовательно, слабее с ним связан). Ясно, что эти волны совсем не синусоиды, то есть не соотносятся с состояниями определенного импульса. Но, как мы изо всех сил стараемся подчеркнуть, они соответствуют состояниям определенной энергии.

Рис. 6.9. Четыре квантовые волны с самой низкой энергией, описывающие электрон в атоме водорода. В светлых областях электрон может находиться с наибольшей вероятностью. Протон в центре. Рисунки вверху справа и внизу слева увеличены в 4 раза по сравнению с первым, а рисунок внизу справа – в 8 раз. Первый рисунок соответствует размеру примерно 3 × 10^–10 м в диаметре

Отчетливая форма стоячих волн появляется благодаря форме ямы, однако некоторые детали следует обсудить более подробно. Самая очевидная особенность воронки вокруг протона заключается в ее сферической симметричности, то есть со всех сторон она выглядит одинаково. Чтобы представить это, возьмите баскетбольный мяч без каких-либо отметок на нем: это идеальная сфера, которая выглядит одинаково, как ее ни вращай. Возможно, мы можем думать об электроне внутри атома водорода как о запертом внутри микроскопического баскетбольного мяча? Это определенно более удачно, чем говорить о том, что электрон попался в квадратную яму, но, как ни удивительно, тут есть некое сходство. Рис. 6.10 показывает слева две стоячие волны с самой низкой энергией, которые могут возникнуть внутри баскетбольного мяча. Мы снова разрезали мяч, и давление воздуха внутри него повышается от черного к белому. Справа даны две возможные стоячие волны электрона в атоме водорода.

Рис. 6.10. Две простейшие стоячие звуковые волны внутри баскетбольного мяча (слева) в сравнении с соответствующими электронными волнами в атоме водорода (справа). Они очень похожи. Верхний рисунок атома водорода – это увеличенное изображение центральной части левой нижней картинки с рис. 6.9

Рисунки не идентичны, но очень похожи. И снова не будет столь уж глупо предположить, что электрон внутри атома водорода находится внутри чего-то, похожего на микроскопический баскетбольный мяч. Этот рисунок демонстрирует волновое поведение квантовых частиц, и мы надеемся, что он до некоторой степени срывает покровы таинственности с данного предмета: понимание поведения электрона в атоме водорода не более сложно, чем понимание того, как колеблется воздух внутри баскетбольного мяча.

Прежде чем оставить в покое атом водорода, мы хотели бы еще немного поговорить о потенциале, создаваемом протоном, и о том, как электрон перепрыгивает с более высокого энергетического уровня на более низкий, испуская при этом фотон.

Мы избежали разговоров о том, как взаимодействуют друг с другом протон и электрон, введя идею потенциала. Это упрощение позволило понять квантование энергии запертых частиц. Но если мы всерьез хотим понять, что происходит, нужно попытаться объяснить механизм «запирания» частиц. Когда частица движется в рассматриваемом нами ящике, можно представить непроницаемую стенку, предположительно состоящую из атомов, так что частица не может пройти сквозь нее из-за взаимодействия с этими атомами. Правильное понимание «непроницаемости» приходит через понимание того, как частицы взаимодействуют друг с другом. Мы говорили, что протон в атоме водорода создает потенциал, в котором движется электрон, и этот потенциал захватывает электрон аналогично тому, как частица удерживается в ящике. Это приводит к более глубокой проблеме, потому что электрон, очевидно, взаимодействует с протоном, и именно это предопределяет «запирание» электрона.

В главе 10 мы увидим, что же необходимо добавить к уже сформулированным квантовым правилам. Эти добавки будут касаться взаимодействия частиц. Пока наши правила очень просты: частицы двигаются, перенося с собой воображаемые часы, стрелки которых переводятся назад точно определенным образом в зависимости от расстояния, на которое перемещаются частицы. Все прыжки частиц разрешены, так что частица может переместиться из точки А в точку В по бесконечному количеству различных траекторий. Каждая траектория приносит в точку В собственный квантовый циферблат, и мы должны сложить их все, чтобы получился единый общий циферблат, который позволит нам определить вероятность нахождения частицы в точке В. Добавление взаимодействий в эту картину оказывается на удивление простым делом. Мы дополняем правила перемещения частиц новым правилом, которое гласит, что частица может испускать или поглощать другую частицу. Если до взаимодействия была одна частица, то после него их может оказаться две; если до взаимодействия частиц было две, после него может остаться только одна. Конечно, если мы собираемся вырабатывать математические формулы для этого, мы обязаны уточнить, какие именно частицы будут сливаться или распадаться и что произойдет после взаимодействия с теми циферблатами, которые несет с собой каждая частица. Это станет темой главы 10, но предпосылки очевидны и так. Если есть правило, по которому электрон в ходе взаимодействия испускает фотон, то существует вероятность того, что электрон в атоме водорода может испустить фотон, потерять энергию и опуститься на более низкий энергетический уровень. Он может также поглотить фотон, приобрести энергию и подняться на более высокий энергетический уровень.

Существование спектральных линий подтверждает, что именно так все и происходит, но далеко не с равной вероятностью, а именно: электрон может испускать фотон и лишаться энергии в любое время, но единственный способ получения энергии и перехода на более высокий энергетический уровень заключается в существовании фотона (или какого-то иного источника энергии), который мог бы с ним столкнуться. В газообразном водороде таких фотонов обычно мало, а расстояние между ними велико. Атом в возбужденном состоянии имеет гораздо больше шансов на испускание фотона, чем на его поглощение. Общий эффект состоит в том, что атомы водорода стремятся выходить из возбужденного состояния (релаксировать), под чем мы понимаем победу испускания над поглощением. Со временем атом возвращается к основному состоянию n = 1. Это правило не может быть общим, поскольку можно постоянно возбуждать атомы, обеспечив контролируемую подкачку энергии. На этом основана технология лазера, ныне используемая повсеместно. Главная идея лазера состоит в закачивании энергии в атомы, приводящем к их возбуждению, и сборе фотонов, испускаемых при потере электронами энергии. Эти фотоны очень полезны для чтения данных высокой четкости, записанных на поверхности CD или DVD: влияние квантовой механики на нашу жизнь весьма многообразно.

В этой главе мы сумели объяснить происхождение спектральных линий, используя простую идею квантованных энергетических уровней. Кажется, нам удалось выработать правильный взгляд на атомы. Но все же кое-что не совсем так. Не хватает последнего кусочка головоломки, без которого невозможно объяснить структуру более тяжелых атомов, чем водород. Если говорить более прозаично, нам также не удастся объяснить, почему мы, собственно, не проваливаемся сквозь землю, что создает проблемы для нашей замечательной теории природы. Объяснение, которое мы ищем, кроется в работах австрийского физика Вольфганга Паули.

В первых главах мы рассказывали о законах, по которым движутся мельчайшие частицы. Они перескакивают с места на место, без стеснения исследуя пространство и метафорически перенося с собой свои микроскопические циферблаты. Добавив множество циферблатов, соответствующих разнообразным способам, которыми они могут прибыть в некую определенную точку в пространстве, мы получаем единый общий циферблат, размер которого свидетельствует о вероятности найти частицу «там». Из диких, анархических проявлений квантовых скачков появляются более известные нам свойства повседневных предметов. В каком-то смысле каждый электрон, каждый протон и каждый нейтрон, присутствующие в вашем теле, постоянно исследуют всю Вселенную, и только когда вычислена общая сумма всех этих исследований, мы оказываемся в мире, где атомы нашего тела, к счастью, стремятся находиться в относительно стабильной форме – по крайней мере, на век или больше. Но мы до сих пор никоим образом не касались природы взаимодействий между частицами. Мы ухитрились довольно далеко продвинуться, не касаясь вопроса о том, на каком языке частицы разговаривают друг с другом. Во многом помогла идея потенциала. Но что такое потенциал? Если мир состоит исключительно из частиц, то, разумеется, мы можем совсем отказаться от смутного представления, что частицы двигаются «в потенциале», созданном другими частицами, и говорить уже о том, как именно движутся частицы и как взаимодействуют.

Современный подход к фундаментальной физике, известный как квантовая теория поля, действительно устраняет это понятие, добавляя к законам движения частиц новые законы, которые объясняют, как эти частицы взаимодействуют друг с другом. Эти законы оказываются более сложными, чем те, с которыми мы уже встречались, и одно из чудес современной науки в том, что, несмотря на всю сложность и запутанность мира природы, законов этих не так уж много. Альберт Эйнштейн писал: «Вечная тайна мира – в его понятности», а то, что «он понятен, это настоящее чудо».

Начнем с формулировки законов первой открытой квантовой теории поля – квантовой электродинамики, сокращенно QED. Истоки этой теории восходят к 1920-м годам, когда Дираку с особенным успехом удалось поставить электромагнитную теорию Максвелла на квантовые рельсы. Мы уже много раз встречались в этой книге с квантами электромагнитного поля, а именно с фотонами, но в то время с новой теорией было связано много очевидных проблем, остававшихся неразрешимыми в 1920–1930-е годы. Как именно, например, электрон испускает фотон при движении между энергетическими уровнями в атоме? И что происходит с фотоном, когда он поглощается электроном, что позволяет электрону перепрыгнуть на более высокий энергетический уровень? Очевидно, что фотоны могут создаваться и разрушаться во внутриатомных процессах, и то, как это происходит, не описывается той «старомодной» квантовой теорией, с которой мы до сих пор имели дело в этой книге.

