Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс[2]. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников – скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ – 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний – от 1 до 50, нижний – от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая – 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно говоря, благодаря такой вот способности – не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку – Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают способности умственного счета, другие – просто красивы.

Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать сумму первых n чисел, где n – любое нужное вам количество! Некоторым людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n равняется 1 + 2 + 3 +… + n.

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов – всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n × (n + 1) – ну или в более привычной записи – n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.

Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 +… + 2n = n(n + 1)

А как насчет суммы первых нечетных, спрóсите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

То, что справа – квадраты целых чисел. 1 × 1; 2 × 2; 3 × 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n × n. Или n². Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое – методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5²? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на 5:

Кружков в нем 5 × 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5…., (2n – 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²Отступление

Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. Почему, например, 3 × 5 = 5 × 3? Уверен, вы никогда даже не задавались таким вопросом: просто однажды в детстве вам сказали, что порядок чисел при умножении абсолютно не важен (математики, кстати, называют это законом коммутативности). Но почему же три пакетика по пять жемчужин – это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон – посчитать кружки в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда, в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 × 5 кружков. С другой стороны, мы можем подсчитать столбики, а не ряды: по 3 кружка в каждом из 5 рядов, значит, всего кружков 5 × 3.

Эта закономерность может привести нас к другой, еще более красивой. Раз уж мы хотим заставить числа танцевать, почему бы не сделать это и с их квадратами?

Взгляните вот на такую пирамидку уравнений:

Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда – по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов – является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25… Почему так получается? Возьмем пятый ряд. Сколько чисел ему предшествуют? Давайте сложим их количество: 3 + 5 + 7 + 9. Прибавим к ним еще единицу, и у нас получится первое число пятого ряда – сумма первых 5 нечетных чисел, которая, как мы уже знаем, равна 5².

А теперь просчитаем пятое уравнение, ничего к нему не добавляя. Как бы это сделал Гаусс? Если пока не обращать внимания на начальное 25, слева у нас останется 5 чисел, каждое из которых будет ровно на 5 меньше, чем соответствующее ему число справа.

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства. Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот ряд можно продолжать бесконечно.

Отступление

А теперь – специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду n предшествует количество чисел, равное 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n² – 1, поэтому левая сторона нашего уравнения должна начинаться с числа n², за которым следует n последовательных чисел, от n² + 1 до n² + n. Справа – n последовательных чисел, начиная с n² + n + 1, заканчивая n² + 2n. Если мы временно «забудем» про число n² слева, то увидим, что каждое из n чисел справа на n больше, чем соответствующее ему последовательное число слева. Разница при этом составляет n × n, то есть n². Закономерность эта компенсируется начальным n² слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

Перейдем к другой закономерности. Как мы уже видели, из нечетных чисел можно составлять квадраты. А теперь посмотрим, что произойдет, если собрать их в один большой треугольник – вроде того, что изображен чуть ниже.

Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел! Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 × 5 × 5 = 5³

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n³. Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение? Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине 1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2 и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5, среднее арифметическое которых – 4, а по сторонам центра 4 ряда – 15 и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.

Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5³ – и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел – 5², уравнение преобразуется в 5² + 5² + 5² + 5² + 5² = 5 × 5², то есть 5³. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем – 4², их сумма – 4³. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n², а их сумма равна n³, что и требовалось доказать.

Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1³?

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 = 15² = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.

Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве – мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:

– Сын, – сказал он мне. – Алгебра – все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?

– Вроде, понимаю.

– Очень хорошо, – сказал он. – А сколько тогда будет 3β + 4β?

– 7β, – уверенно ответил я.

– Что-то я тебя не слышу, – посетовал папа. – Можешь погромче?

– СЕМЬБЕТА!!! – заорал я.

– И ни одного ответа! – с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.

Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк – сейчас расскажу, какой.

Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).

Шаг 2. Умножьте это число на 2.

Шаг 3. Добавьте 10.

Шаг 4. Разделите на 2.

Шаг 5. Вычтите из результата изначально задуманное вами число.

Уверен, получилось 5. Правильно?

Хотите узнать, в чем кроется секрет волшебства? В алгебре. Разберем фокус еще раз, шаг за шагом, начиная с первого. Я понятия не имею, какое число вы загадали, поэтому давайте заменим его буквой N. Неизвестное число, обозначаемое буквой, называется переменной.

Шаг второй предлагает нам удвоить загаданное число, то есть мы, по сути, имеем 2N (знак умножения в алгебре принято опускать, в том числе и потому, что очень часто для обозначения переменной используется внешне похожая на него буква x). После третьего шага ваше число выглядит как 2N + 10. Четвертая операция предлагает нам упростить пример, разделив все его части на 2: N + 5. И, наконец, мы вычитаем загаданное число (то есть N): N + 5 – N = 5. Давайте соберем весь фокус в одну таблицу:

Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5.

Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х. Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение – 3х. Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение

Уберем по одному х из обеих его частей и получим

(смотрите, откуда берется 2x: 3x – x – то же, что и 3x – 1x, то есть 2x). Разделим обе части уравнения на 2:

Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

Например, нам нужно найти x в уравнении

Наша основная задача – изолировать х, и первый шаг на пути к этому – разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:

Второй шаг – избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа, то есть

Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге получая

Ну и проверим ответ, конечно – это никогда не помешает: При x = 10 3(2x + 10) = 3(30) = 90, что верно. Интересно, есть ли у этого уравнения другое решение? Ответ – нет, потому что любое значение х должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему уравнению, так что x = 10 – единственный верный ответ.