В истории науки есть несколько легендарных собраний ученых – встреч, кажется, определенно изменивших ход науки. Возможно, это немного не так, поскольку обычно участники таких встреч уже много лет работали над своими проблемами, но состоявшаяся в июне 1947 года конференция в Шелтер-Айленде, на оконечности Лонг-Айленда в Нью-Йорке, обладает вескими основаниями на то, чтобы считаться катализатором научных открытий. Уже только список участников стоит того, чтобы прочитать его вслух и с выражением, потому что он краток и тем не менее содержит имена величайших американских физиков XX века. Вот он в алфавитном порядке: Ханс Бете, Дэвид Бом, Грегори Брейт, Виктор Вайскопф, Карл Дарроу, Хендрик Крамерс, Уиллис Лэмб, Дункан Макиннес, Роберт Маршак, Джон фон Нейман, Арнольд Нордсик, Роберт Оппенгеймер, Абрахам Пайс, Лайнус Полинг, Исидор Раби, Бруно Росси, Роберт Сербер, Эдвард Теллер, Джон Уилер, Джордж Уленбек, Ричард Фейнман, Герман Фешбах, Джон ван Флек и Джулиан Швингер. Читатель уже встречал в книге некоторые из упомянутых имен, а любой студент физического факультета, вероятно, знает большинство из них. Американский писатель Дэйв Барри однажды сказал: «Если одним словом определить, почему человеческая раса не раскрыла и никогда не раскроет полностью свой потенциал, то это будет слово “собрания”». Это, безусловно, верно, но встреча в Шелтер-Айленде была исключением. Собрание началось с презентации того, что с тех пор получило название лэмбовского сдвига. Уиллис Лэмб с помощью высокоточных микроволновых методов, разработанных в ходе Второй мировой войны, обнаружил, что спектр водорода на самом деле не до конца описывается старой квантовой теорией. Существовал мельчайший сдвиг наблюдаемых энергетических уровней, который нельзя было объяснить теорией, изложенной нами в первой части книги. Этот эффект был крохотным, но стал настоящим вызовом для собравшихся теоретиков.

Тут мы оставим Шелтер-Айленд, волнующийся после речи Лэмба, и обратимся к теории, возникшей в следующие месяцы и годы. Тем самым мы раскроем происхождение лэмбовского сдвига, а сейчас, чтобы разжечь ваш аппетит, приведем довольно загадочное описание ответа: протон и электрон в атоме водорода не одни.

QED – теория, описывающая, как электрически заряженные частицы, например электроны, взаимодействуют друг с другом и с частицами света (фотонами). Она одна способна объяснить все природные явления, за исключением гравитации и ядерных феноменов. К ядерным феноменам мы обратимся позже и объясним, почему атомное ядро не распадается, хотя представляет собой множество положительно заряженных протонов и нейтронов без заряда, которые в одну секунду разлетелись бы, если бы внутри ядра не происходили какие-то процессы. Практически все остальное – и уж точно все, что вы видите и ощущаете, – объясняется на глубинных уровнях QED. Материя, свет, электричество и магнетизм – все это QED.

Начнем с толкования системы, с которой мы неоднократно уже встречались в этой книге, а именно Вселенной с одним электроном. Кружки на рисунке со «скачками циферблатов» на рис. 3.6 показывают множество возможных местонахождений электрона в какой-то момент времени. Чтобы вывести вероятность нахождения электрона в некоторой точке Х в более позднее время, как говорят наши квантовые правила, мы должны позволить электрону перескочить в точку Х из любой возможной исходной точки. Каждый скачок приносит в точку Х циферблат, мы суммируем их и получаем ответ.

Сейчас мы сделаем то, что может изначально показаться слишком сложным, но, конечно, имеет под собой серьезные основания. Придется задействовать несколько А, В и Т – иными словами, мы снова возвращаемся на поле твидовых жилетов и меловой пыли; не беспокойтесь, это ненадолго.

Когда частица из точки А в нулевое время направляется к точке В во время Т, мы можем подсчитать, как будет выглядеть циферблат в точке В, переведя стрелки в точке А назад на величину, определенную расстоянием между В и А и временным интервалом. Иными словами, можем записать, что циферблат в точке В задается C(A, 0) P(A, B, T), где C(A, 0) представляет исходный циферблат в точке А и в нулевое время, а P(A, B, T) – воплощение правила перевода и уменьшения циферблатов, связанного со скачком из А в В[44]. Мы будем называть P(A, B, T) «пропагатором» (функцией распространения. – Прим. ред.) перемещения из точки А в точку В. Теперь, когда известно правило перемещения из точки А в точку В, мы готовы вычислить вероятность нахождения частицы в точке Х. На рис. 4.2 есть множество исходных точек, так что нам придется продвинуться в точку Х из всех этих стартовых точек и сложить все получившиеся циферблаты. В нашей кажущейся зубодробительной нотации получается циферблат C(X, T) = C(X1, 0) P(X1, X, T) + C(X2, 0) P(X2, X, T) + C(X3, 0) P(X3, X, T) +…, где X1, X2, X3 и так далее отражают все позиции частицы в нулевое время (то есть позиции кружков на рис. 4.2). Уточним: запись C(X3, 0) P(X3, X, T) просто значит «взять циферблат в точке Х3 и переместить ее в точку Х за время Т». Не стоит думать, что тут происходит нечто очень сложное. Все, что мы делаем, так это вкратце записываем то, что уже знаем: «взять циферблат в точке Х3 в нулевое время и рассчитать, насколько перевести стрелки и уменьшить циферблат в соответствии с путем частицы из точки Х3 в точку Х в некоторое более позднее время Т, а затем повторить процесс для всех остальных циферблатов в нулевое время и, наконец, сложить все циферблаты вместе по правилу сложения циферблатов». Уверены, вы согласитесь, что это слишком многословно, поэтому с сокращенной записью жить будет проще.

Мы имеем право считать, что пропагатор воплощает правило перевода и уменьшения циферблатов. Мы можем также считать пропагатор циферблатом. Чтобы оправдать это бессодержательное заявление, представьте, что мы с уверенностью знаем, что электрон находится в точке А во время Т = 0 и что эта ситуация описывается циферблатом размера 1, показывающем 12 часов. Мы можем изобразить перемещение с помощью второго циферблата, и его размер совпадает с величиной, на которую должен быть уменьшен исходный циферблат, а время, которое показывает второй циферблат, соответствует величине необходимого перевода часов. Если скачок электрона из точки А в точку В требует уменьшения исходного циферблата в 5 раз и перевода стрелок на 2 часа назад, то пропагатор P(A, B, T) можно представить в виде циферблата, размер которого равняется 1/5 = 0,2, а стрелки которого указывают на 10 часов (то есть переведены на 2 часа назад с 12). Циферблат в точке В получается простым «умножением» исходного циферблата в точке А на циферблат-пропагатор.

Отступление для тех, кто разбирается в комплексных величинах: как C(X1, 0) и C(X2, 0), так и P(X1, X, T), P(X2, X, T) могут быть представлены в виде комплексного числа, и они сочетаются в соответствии с математическими правилами умножения комплексных чисел.

Для тех, кто не разбирается в комплексных величинах: это неважно, потому что описание с помощью циферблатов столь же точно. Мы всего лишь представили слегка иной взгляд на правило перевода циферблатов: можно переводить стрелки и уменьшать циферблат с помощью другого циферблата.

Нам ничто не мешает выработать правило умножения циферблатов, которое будет работать: умножить размеры двух циферблатов (1 × 0,2 = 0,2) и совместить время на этих двух циферблатах таким образом, что стрелки первого циферблата будут переведены на время второго: 12 минус 10, то есть 2 часа. Кажется, что мы где-то слегка переусердствовали, и это определенно не то, что нужно, когда мы имеем дело лишь с одной частицей. Но физики ленивы, так что они не стали бы впадать во все эти сложные рассуждения, если бы это не экономило время и усилия в долгосрочной перспективе. Введенная здесь запись оказывается очень полезным способом следить за всеми переводами и уменьшениями циферблатов, когда мы подойдем к более интересному случаю с несколькими частицами – например, при рассмотрении атома водорода.

Независимо от деталей можно сказать, что в нашем методе подсчета вероятностей нахождения одинокой частицы где-то во Вселенной есть всего два ключевых момента. Во-первых, нужно указать набор исходных циферблатов, заключающих в себе информацию о том, где частица может находиться в нулевое время. Во-вторых, нужно знать пропагатор P(A, B, T), который сам выступает в роли циферблата, заключающего в себе правило перевода и уменьшения для частицы, перескакивающей из точки А в точку В. Если мы знаем, как выглядит пропагатор для любой пары исходных и конечных точек, то мы знаем все, что нужно знать, и можем с уверенностью высчитать величественно скучную динамику Вселенной, содержащей одну частицу. Впрочем, к ней нельзя относиться пренебрежительно, потому что такое простое положение дел слабо запутывается, когда в игру вступает взаимодействие частиц. Введем же его.

На рис. 10.1 графически изображены все ключевые идеи, которые мы хотим здесь обсудить. Это наше первое знакомство с диаграммами Фейнмана – средством расчета профессионального специалиста по физике частиц. Наша задача: найти вероятность обнаружения пары электронов в точках Х и Y в некоторое время Т. Сначала нам сообщается, где электроны находятся в нулевое время, то есть как выглядят исходные поля циферблатов. Это важно, потому что способность ответить на подобный вопрос эквивалентна способности узнать, «что происходит во Вселенной, содержащей два электрона». Кажется, в этом нет особого прогресса, но теперь весь мир у нас в кармане, потому что мы можем узнать, как основные строительные кирпичики природы взаимодействуют друг с другом.

Рис. 10.1. Некоторые способы распада пары электронов. Электроны начинают движение слева и всегда заканчивают его в одной и той же паре точек, X и Y, во время T. Эти графики соответствуют нескольким различным способам, которыми частицы могут достичь точек X и Y

Для упрощения мы изобразили лишь одно измерение пространства, и время движется слева направо. Это никак не скажется на наших умозаключениях. Начнем с описания первой серии графиков на рис. 10.1. Мелкие точки в T = 0 соотносятся с возможными местоположениями двух электронов в нулевое время. Для иллюстративных целей предположим, что верхний электрон может находиться в одном из трех мест, в то время как нижний – в одном из двух (в реальном мире нам пришлось бы иметь дело с электронами, которые могут находиться в бесконечном количестве мест, но если бы пришлось это зарисовать, то кончились бы чернила).

Верхний электрон перескакивает в точку A в некоторое более позднее время и одновременно делает очень интересную вещь: он испускает фотон (на рисунке представлен волнистой линией).

После этого фотон перескакивает в точку В, где поглощается другим электроном. Верхний электрон затем перескакивает из точки А в точку Х, а нижний – из точки В в точку Y. Это всего лишь один из бесконечного множества вариантов перехода исходной пары электронов в точки Х и Y. Мы можем связать циферблат со всем процессом – назовем его «циферблат 1», сокращенно С1. QED должна дать нам правила игры, позволяющие вычислить этот циферблат.

Прежде чем углубляться в детали, разберемся, как это должно происходить. На самом верхнем рисунке представлен один из мириадов способов, которыми исходная пара электронов может попасть в точки Х и Y. На других рисунках представлены иные способы. Основная идея в том, что для каждого возможного способа попадания электронов в точки Х и Y мы должны определить квантовый циферблат – уже упомянутый С1 будет лишь первым в длинной череде циферблатов[45]. Когда все циферблаты определены, нужно сложить их и получить один «главный» циферблат. Размер этого циферблата (возведенный в квадрат) укажет на вероятность нахождения пары электронов в точках Х и Y. Итак, мы снова должны представить, что электроны движутся к точкам Х и Y не по какому-то определенному маршруту, а скорее рассеиваются всеми способами сразу. На последних нескольких рисунках можно увидеть ряд более изощренных способов рассеивания электронов. Электроны не только обмениваются фотонами – они могут испускать и снова поглощать собственные фотоны, а на последних двух рисунках вообще происходит нечто странное. На них показан сценарий, при котором кажется, что фотон испускает электрон, который «ходит по кругу», прежде чем заканчивает свой путь там же, где начал: более подробно об этом мы скажем чуть позже. Сейчас же можно просто представить ряд все более сложных диаграмм, соответствующих случаям, при которых электроны испускают и поглощают большое количество фотонов, прежде чем в итоге завершают путь в точках Х и Y. Придется рассматривать многочисленные пути, которые могут окончиться для электронов в точках Х и Y, но два правила формулируются очень четко: электроны могут только перескакивать с места на место и испускать или поглощать один фотон. Вот и все: электроны могут перескакивать или расширяться. Более подробное рассмотрение показывает, что ни один из приведенных выше рисунков не нарушает двух этих правил, потому что на них не изображено ничего более сложного, чем сочленение двух электронов и фотона. Сейчас мы должны объяснить, как определять соответствующие циферблаты – один для каждой диаграммы на рис. 10.1.

Сосредоточимся на самой верхней диаграмме и посмотрим, как определить внешний вид связанного с нею циферблата (циферблат С1). В самом начале процесса есть два электрона, и каждый из них имеет свой циферблат. Следует начать с их перемножения в соответствии с правилом умножения циферблатов. Мы получим новый единый циферблат, который обозначим буквой С. Умножение циферблатов имеет смысл, потому что нельзя забывать – циферблаты служат для обозначения вероятностей, а если имеются две независимые вероятности, то способом их сочетания будет перемножение. Например, вероятность выпадения орла на двух монетах будет равна ½ × ½ = ¼. Точно так же получающийся в результате циферблат С указывает на вероятность того, что два электрона будут находиться на исходных позициях. Остальное тоже связано с умножением циферблатов. Верхний электрон перескакивает в точку А, так что существует связанный с этим циферблат; назовем его P(1, A), то есть «частица – particle – 1 перескакивает в точку А». Тем временем нижний электрон перескакивает в точку В, и для этого тоже есть свой циферблат, который мы назовем P(2, B). Точно так же имеются еще два циферблата, соответствующие переходу электронов в конечные точки; их мы обозначим как P(A, X) и P(B, Y). Наконец, существует и циферблат, связанный с фотоном, который перескакивает из точки А в точку В. Поскольку фотон – это не электрон, правило распространения фотона должно отличаться от правила распространения электрона, так что для его циферблата нужно использовать другой символ. Обозначим циферблат, соответствующий скачку фотона, как L(A, B)[46]. Теперь мы попросту перемножаем все циферблаты, получая один «главный»: R = C P(1, A) × P(2, B) × P(A, X) × P(B, Y) × L(A, B). Мы уже близки к успеху, но нужно еще немного уменьшить циферблаты, потому что правило QED по поводу того, что происходит, когда электрон испускает или поглощает фотон, говорит о необходимости введения уменьшающего коэффициента g. На нашей диаграмме верхний электрон испускает фотон, а нижний его впитывает, так что коэффициентов становится два, и мы используем величину g². Теперь все действительно готово: конечный «циферблат 1» получается с помощью формулы C1 = g² × R.

Уменьшающий коэффициент, возможно, выглядит немного произвольно, но имеет очень важную физическую интерпретацию. Он очевидным образом связан с вероятностью испускания электроном фотона, так что отражает величину электромагнитной силы. Где-то в наших вычислениях мы должны были задать связь с реальным миром, потому что сейчас высчитываем реальные вещи. И как ньютонова гравитационная постоянная G несет в себе всю информацию о силе гравитации, так g несет всю информацию о величине электромагнитной силы[47].

Если бы мы проводили полные расчеты, сейчас пришлось бы обратиться к следующей диаграмме, отображающей иной способ достижения той же парой электронов тех же точек Х и Y. Вторая диаграмма очень напоминает первую: электроны начинают свой путь из тех же точек, только на этот раз верхний электрон испускает фотон в другой точке пространства и в другое время, а нижний электрон впитывает этот фотон тоже в другое время и в другой точке пространства. Все остальное происходит точно так же, и мы получаем второй циферблат – «циферблат 2», обозначаемый «С2». Мы продолжаем снова и снова повторять всю процедуру для каждого и любого возможного места испускания электрона и каждого и любого возможного места его поглощения. Мы должны также принять во внимание, что электроны могут начинать движение из нескольких различных исходных точек. Основная идея в том, что нужно учесть каждый и любой способ доставки электронов в точки Х и Y и ассоциировать все эти способы со своими циферблатами. Собрав все циферблаты, мы «просто» складываем их, получая один конечный циферблат, размер которого указывает на вероятность нахождения одного электрона в точке Х и второго – в точке Y. Теперь мы закончили, и нам предстоит выяснить, как два электрона взаимодействуют друг с другом, хотя другого выхода, кроме как подсчитывать вероятности, нет.

То, что мы описали, – это самое ядро квантовой электродинамики, другие силы природы можно описать примерно схожим образом. Мы вернемся к этому чуть позже, пока же нужно поговорить кое о чем еще.

Сначала – абзац с описанием двух небольших, но важных деталей. Во-первых, мы упростили суть дела, проигнорировав то, что у электронов есть спин и что они по этому признаку делятся на два типа. Кроме того, спин есть и у фотонов (это бозоны), которые делятся на три типа. Это немного затрудняет вычисления, потому что мы должны следить, с какими типами фотонов и электронов имеем дело на каждой стадии перехода и рассеивания. Во-вторых, если вы внимательно читали, могли заметить знаки минуса перед парой диаграмм на рис. 10.1. Они стоят там, потому что мы говорим об идентичных электронах, перескакивающих из точки Х в точку Y, а две диаграммы со знаками минуса соответствуют взаимному обмену электронов по сравнению с другими диаграммами, то есть электрон, который начал движение из верхнего поля точек, завершает его в точке Y, а второй, нижний электрон оказывается в точке Х. И как мы уже говорили в главе 7, такая смена конфигураций сочетается только после дополнительного перевода циферблата на 6 часов – отсюда и знак минуса.

Не исключено, что вы заметили и возможный недостаток в нашем плане: существует бесконечное количество диаграмм, описывающих варианты перехода частиц из точки Х в точку Y, и суммирование бесконечного количества циферблатов может оказаться, мягко говоря, изнурительным занятием. К счастью, при каждом рассеянии пары электрон – фотон в расчеты входит еще один множитель – g, что уменьшает размер итогового циферблата. Это значит, что чем сложнее диаграмма, тем меньше соответствующий циферблат и тем менее важен он для итогового циферблата. Для квантовой электродинамики величина g довольно мала (около 0,3), так что уменьшение при увеличении числа рассеяний становится намного более явным. Очень часто достаточно учесть только такие диаграммы, как первые пять на рис. 10.1, где рассеяний не более двух, что экономит множество усилий.

Такой процесс вычисления циферблатов (на научном жаргоне известный как «амплитуда») для каждой диаграммы Фейнмана, суммирование всех циферблатов и возведение полученного итогового циферблата в квадрат с целью определения вероятности протекания процесса – это хлеб с маслом современной физики частиц.

Но под поверхностью всего, что мы сказали, таится загадочная проблема, которая очень сильно беспокоит одних физиков и совершенно безразлична другим.

При складывании циферблатов, соответствующих разным диаграммам Фейнмана, появляется эффект квантовой интерференции. Как и в случае с двухщелевым экспериментом, когда нужно было принять во внимание все возможные траектории пути частицы к экрану, мы должны учесть все вероятности перехода пары частиц из исходных положений в окончательные. Это позволяет прийти к правильному ответу, потому что становится возможной интерференция между различными диаграммами. Только в конце процесса, когда все циферблаты просуммированы и все интерференции учтены, нужно возвести в квадрат размер итогового циферблата и вычислить вероятность протекания процесса. Просто. А теперь посмотрите на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Человеческий глаз смотрит на происходящее

Что случится, если мы попытаемся определить, что делают электроны при перескакивании в точки Х и Y? Единственный способ исследовать, что происходит, – взаимодействовать с системой по правилам игры. В квантовой электродинамике это значит, что мы должны придерживаться правила рассеивания электронов-фотонов, поскольку никаких других правил нет. Итак, попробуем взаимодействовать с одним из фотонов, который может быть испущен одним из двух электронов. Определим его с помощью личного детектора фотонов – собственных глаз. Заметьте, мы задаем теоретически иной вопрос: «Какова вероятность найти электрон в точке Х, другой электрон в точке Y, а также фотон в собственном глазу?» Мы знаем, что сделать для получения ответа: нужно сложить все циферблаты, связанные с различными диаграммами для двух электронов, которые завершаются нахождением одного электрона в точке Х, второго в точке Y и фотона «в собственном глазу». Точнее, мы должны говорить о том, как фотон с этим «моим собственным глазом» взаимодействует.

Хотя все звучит относительно просто, процесс вскоре вырывается из-под контроля. Например, фотон отрывается от электрона, находящегося в одном из атомов моего глаза; это запускает цепочку событий, которая в конечном счете ведет к моему восприятию фотона: я сознательно наблюдаю вспышку света в собственном глазу. Итак, чтобы полностью описать то, что происходит, мы должны определить положение каждой частицы моего мозга, поскольку все они реагируют на появление фотона. И тут мы вплотную подходим к так называемой проблеме измерения в квантовой теории.

До сих пор мы довольно подробно описывали методы вычисления вероятностей в квантовой физике. Под этим понимается, что квантовая теория позволяет вычислить шансы измерения некоего определенного исхода эксперимента. В этом процессе нет никаких двусмысленностей – достаточно следовать правилам игры и не отклоняться от вычисления вероятности того, что может произойти. Однако случается нечто неприятное. Представьте, что ученый проводит эксперимент, для которого возможны лишь два исхода – «да» и «нет». Итак, эксперимент состоялся, и в результате экспериментатор записал исход «да» или «нет», но уж никак не то и другое одновременно. Пока все хорошо.

Теперь представим, что позже второй экспериментатор измеряет нечто другое (что именно – не имеет значения).

Снова примем как данность, что эксперимент прост и возможных исходов два – «есть щелчок» и «нет щелчка». Правила квантовой физики диктуют: мы должны вычислить вероятность того, что второй эксперимент даст «щелчок», просуммировав циферблаты, связанные со всеми вероятностями, ведущими к такому исходу. Это может включать в себя вариант, что первый экспериментатор получает исход «да», и дополняющий его вариант с исходом «нет». Только после суммирования двух исходов мы получим правильный ответ и узнаем, какова вероятность результата «есть щелчок» во втором эксперименте. Но так ли это? Действительно ли нужно принимать в расчет необходимость поддержания связности мира даже после того, как некое измерение завершилось? Или же на самом деле после получения результата «да» или «нет» в первом эксперименте будущее зависит лишь от измерения? Например, во втором эксперименте это значит, что если первый экспериментатор получает «да», то вероятность исхода «есть щелчок» во втором эксперименте должна вычисляться не исходя из суммы вероятностей «да» и «нет», а лишь после учета вероятностей, при которых мир может развиться от «первый экспериментатор получает ответ да» до «второй эксперимент дает щелчок». Разумеется, при этом получится не тот ответ, как при суммировании обоих исходов «да» и «нет», так что, если мы стремимся к полному пониманию, нужно выяснить, как следует поступать.

Чтобы узнать, какой из методов верен, требуется определить, есть ли что-то особенное в самом процессе измерения. Изменяет ли он мир, препятствуя сложению квантовых амплитуд, или просто оказывается частью обширной сложной сети вероятностей, оставаясь всегда в одной и той же суперпозиции? Людям приятно считать, что измерение каким-то образом (получением ответа «да» или «нет», например) необратимо меняет будущее, так что, если это правда, никакое будущее измерение не может пойти одновременно путями «да» и «нет». Но совершенно непонятно, действительно ли это так, потому что, судя по всему, всегда существует вероятность найти такое будущее состояние Вселенной, к которому можно подойти обоими способами. Для таких состояний законы квантовой физики, если воспринимать их буквально, прямо-таки заставляют вычислять вероятность их проявления путем суммирования вариантов «да» и «нет». Каким бы странным это ни казалось, это не более странно, чем суммирование историй, которым мы постоянно занимались в этой книге. Все дело в том, что мы настолько серьезно относимся к этой идее, что готовы совершать соответствующие действия даже применительно к людям и их действиям. С этой точки зрения никакой «проблемы измерения» не существует. Только если мы настаиваем, что акт измерения и его результат – «да» или «нет» – реально меняет природу вещей, возникают проблемы, потому что в этом случае на нас лежит обязанность объяснить, что же запускает процесс изменений и нарушает квантовую связность.

Подход к квантовой механике, который мы обсуждаем, отвергает саму идею, что природа каждый раз, когда кто-то (или что-то) «проводит измерение», выбирает конкретную версию реальности. Он лежит в основе так называемой интерпретации множественности миров. Это очень привлекательно, потому что выступает логическим следствием серьезного восприятия законов, управляющих элементарными частицами, и распространения их на все феномены. Но последствия такого серьезного восприятия шокируют, потому что придется представить, что Вселенная – это когерентная суперпозиция любых действий, которые могут произойти, а воспринимаемый нами мир (который, как мы предполагаем, конкретная реальность) таков лишь потому, что мы ошибочно считаем, что при измерении теряется когерентность. Иными словами, мое сознательное восприятие мира объясняется тем, что крайне маловероятно, чтобы альтернативные (потенциально интерферирующие) истории могли привести к тому же самому состоянию «сейчас», а значит, квантовой интерференцией можно пренебречь.

Если измерение не разрушает квантовой связности, то в каком-то смысле вся жизнь протекает внутри одной гигантской диаграммы Фейнмана, и наше желание думать, что происходят некие определенные вещи, – следствие нашего слишком приблизительного восприятия мира. Можно предположить, что в какой-то момент будущего с нами может произойти нечто, что может быть объяснено лишь тем, что в прошлом мы произвели одновременно два противоречащих друг другу действия. Разумеется, этот эффект незначителен, так как очевидно, что «я получил работу» и «я не получил работу» – два события, оказывающие совершенно противоположное воздействие на нашу жизнь, и не так-то просто придумать сценарий, который привел бы к идентичным будущим Вселенным (помните, что мы должны складывать только те амплитуды, которые ведут к одинаковым исходам). В этом случае получение и неполучение работы не слишком интерферируют, и мы воспринимаем мир так, что одно событие произошло, а другое нет. Однако все обстоит тем менее однозначно, чем менее два альтернативных сценария противоположны, и, как мы уже видели, для взаимодействий небольшого количества частиц суммирование разных возможностей совершенно необходимо. Так как в повседневной жизни задействовано огромное количество частиц, две существенно разные конфигурации атомов в определенное время (например, ситуации получения и неполучения работы) с крайне малой вероятностью могут привести к значительным изменениям в некоем будущем сценарии. В свою очередь, это значит, что мы можем двигаться вперед, считая, что мир необратимо изменился в результате измерения, даже если на самом деле ничего подобного не произошло.

Но все это не так важно, когда дело доходит до серьезной задачи – вычисления вероятности, что нечто произойдет при постановке эксперимента. Мы знаем правила решения этой задачи и можем без каких-либо проблем их применить. Но когда-нибудь такое удачное стечение обстоятельств может измениться: сейчас экспериментальное разрешение вопроса о том, как наше прошлое может с помощью квантовой интерференции повлиять на будущее, попросту невозможно. Та степень, до которой умствования по поводу «истинной природы» мира (или миров), описываемого квантовой теорией, могут мешать научному прогрессу, отлично отражается позицией физической школы «заткнись и считай», которая последовательно отвергает любые попытки рассуждений о реальности вещей.

Вернемся к нашему миру. На рис. 10.3 показан еще один способ расхождения двух электронов. Один из входящих перескакивает из точки А в точку Х, по дороге испуская фотон. Вроде все как всегда, но в данном случае электрон поворачивает во времени – обратно в точку Y, где поглощает еще один фотон, и направляется в будущее, в котором он может быть обнаружен в точке С. Эта диаграмма никак не противоречит правилам перехода и рассеяния, потому что электрон испускает и поглощает фотоны в точном соответствии с предписаниями теории. Это может произойти в соответствии с правилами, а стало быть, как утверждает название этой книги, действительно происходит. Но подобное поведение, судя по всему, нарушает правила здравого смысла, потому что приходится принять тот факт, что электроны движутся назад во времени. Это интересная научная фантастика, но нарушениями причинно-следственных связей Вселенную не построишь. Кроме того, таким образом квантовая теория, кажется, вступает в конфликт со специальной теорией относительности Эйнштейна.

Рис. 10.3. Антиматерия… или электрон, который движется назад во времени

Впрочем, как ни странно, подобные путешествия во времени не запрещены субатомным частицам, как в 1928 году установил Дирак. Мы можем понять, почему все не так невероятно, как кажется, если переистолковать происходящее на рис. 10.3 с точки зрения «движения вперед». Достаточно вести отсчет событий на диаграмме слева направо. Начнем со времени Т = 0, когда существует мир всего из двух электронов, находящихся в точках А и В. Мы продолжаем рассматривать мир из двух электронов до времени T₁, когда нижний электрон испускает фотон; между временными точками T₁ и T₂ мир состоит из двух электронов и одного фотона.

Во время T₂ фотон погибает и заменяется электроном (который заканчивает свой путь в точке С) и второй частицей (финиширующей в точке Х). Эту вторую частицу мы не можем назвать электроном, потому что это «электрон, который движется назад во времени». Вопрос вот в чем: как выглядит электрон, который движется назад во времени, с точки зрения наблюдателя (например, с вашей), двигающегося вперед во времени?

Для ответа на этот вопрос представим, что мы ведем видеосъемку электрона, двигающегося поблизости от какого-то магнита, как показано на рис. 10.4. Если электрон движется не слишком быстро[48], он будет совершать обычные круговые движения. Возможность отклонения электронов магнитом – это, как мы уже говорили, основная идея работы не только старомодных телевизоров на катодно-лучевых трубках, но и ускорителей частиц, в том числе Большого адронного коллайдера.

Рис. 10.4. Электрон, движущийся вокруг магнита

А теперь представьте, что будет, если пустить видеозапись задом наперед. Именно так «электрон, который движется назад во времени» и будет выглядеть с точки зрения наблюдателя, который «движется вперед во времени». Теперь мы видим, как «движущийся назад во времени» электрон вращается в противоположном направлении по мере того, как идет запись. С точки зрения физика видеозапись частицы, движущейся назад во времени, идентична видеозаписи частицы, движущейся вперед во времени, с тем исключением, что эта частица будет нести положительный электрический заряд. Итак, мы получили ответ на свой вопрос: электроны, движущиеся назад во времени, выглядят как «электроны с положительным зарядом».

Таким образом, если электроны действительно совершают путешествия назад во времени, мы можем ожидать, что столкнемся к некими «электронами с положительным зарядом».

Такие частицы действительно существуют и называются «позитронами». Понятие этих частиц ввел в начале 1931 года Дирак, чтобы решить проблему, вставшую при выводе квантово-механического уравнения для электрона: уравнение, судя по всему, предсказывало существование частиц с отрицательной энергией. Позднее Дирак рассказал, о чем думал в этот момент, и признался, в частности, что был твердо уверен в правильности математики: «Я смирился с тем фактом, что отрицательные энергетические состояния нельзя исключить из математической теории, и решил, что нужно просто найти для них физическое объяснение».

Всего через год Карл Андерсон, который, судя по всему, не был знаком с предсказаниями Дирака, заметил некоторые странности в работе своего экспериментального аппарата по наблюдению частиц из состава космического излучения. Он сделал следующий вывод: «Кажется необходимым призвать на помощь положительно заряженную частицу, масса которой сопоставима с массой электрона». Это еще один образец всей мощи математических рассуждений. Чтобы объяснить математическое уравнение, Дирак ввел идею новой частицы – позитрона, и уже через несколько месяцев было обнаружено, что эта частица порождается в столкновениях частиц космического излучения. Позитрон – наша первая встреча с краеугольным камнем научной фантастики: антиматерией.

Вооружившись интерпретацией путешествующих во времени электронов как позитронов, мы можем закончить работу по объяснению рис. 10.3. Нужно сказать, что, когда фотон достигает точки Y во время T₂, он распадается на электрон и позитрон. Каждая из этих частиц движется вперед до времени T₃, когда позитрон из точки Y достигает точки X, где сливается с исходным верхним электроном и производит второй фотон. Этот фотон распространяется до времени T₄, когда он поглощается нижним электроном.

Может показаться, что все это несколько притянуто за уши: античастицы появились из нашей теории, потому что мы разрешили частицам путешествовать назад во времени. Правила перехода и рассеяния позволяют частицам перескакивать как вперед, так и назад во времени, и несмотря на то, что мы, возможно, хотели бы им это не позволить, оказывается, что мы не можем и не должны им в этом препятствовать. Более того, оказывается, что, если мы не разрешаем частицам перескакивать назад во времени, как раз тогда и нарушается закон причины и следствия. Это странно: кажется, что должно быть ровно наоборот. Однако все не случайно и намекает на лежащие в основе глубинные математические структуры. Возможно, у вас создалось впечатление, что правила перехода и рассеяния частиц установлены как-то произвольно. Можно ли установить еще какие-то правила рассеяния и подрегулировать правила перехода и изучить последствия? Но если сделать так, мы почти наверняка получим плохую теорию – например, такую, которая будет нарушать закон причины и следствия. Квантовая теория поля (QFT) – название той самой глубинной математической структуры, которая и лежит в основе правил перехода и рассеяния. Удивительно, но это единственный способ создать квантовую теорию мельчайших частиц с учетом специальной теории относительности. Вооружившись аппаратом квантовой теории поля, правила перехода и рассеяния частиц становятся незыблемыми, и мы лишаемся свободы выбора. Это очень важный результат для исследователя фундаментальных законов, потому что использование «симметрии» для устранения выбора создает впечатление, что Вселенная просто должна быть «вот такой», и это создает ощущение лучшего ее понимания. Мы использовали здесь слово «симметрия», потому что оно кажется очень подходящим: можно считать, что теории Эйнштейна накладывают симметрические ограничения на структуру пространства и времени. Иные «симметрии» еще более ограничивают правила перехода и рассеяния, и мы вкратце рассмотрим их в следующей главе.

Прежде чем закончить с квантовой электродинамикой, необходимо устранить последнее непонимание. Как вы помните, первый доклад на конференции в Шелтер-Айленде касался лэмбовского перехода – аномалии в спектре водорода, которая не объяснялась в рамках квантовой теории Гейзенберга и Шрёдингера. Через неделю после этой встречи Ганс Бете выдал первые, еще приблизительные вычисления ответа. На рис. 10.5 показан атом водорода с точки зрения квантовой электродинамики. Электромагнитное взаимодействие, связывающее протон и электрон, можно представить в виде ряда диаграмм Фейнмана возрастающей сложности, как и в случае с двумя взаимодействующими электронами на рис. 10.1. Мы изобразили две простейшие возможные диаграммы на рис. 10.5. До квантовой электродинамики расчеты энергетических уровней электрона включали в себя только верхнюю диаграмму на рисунке, которая отражает физику электрона, удерживаемого в потенциальной яме, которая создана протоном. Но мы уже выяснили, что при взаимодействии может произойти еще много всего. Вторая диаграмма на рис. 10.5 показывает кратковременную флуктуацию фотона в электрон-позитронной паре, и этот процесс тоже стоит учесть при расчете возможных энергетических уровней электрона. Эта диаграмма, как и многие другие, вносит в результат подсчетов[49] небольшие коррективы.

Рис. 10.5. Атом водорода

Бете совершенно справедливо включил в расчеты важные результаты «однопетлевых» диаграмм, подобных изображенным на рисунке, и обнаружил, что они оказывают некоторое влияние на сдвиг энергетических уровней, а следовательно, и на видимый спектр. Его результаты соответствовали измерениям Лэмба. Иными словами, квантовая электродинамика заставляет представить атом водорода в виде невероятной какофонии субатомных частиц, порождающихся и прекращающих существование. Лэмбовский сдвиг стал первой непосредственной встречей человечества с этими эфирными квантовыми флуктуациями.

Прошло немного времени – и эстафетную палочку перехватили двое других участников встречи в Шелтер-Айленде: Ричард Фейнман и Джулиан Швингер. Через пару лет квантовая электродинамика уже развилась в ту теорию, которую мы знаем сейчас, – прототип квантовой теории поля и образец для тех теорий, которым еще предстояло появиться на свет и которые описывали сильное и слабое взаимодействия. За свои заслуги Фейнман, Швингер и японский физик Синъитиро Томонага в 1965 году получили Нобелевскую премию «За фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц». К этим глубоким последствиям мы и переходим.

Не все в мире берет начало во взаимодействии частиц с электрическим зарядом. Квантовая электродинамика не объясняет «сильных ядерных» процессов, которые сцепляют кварки внутри протонов и нейтронов, и «слабых ядерных» процессов, благодаря которым горит наше Солнце.

Нельзя писать книгу о квантовой теории природы и оставить за ее рамками половину фундаментальных сил, так что в этой главе мы заполним пробел, прежде чем погрузиться непосредственно в пустое пространство. Окажется, что вакуум – это очень интересное место, полное возможностей и препятствий на пути частиц.

В первую очередь нужно подчеркнуть, что слабое и сильное ядерное взаимодействия описываются при помощи точно такого же подхода к квантовой теории поля, о котором шла речь при разговоре о квантовой электродинамике. Именно в этом смысле можно говорить о серьезных последствиях работы Фейнмана, Швингера и Томонаги. В целом теория этих трех взаимодействий получила весьма нейтральное название Стандартной модели физики частиц. Когда мы пишем эти строки, Стандартная модель проходит тестирование на разрыв в самой большой и самой хитроумной машине в истории человечества – Большом адронном коллайдере ЦЕРН (он же БАК). «На разрыв» – удачное выражение, потому что в отсутствие чего-то до сих пор не открытого Стандартная модель прекращает делать осмысленные предсказания при энергиях, которыми сопровождаются в БАК столкновения протонов на скорости, почти равной скорости света. На языке этой книги можно сказать, что квантовые правила начинают порождать циферблаты со стрелками длиной более 1, а это значит, что определенные процессы, связанные со слабым квантовым взаимодействием, начинают предсказываться с вероятностью более 100 %. Это очевидный нонсенс, и предполагается, что БАК должен найти нечто новое. Проблема в том, чтобы идентифицировать это новое в сотнях миллионов столкновений протонов, которые каждую секунду происходят на глубине 100 м под Юрскими горами.

Стандартная модель действительно содержит лекарство от болезни повышенных вероятностей, и это лекарство известно под названием хиггсовского механизма. Если оно верно, то БАК должен обнаружить еще одну природную частицу – бозон Хиггса, после чего наши взгляды на содержимое пустого пространства должны кардинально измениться. В этой главе мы обратимся к хиггсовскому механизму чуть позже, но сначала нужно дать краткое описание пока победоносной, но уже трещащей по швам Стандартной модели.

На рис. 11.1 мы перечислили все известные частицы. Это строительные кирпичики Вселенной, по крайней мере такова точка зрения на момент написания этой книги, но мы ожидаем обнаружить еще несколько – возможно, мы увидим бозон Хиггса или новую частицу, связанную с существующей в большом количестве загадочной темной материей, которая, вероятно, необходима для описания всей Вселенной. Или, возможно, нас ожидают суперсимметричные частицы, предсказанные теорией струн, или возбуждения Калуцы – Клейна, характерные для дополнительных измерений пространства, или техникварки, или лептокварки, или… теоретических рассуждений множество, и обязанность тех, кто проводит эксперименты на БАК, в том, чтобы сузить поле поиска, исключить неверные теории и указать путь вперед.

Рис. 11.1. Частицы природы

Все, что можно увидеть и потрогать; любая неодушевленная машина, любое живое существо, любая скала, любой человек на планете Земля, любая планета и любая звезда в каждой из 350 миллиардов галактик в наблюдаемой Вселенной состоит из частиц из первого столбца. Вы сами состоите из сочетания всего трех частиц – верхнего и нижнего кварков и электрона. Кварки составляют атомное ядро, а электроны, как мы уже видели, отвечают за химические процессы. Оставшаяся частица из первого столбца – нейтрино – возможно, знакома вам меньше, но Солнце пронзает каждый квадратный сантиметр вашего тела 60 миллиардами таких частиц ежесекундно. Они в основном без задержки проходят через вас и всю Землю – потому-то вы никогда их не замечали и не ощущали их присутствия. Но они, как мы вскоре увидим, играют ключевую роль в процессах, которые дают энергию Солнца, а следовательно, делают возможной саму нашу жизнь.

Эти четыре частицы образуют так называемое первое поколение материи – вместе с четырьмя фундаментальными природными взаимодействиями это все, что, судя по всему, нужно для создания Вселенной. Однако по причинам, которые пока до конца не понятны, природа предпочла снабдить нас еще двумя поколениями – клонами первого, только эти частицы более массивны. Они представлены во втором и третьем столбцах рис. 11.1. Топ-кварк в особенности превосходит массой другие фундаментальные частицы. Он был открыт на ускорителе в Национальной ускорительной лаборатории им. Энрико Ферми под Чикаго в 1995 году, и его масса, согласно измерениям, более чем в 180 раз превосходит массу протона. Почему топ-кварк оказался таким монстром, притом что он столь же похож на точку, как и электрон, пока загадка. Хотя все эти дополнительные поколения материи не играют непосредственной роли в обычных делах Вселенной, они, вероятно, были ключевыми игроками сразу после Большого взрыва… Но это совсем другая история.

На рис. 11.1 в правом столбце показаны также частицы-переносчики взаимодействия. Гравитация в таблице не представлена. Попытка перенести вычисления Стандартной модели на теорию гравитации наталкиваются на определенные сложности. Отсутствие в квантовой теории гравитации некоторых важных свойств, характерных для Стандартной модели, не позволяет применять там те же методы. Мы не утверждаем, что ее не существует вовсе; теория струн – это попытка принять гравитацию во внимание, но пока успехи этой попытки ограничены. Так как гравитация очень слаба, она не играет значительной роли в экспериментах по физике частиц, и по этой весьма прагматической причине мы не будем больше о ней говорить. В прошлой главе мы установили, что фотон служит посредником в распространении электромагнитного взаимодействия между электрически заряженными частицами, и такое поведение определяется новым правилом рассеяния. Частицы W и Z делают то же самое для слабого взаимодействия, а глюоны переносят сильное взаимодействие. Основные различия между квантовыми описаниями сил связаны с тем, что правила рассеяния различны. Да, все (почти) так просто, и некоторые новые правила рассеяния мы привели на рис. 11.2. Сходство с квантовой электродинамикой позволяет легко понять функционирование сильного и слабого взаимодействий; нам нужно только понимать, каковы правила рассеяния для них, после чего можно начертить такие же диаграммы Фейнмана, которые мы приводили для квантовой электродинамики в прошлой главе. К счастью, изменение правил рассеяния – это очень важно для физического мира.

Рис. 11.2. Некоторые правила рассеяния для сильного и слабого взаимодействий

Если бы мы писали учебник по квантовой физике, можно было бы перейти к выводу правил рассеяния для каждого из показанных на рис. 11.2 процессов, а также для многих других. Эти правила известны как правила Фейнмана, и они впоследствии помогли бы вам – или компьютерной программе – рассчитать вероятность того или иного процесса, как мы делали это в главе о квантовой электродинамике.

Эти правила отражают нечто очень важное о нашем мире, и очень удачно, что их можно свести к набору простых картинок и положений. Но мы вообще-то не пишем учебник по квантовой физике, так что вместо этого сосредоточимся на диаграмме справа вверху: это правило рассеяния, особенно важное для жизни на Земле. Оно показывает, как верхний кварк переходит в нижний, испуская W-частицу, и это поведение приводит к грандиозным результатам в ядре Солнца.

Солнце – это газообразное море протонов, нейтронов, электронов и фотонов объемом в миллион земных шаров. Это море коллапсирует под собственной силой тяжести. Сжатие невероятной силы разогревает солнечное ядро до 15 000 000 ℃, и при такой температуре протоны начинают сливаться, формируя ядра гелия. При этом высвобождается энергия, которая увеличивает давление на внешние уровни звезды, уравновешивая внутреннюю силу тяжести.

Подробнее мы рассмотрим это расстояние шаткого равновесия в эпилоге, а сейчас просто хотим понять, что значит «протоны начинают сливаться друг с другом». Кажется, что все довольно просто, но точный механизм такого слияния в солнечном ядре был источником постоянных научных споров в 1920–1930-е годы. Британский ученый Артур Эддингтон первым предположил, что источник энергии Солнца – ядерный синтез, но быстро обнаружилось, что температура вроде бы слишком мала для запуска этого процесса в соответствии с известными на тот момент законами физики. Однако Эддингтон придерживался своего мнения. Хорошо известно его замечание: «Гелий, с которым мы имеем дело, должен был образоваться в какое-то время в каком-то месте. Мы не спорим с критиком, заявляющим, что звезды недостаточно горячи для этого процесса; мы предлагаем ему найти место пожарче».

Проблема состоит в том, что, когда два быстро движущихся протона в солнечном ядре сближаются, в результате электромагнитного взаимодействия (или, на языке квантовой электродинамики, в результате обмена фотонами) они отталкиваются. Для слияния им нужно сойтись едва ли не до полного перекрытия, а солнечные протоны, как хорошо было известно Эддингтону и его коллегам, двигаются недостаточно быстро (потому что Солнце недостаточно горячо) для преодоления взаимного электромагнитного отталкивания. Ребус разрешается так: на авансцену выходит W-частица и спасает ситуацию. При столкновении один из протонов может превратиться в нейтрон, обратив один из своих верхних кварков в нижний, как указано на иллюстрации к правилу рассеяния на рис. 11.2. Теперь новообразованный нейтрон и оставшийся протон могут сойтись очень близко, поскольку нейтрон не несет никакого электрического заряда. На языке квантовой теории поля это значит, что обмена фотонами, при котором нейтрон и протон отталкивались бы друг от друга, не происходит. Освободившись от электромагнитного отталкивания, протон и нейтрон могут слиться вместе (в результате сильного взаимодействия), образуя дейтрон, что быстро приводит к образованию гелия, которое высвобождает энергию, дающую жизнь звезде. Этот процесс показан на рис. 11.3 и отражает тот факт, что W-частица живет недолго, распадаясь на позитрон и нейтрино, – это и есть источник тех самых нейтрино, которые в таких количествах пролетают через ваше тело. Воинственная защита Эддингтоном синтеза как источника солнечной энергии была справедливой, хотя у него не было ни тени готового решения. W-частица, объясняющая то, что происходит, была открыта в ЦЕРН вместе с Z-частицей в 1980-е годы.

.

Рис. 11.3. Превращение протона в нейтрон в рамках слабого взаимодействия с испусканием позитрона и нейтрино. Без этого процесса Солнце не могло бы светить

В завершение краткого обзора Стандартной модели обратимся к сильному взаимодействию. Правила рассеивания таковы, что только кварки могут переходить в глюоны. Более того, они с большей вероятностью сделают именно это, чем что-либо еще. Предрасположенность к испусканию глюонов – именно та причина, по которой сильное взаимодействие получило свое название и по которой рассеяние глюонов способно преодолеть электромагнитную силу отталкивания, которая могла бы привести положительно заряженный протон к разрушению. К счастью, сильное ядерное взаимодействие распространяется лишь на небольшое расстояние. Глюоны покрывают расстояние не более 1 фемтометра (10–15 м) и вновь распадаются. Причина, по которой влияние глюонов настолько ограничено, особенно по сравнению с фотонами, способными путешествовать через всю Вселенную, состоит в том, что глюоны могут превращаться и в другие глюоны, как показано на двух последних диаграммах рис. 11.2. Эта уловка со стороны глюонов существенно отличает сильное взаимодействие от электромагнитного и ограничивает поле его деятельности содержимым атомного ядра. У фотонов подобного самоперехода нет, и это хорошо, потому что иначе вы бы не видели, что происходит у вас перед носом, потому что фотоны, летящие к вам, отталкивались бы от тех, которые двигаются вдоль вашей линии зрения. То, что мы вообще можем видеть, – одно из чудес природы, которое к тому же служит ярким напоминанием, что фотоны вообще редко взаимодействуют.

Мы не объяснили ни откуда берутся все эти новые правила, ни почему Вселенная содержит именно такой набор частиц. И на то есть свои причины: на самом деле мы не знаем ответа ни на один из этих вопросов. Частицы, из которых состоит наша Вселенная – электроны, нейтрино и кварки, – это актеры, исполняющие главные роли в разворачивающейся на наших глазах космической драме, но пока у нас нет убедительных способов объяснения, почему состав актеров должен быть именно таков.

Однако верно, что, имея список частиц, мы можем частично предсказать способ их взаимодействия друг с другом, предписываемый правилами рассеяния. Правила рассеяния физики взяли не из воздуха: во всех случаях они предсказываются на том основании, что теория, описывающая взаимодействия частиц, должна быть квантовой теорией поля с неким дополнением, получившим название калибровочной инвариантности[50].

Обсуждение происхождения правил рассеяния завело бы нас слишком далеко от основного направления книги – но мы все же хотим повторить, что основные законы очень просты: Вселенная состоит из частиц, которые двигаются и взаимодействуют в соответствии с рядом правил перехода и рассеяния. Мы можем пользоваться этими правилами при вычислении вероятности того, что «нечто» происходит, складывая ряды циферблатов, причем каждый циферблат соответствует каждому способу, которым «нечто» может произойти.

Заявляя, что частицы могут как перескакивать из точки в точку, так и рассеиваться, мы вступаем в область квантовой теории поля. Переход и рассеивание – это практически все, чем она занимается. Однако мы пока почти не упоминали массу, потому что решили оставить самое интересное напоследок.

Современная физика частиц призвана дать ответ на вопрос о происхождении массы и дает его с помощью прекрасного и удивительного раздела физики, связанного с новой частицей. Причем новая она не только в том смысле, что мы еще не встречали ее на страницах этой книги, но и потому, что на самом деле никто на Земле еще не встречался с ней «лицом к лицу». Эта частица называется бозоном Хиггса, и БАК уже близок к ее обнаружению. К сентябрю 2011 года, когда мы пишем эту книгу, на БАК наблюдался любопытный объект, подобный бозону Хиггса, но пока произошло недостаточно событий[51], чтобы решить, он это или нет. Возможно, это были лишь интересные сигналы, которые при дальнейшем рассмотрении исчезли. Вопрос о происхождении массы особенно замечателен тем, что ответ на него ценен и помимо нашего очевидного желания узнать, что такое масса. Попытаемся объяснить это довольно загадочное и странным образом сконструированное предложение более подробно.

Когда мы говорили о фотонах и электронах в квантовой электродинамике, ввели правило перехода для каждого из них и отметили, что эти правила отличаются: для связанного с переходом электрона из точки А в точку В мы использовали символ P(A, B), а для соответствующего правила, связанного с фотоном, – символ L(A, B). Настало время рассмотреть, насколько сильно отличаются правила в этих двух случаях. Разница состоит, например, в том, что электроны делятся на два типа (как мы знаем, они «крутятся» одним из двух различных способов), а фотоны – на три, но это различие нас сейчас интересовать не будет. Мы обратим внимание на другое: электрон обладает массой, а фотон – нет. Именно это мы и будем исследовать.

На рис. 11.4 показан один из вариантов, как мы можем представить распространение частицы, обладающей массой. Частица на рисунке перескакивает из точки А в точку В за несколько стадий. Она переходит из точки А в точку 1, из точки 1 в точку 2 и так далее, пока, наконец, не попадает из точки 6 в точку В. Интересно, однако, что в таком виде правило для каждого скачка – это правило для частицы с нулевой массой, но с одной важной оговоркой: каждый раз, когда частица меняет направление, мы должны применить новое правило уменьшения циферблата, причем величина уменьшения обратно пропорциональна массе описываемой частицы. Это значит, что при каждом переводе часов циферблаты, связанные с тяжелыми частицами, уменьшаются менее резко, чем циферблаты, связанные с более легкими частицами. Важно подчеркнуть, что это правило системное.

Рис. 11.4. Массивная частица, движущаяся из точки А в точку В

И зигзагообразное движение, и уменьшение циферблата непосредственно вытекают из правил Фейнмана для распространения массивной частицы без каких-то других предположений[52]. На рис. 11.4 показан лишь один способ попадания частицы из точки А в точку В – после шести поворотов и шести уменьшений. Чтобы получить итоговый циферблат, связанный с массивной частицей, переходящей из точки А в точку В, мы, как всегда, должны сложить бесконечное количество циферблатов, связанных со всеми возможными способами, которыми частица может проделать свой зигзагообразный путь из точки А в точку В. Самый простой способ – прямой путь без всяких поворотов, но придется принять во внимание и маршруты с огромным количеством поворотов.

Для частиц с нулевой массой уменьшающий коэффициент, связанный с каждым поворотом, просто убийственен, потому что бесконечен. Иными словами, после первого же поворота мы уменьшаем циферблат до нуля. Таким образом, для частиц без массы имеет значение только прямой маршрут – другим траекториям просто не соответствует никакой циферблат. Именно этого мы и ожидали: для частиц без массы мы можем использовать правило скачка. Однако для частиц с ненулевой массой повороты разрешены, хотя если частица очень легкая, то коэффициент уменьшения налагает суровое вето на траектории со многими поворотами.

Таким образом, наиболее вероятные маршруты содержат мало поворотов. И наоборот, тяжелым частицам не грозит слишком большой уменьшающий коэффициент при повороте, так что они чаще описываются маршрутами с зигзагообразным движением. Поэтому можно считать, что тяжелые частицы можно считать частицами без массы, которые двигаются из точки А в точку В зигзагообразно. Количество зигзагов – это и есть то, что мы называем «массой».

Все это замечательно, потому что теперь у нас появился новый способ представления массивных частиц. На рис. 11.5 показано распространение трех разных частиц с возрастающей массой из точки А в точку В. Во всех случаях правило, связанное с каждым «зигзагом» их пути, совпадает с правилом для частицы без массы, и за каждый поворот приходится расплачиваться уменьшением циферблата. Но не следует слишком радоваться: пока мы еще не объяснили ничего фундаментального. Все, что пока удалось сделать, – это заменить слово «масса» словами «стремление к зигзагам». Это можно было сделать, потому что оба варианта – математически эквивалентные описания распространения массивной частицы. Но даже при таких ограничениях наши выводы кажутся интересными, а сейчас мы узнаём, что это, оказывается, не просто математический курьез.

Рис. 11.5. Частицы с возрастающей массой движутся из точки А в точку В. Чем более массивна частица, тем больше зигзагов в ее движении

Перенесемся в царство умозрительного – хотя к тому моменту, когда вы будете читать эту книгу, теория может уже и получить свое подтверждение.

В настоящий момент на БАК совершаются столкновения протонов общей энергией в 7 ТэВ. ТэВ – это тераэлектронвольты, что соответствует энергии, которую имел бы электрон, пропущенный через разность потенциалов в 7 000 000 миллионов вольт. Для сравнения отметим, что примерно такова энергия, которую субатомные частицы имели через триллионную долю секунды после Большого взрыва, и этой энергии достаточно, чтобы создать прямо из воздуха массу, эквивалентную массе 7000 протонов (в соответствии с формулой Эйнштейна E = mc²). И это лишь половина расчетной энергии: при необходимости БАК может включить и более высокие обороты.

Одна из основных причин, по которым 85 стран всего мира соединили силы, создали этот гигантский дерзкий эксперимент и управляют им, – стремление найти механизм, отвечающий за создание массы фундаментальных частиц. Наиболее распространенная идея происхождения массы состоит в ее связи с зигзагами и устанавливает новую фундаментальную частицу, на которую «наталкиваются» другие частицы в своем движении по Вселенной. Эта частица – бозон Хиггса. В соответствии со Стандартной моделью, без бозона Хиггса фундаментальные частицы перескакивали бы с места на место без всяких зигзагов, и Вселенная была бы совсем иной. Но если мы заполним пустое место частицами Хиггса, они смогут отклонять частицы, заставляя их совершать зигзаги, что, как мы уже установили, ведет к появлению «массы». Примерно так, как вы идете через переполненный бар: вас толкают то слева, то справа, и вы практически зигзагами пробираетесь к стойке.

Механизм Хиггса получил свое имя в честь эдинбургского теоретика Питера Хиггса; это понятие было введено в физику частиц в 1964 году. Идея, очевидно, носилась в воздухе, потому что ее высказали в одно и то же время сразу несколько человек: во-первых, конечно, сам Хиггс, а также Роберт Браут и Франсуа Энглер, работавшие в Брюсселе, и лондонцы Джеральд Гуральник, Карл Хейган и Том Киббл. Их работы, в свою очередь, основывались на более ранних трудах многих предшественников, в том числе Вернера Гейзенберга, Ёитиро Намбу, Джеффри Голдстоуна, Филипа Андерсона и Стивена Вайнберга. Полное осмысление этой идеи, за которое в 1979 году Шелдон Глэшоу, Абдус Салам и Вайнберг получили Нобелевскую премию, – это и есть не что иное, как Стандартная модель физики частиц. Сама идея довольно проста: пустое место на самом деле не пусто, что и приводит к зигзагообразному движению и появлению массы. Но нам, очевидно, нужно еще многое объяснить. Как же оказалось, что пустое место вдруг стало набито частицами Хиггса, – разве мы не заметили бы этого раньше? И как это странное состояние вещей вообще возникло? Предложение действительно кажется довольно экстравагантным. Кроме того, мы не объяснили, почему у некоторых частиц (например, у фотонов) нет массы, а другие (W-бозоны и топ-кварки) обладают массой, сопоставимой с массой атома серебра или золота.

На второй вопрос ответить легче, чем на первый, по крайней мере на первый взгляд. Частицы взаимодействуют друг с другом только по правилу рассеивания; не отличаются в этом отношении и частицы Хиггса. Правило рассеивания для топ-кварка подразумевает вероятность его слияния с частицей Хиггса, и соответствующее уменьшение циферблата (помните, что при всех правилах рассеивания действует уменьшающий коэффициент) будет гораздо менее значительным, чем в случае с более легкими кварками. Вот «почему» топ-кварк настолько массивнее, чем верхний кварк. Однако это, разумеется, не объясняет, почему правило рассеивания именно таково. В современной науке ответ на этот вопрос обескураживает: «Потому что». Этот вопрос сродни другим: «Почему поколений частиц именно три?» и «Почему сила притяжения так слаба?» Точно так же для фотонов нет правила рассеивания, которое давало бы им возможность составить пару с частицами Хиггса, в результате они с ними и не взаимодействуют. Это, в свою очередь, приводит к тому, что они не движутся зигзагами и не имеют массы. Хотя мы, можно сказать, сняли с себя ответственность, все же это хоть какое-то объяснение. И уж определенно можно сказать, что если БАК поможет обнаружить бозоны Хиггса и подтвердить, что они действительно образуют пары с другими частицами подобным образом, то мы можем с уверенностью заявить, что нашли возможность удивительным образом подсмотреть за тем, как работает природа.

На первый же из наших вопросов найти ответ несколько труднее. Напомним, мы интересовались: как вышло, что пустое пространство оказалось заполнено частицами Хиггса? Для разогрева скажем следующее: квантовая физика утверждает, что нет такого понятия, как пустое пространство. То, что мы так называем, – это кипучий водоворот субатомных частиц, от которых никак нельзя отделаться. Осознав это, мы уже гораздо проще отнесемся к тому, что пустое пространство может быть полно частиц Хиггса. Но обо всем по порядку.

Представьте себе маленький кусочек межзвездного пространства – одинокий уголок Вселенной в миллионах световых лет от ближайшей галактики. Со временем оказывается, что частицы постоянно возникают там ниоткуда и исчезают в никуда. Почему? Дело в том, что правила разрешают процесс создания и аннигиляции античастицы-частицы. Пример можно найти на нижней диаграмме рис. 10.5: представьте, что на нем нет ничего, кроме электронной петли. Теперь диаграмма соответствует внезапному возникновению и последующему исчезновению электрон-позитронной пары. Так как чертеж петли не нарушает никаких правил квантовой электродинамики, мы должны признать, что это реальная возможность: помните, все, что может случиться, случается. Эта конкретная возможность – всего один из бесконечного множества вариантов бурной жизни пустого пространства, и, поскольку мы живем в квантовой Вселенной, правильно будет суммировать все эти вероятности. Иными словами, структура вакуума невероятно богата и состоит из всех возможных способов появления и исчезновения частиц.

В последнем абзаце мы упомянули, что вакуум не так уж пуст, но картина его существования выглядит довольно демократичной: все элементарные частицы играют свои роли. Что же так отличает именно бозон Хиггса? Если бы вакуум был всего лишь кипучей питательной средой для рождения и аннигиляции пар антиматерия-материя, то все элементарные частицы продолжали бы обладать нулевой массой: сами по себе квантовые петли массу не порождают[53]. Нет, нужно населить вакуум чем-то иным, и здесь в игру вступает целый вагон частиц Хиггса. Питер Хиггс просто сделал предположение, что пустое пространство полно некими частицами[54], не чувствуя себя обязанным пускаться в глубокие пояснения, почему это так. Частицы Хиггса в вакууме создают зигзаговый механизм, а также постоянно, без отдыха взаимодействуют с каждой массивной частицей во Вселенной, избирательно замедляя их движение и создавая массу. Общий результат взаимодействий между обычной материей и вакуумом, наполненным частицами Хиггса, состоит в том, что мир из бесформенного становится разнообразным и великолепным, населенным звездами, галактиками и людьми.

Конечно, возникает новый вопрос: откуда бозоны Хиггса вообще взялись? Ответ пока неизвестен, но считается, что это остатки так называемого фазового перехода, который произошел вскоре после Большого взрыва. Если достаточно долго смотреть на оконное стекло зимним вечером, когда становится холоднее, вы увидите, как из водяного пара ночного воздуха, словно по волшебству, возникает структурированное совершенство ледяных кристаллов. Переход от водяного пара ко льду на холодном стекле – это и есть фазовый переход, поскольку молекулы воды переформируются в ледяные кристаллы; это спонтанное нарушение симметрии бесформенного облака пара вследствие понижения температуры. Ледяные кристаллы формируются, потому что это энергетически благоприятно. Как мяч катится с горы, чтобы внизу прийти к более низкому энергетическому состоянию, как электроны перестраиваются вокруг атомных ядер, формируя связи, удерживающие молекулы вместе, так и точеная красота снежинки – это конфигурация молекул воды с более низкой энергией, чем бесформенное облако пара.

Мы полагаем, что нечто подобное произошло и в начале истории Вселенной. Новорожденная Вселенная представляла собой изначально горячие частицы газа, затем расширилась и охладилась, и выяснилось, что вакуум без бозонов Хиггса оказался энергетически неблагоприятным, и естественным стало состояние вакуума, полного частиц Хиггса. Этот процесс, по сути, схож с конденсацией воды в капли или льдинки на холодном стекле. Спонтанное образование капелек воды при их конденсации на холодном стекле создает впечатление, что они попросту образовались «ниоткуда». Так и в случае с бозонами Хиггса: на горячих стадиях сразу после Большого взрыва вакуум кипел мимолетными квантовыми флуктуациями (представленными петлями на наших диаграммах Фейнмана): частицы и античастицы возникали из ниоткуда и снова исчезали в никуда. Однако затем, когда Вселенная остыла, произошло нечто радикальное: внезапно, из ниоткуда, как капля воды появляется на стекле, возник «конденсат» частиц Хиггса, которые сначала удерживались вместе благодаря взаимодействию, объединенные в недолговечную взвесь, через которую распространялись другие частицы.

Представление о том, что вакуум заполнен материалом, предполагает, что мы, как и все остальное во Вселенной, живем внутри гигантского конденсата, который возник при остывании Вселенной, как возникает на рассвете утренняя роса. Чтобы мы не думали, что вакуум обрел содержание лишь в результате конденсации бозонов Хиггса, укажем, что в вакууме есть не только они. По мере дальнейшего охлаждения Вселенной кварки и глюоны тоже конденсировались, и получились, что неудивительно, кварковые и глюонные конденсаты. Существование этих двух хорошо установлено экспериментально, и они играют очень важную роль в нашем понимании сильного ядерного взаимодействия. На самом деле именно благодаря этой конденсации появилась большая часть массы протонов и нейтронов. Вакуум Хиггса, таким образом, в конечном счете создал наблюдаемые нами массы элементарных частиц – кварков, электронов, тау-, W– и Z-частиц. Кварковый конденсат включается в дело, когда нужно объяснить, что происходит, если множество кварков объединяется в протон или нейтрон. Интересно, что хотя механизм Хиггса имеет относительно немного значения для объяснения массы протонов, нейтронов и тяжелых атомных ядер, то для объяснения масс W– и Z-частиц он очень важен. Для них кварковые и глюонные конденсаты в отсутствие частицы Хиггса создали бы массу примерно 1 ГэВ, но экспериментально полученные массы этих частиц примерно в 100 раз выше. БАК был предназначен для работы в энергетической зоне W– и Z-частиц, чтобы выяснить, какой механизм отвечает за их сравнительно большую массу. Что это за механизм – долгожданный бозон Хиггса или что-то такое, о чем никто и подумать не мог, – покажут только время и столкновения частиц.

Разбавим рассуждения некоторыми удивительными цифрами: энергия, заключенная в 1 м3 пустого пространства в результате конденсации кварков и глюонов, равняется невероятным 1035 джоулям, а энергия в результате конденсации частиц Хиггса еще в 100 раз больше. Вместе они равняются тому количеству энергии, которое наше Солнце производит за 1000 лет. Точнее говоря, это «отрицательная» энергия, потому что вакуум находится в более низком энергетическом состоянии, чем Вселенная, которая не содержит никаких частиц. Отрицательная энергия – это энергия связи, сопровождающая образование конденсатов и сама по себе ни в коей мере не загадочная. Она не более удивительна, чем тот факт, что для кипячения воды (и обращения фазового перехода из пара в жидкость) нужно приложить энергию.

Но загадка все же есть: такая высокая отрицательная энергетическая плотность каждого квадратного метра пустого пространства должна бы вообще-то принести во Вселенную такое опустошение, что не появились бы ни звезды, ни люди. Вселенная буквально разлетелась бы на части через мгновения после Большого взрыва. Вот что произошло бы, если бы мы взяли из физики частиц предсказания о вакуумной конденсации и непосредственно добавили их в гравитационные уравнения Эйнштейна, применив для всей Вселенной. Этот малоприятный ребус известен как проблема космологической константы[55]. Собственно, это одна из центральных проблем фундаментальной физики. Она напоминает, что заявлять о полном понимании природы вакуума и/или гравитации надо с большой осторожностью. Пока мы не понимаем чего-то весьма фундаментального.

На этом предложении заканчиваем повествование, потому что дошли до границ нашего познания. Зона познанного – это не то, с чем работает ученый-исследователь. Квантовая теория, как мы заметили еще в начале книги, имеет репутацию сложной и откровенно странной, поскольку позволяет едва ли не любое поведение материальных частиц. Но все, что мы описали, за исключением этой последней главы, известно и хорошо понятно. Следуя не здравому смыслу, а доказательствам, мы пришли к теории, способной описать огромное количество явлений – от лучей, испускаемых горячими атомами, до ядерного синтеза в звездах. Практическое применение этой теории привело к самому важному технологическому прорыву XX века – появлению транзистора, а работа этого устройства была бы совершенно непонятной без квантового подхода к миру.

Но квантовая теория нечто гораздо большее, чем просто триумф пояснений. В результате насильно заключенного брака между квантовой теорией и относительностью в качестве теоретической необходимости появилась антиматерия, которую после этого действительно открыли. Спин – фундаментальное свойство субатомных частиц, лежащее в основе стабильности атомов, – тоже изначально был теоретическим предсказанием, которое требовалось для устойчивости теории. А сейчас, во втором квантовом столетии, Большой адронный коллайдер отправляется в неизведанное, чтобы исследовать сам вакуум. Это и есть научный прогресс: постоянное и тщательное создание набора объяснений и предсказаний, в итоге изменяющего нашу жизнь. Это и отличает науку от всего остального. Наука – это не просто иная точка зрения, она отражает реальность, которую было бы сложно представить даже обладателю самого извращенного и сюрреалистического воображения. Наука – это исследование реальности, и если реальность оказывается при этом сюрреалистической, значит, она такая и есть. Квантовая теория – наилучший пример силы научного метода. Никто бы не смог выдвинуть ее без как можно более тщательных и подробных экспериментов, а физики-теоретики, ее создавшие, смогли отбросить свои глубоко укоренившиеся комфортные представления о мире, чтобы объяснить лежащие перед ними доказательства. Возможно, загадка вакуумной энергии – зов к новому квантовому путешествию; возможно, БАК предоставит новые и необъяснимые данные; возможно, все, что содержится в этой книге, окажется лишь приближением к гораздо более глубокой картине – удивительный путь к пониманию нашей квантовой Вселенной продолжается.

Когда мы только обдумывали эту книгу, некоторое время спорили, чем ее закончить. Хотелось найти отражение интеллектуальной и практической мощи квантовой теории, которое убедило бы даже самого скептичного читателя, что наука действительно во всех подробностях отражает происходящее в мире. Мы оба согласились, что такое отражение существует, хотя и требует некоторого понимания алгебры. Мы изо всех сил старались рассуждать без тщательного рассмотрения уравнений, но здесь избежать этого никак нельзя, так что мы хотя бы предупреждаем. Итак, наша книга заканчивается здесь, даже если вам хотелось бы большего. В эпилоге – самая убедительная, на наш взгляд, демонстрация мощи квантовой теории. Удачи – и доброго пути.