А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New Tork Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» (The Interview) компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько – платные просмотры ($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций. Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой S, количество платных просмотров – буквой R. Составим уравнение

А так как каждая транзакция по продаже – это $15 прибыли, а по просмотру – $6, уравнение преобразуется:

Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S позволяет нам преобразовать и второе уравнение:

или 15S + 12 000 000 – 6S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных остается только S. Продолжаем упрощать:

Вычтем из обеих частей 12 000 000:

Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R = 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 × 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).

Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем не говорили. Называется оно «закон дистрибутивности» и работает тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно сложение и умножение. Согласно этому закону, для любых чисел a, b и с верно следующее:

Это правило следует использовать при умножении однозначного числа на двузначное, например,

Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28. С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8). Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).

Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.

Как видим, площадь прямоугольника равна a(b + c). Однако левая часть выглядит как ab, правая – как ac, поэтому в итоге у нас получается ab + ac. Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии, что a, b и c – положительные величины.

Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам, и переменным, например,

3(2x + 7) = 6x + 21

«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2x + 7. Во втором мы разлагаем 6x + 21 на сомножители, «вытягивая» тройку из 6x и 21.

Отступление

Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами, с чего бы вдруг (–5) × (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина – в том, что закон дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю, кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим, почему.

Допустим, мы примем тот факт, что –5 × 0 = 0, а –5 × 7 = –35. (Для этих примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:

– 5 × (–7 + 7)

Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 × 0, равное, как нам хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) × (–7)) + (–5 × 7). Следовательно,

((–5)) × ((–7)) + (–5 × 7) = ((–5) × (–7)) – 35 = 0

А если ((–5) × (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) × (–7) = 35. Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для всех значений a и b будет верно следующее: (–a) × (–b) = ab.

Одним из самых важных и полезных следствий из закона дистрибутивности является алгебраическое правило FOIL[3], согласно которому для любых переменных a, b, c, d верно следующее:

Смотрите, как правило FOIL работает на практике: cначала мы перемножаем первые числа в (a + b)(c + d), то есть ac. Потом – внешние, то есть ad. Затем – внутренние: bc. И наконец – последние: bd.

Давайте проиллюстрируем все это примером с конкретными числами:

А теперь давайте посмотрим, как работает магия правила FOIL. Бросьте две игральные кости и посмотрите таблицу, которая приведена чуть ниже. Допустим, вы выкинули 6 и 3. На обратных сторонах костей будет, соответственно, 1 и 4.

В нашем примере результат будет равен 49. И сколько бы вы ни бросали обычные шестигранные кости, результат будет тот же. Дело в том, что сумма чисел на противоположных сторонах стандартной игральной кости всегда равна 7. То есть если обозначить выпавшие числа буквами x и y, их парами будут 7 – x и 7 – y. Алгебра переделывает нашу таблицу таким вот образом:

Обратите внимание на подсчет в третьей строке (–x и – y при умножении дают xy со знаком плюс). К результату 49 можно прийти и другим, менее алгебраическим, способом: достаточно просто посмотреть на второй столбец таблицы и увидеть там те самые четыре числа, которые нужны нам для «запуска» FOIL: (x + (7 – x))(y + (7 – y)) = 7 × 7 = 49.

На уроках алгебры правило FOIL обычно применяют для решения таких, например, задач:

(x + 3)(x + 4) = x²+ 4x + 3x +12 = x² + 7x + 12

В крайней правой части число 7 (которое в этом случае называется коэффициентом числа х) есть сумма 3 и 4; 12 же (здесь он будет постоянным членом) – их произведение. Ну а получить ответ с нашим-то опытом – дело элементарное: так как 5 + 7 = 12, а 5 × 7 = 35, получаем

(x + 5)(x + 7) = x² + 12x + 35

С отрицательными величинами это тоже отлично работает, и вот тому подтверждение: в нашем первом примере мы начинаем с того, что 6 + (–2) = 4, а 6 × (–2) = –12.

(x + 6)(x – 2) = x² + 4x – 12(x + 1)(x – 8) = x² – 7x – 8(x – 5)(x – 7) = x² – 12x + 35

А вот примеры, когда известные числа у нас одинаковые:

(x + 5)² = (x + 5)(x + 5) = x² + 10x + 25(x – 5)² = (x – 5)(x – 5) = x² – 10x + 25

Обратите внимание, кстати, что (x + 5)² ≠ x² + 25: ошибку эту делают почти все, кто только начинает познавать азы алгебры. Но куда интереснее обстоят дела, когда у нас есть два одинаковых числа с разными знаками. Например, так как 5 + (–5) = 0,

(x + 5) (x – 5) = x² + 5x – 5x – 25 = x² – 25

Главное, что нужно запомнить – формула разности квадратов двух переменных:

(x + y)(x – y) = x² – y²

Мы уже пользовались ей в главе 1, в примере, когда учились в уме возводить в квадрат числа. Способ этот основан на алгебраической формуле:

A² = (A + d)(A – d) + d²

Сначала давайте удостоверимся в правильности этой формулы. В отличие от формулы квадратов здесь мы имеем [(A + d)(A – d)] + d² = [A² – d²] + d² = A². Стало быть, это действительно для всего диапазона значений A и d. На практике буквой A обозначается число, возводимое в квадрат, а d – его разность с ближайшим круглым числом. Например, чтобы возвести в квадрат 97, мы принимаем d за 3, чтобы получить

97² = (97 + 3) (97 – 3) + 3² = (100 × 94) + 9 = 9409Отступление

А вот несколько рисунков, доказывающих закон квадратичной зависимости. На них показано, как геометрическая фигура с площадью x² – y² может быть преобразована в прямоугольник с площадью (x + y)(x – y).

В главе 1 мы научились перемножать между собой близкие по значению числа. Но если там мы оперировали числами, близкими к сотне и начинающимися с одной и той же цифры, то здесь, используя элементы алгебры, мы можем поговорить и о более интересных примерах. Скажем, вот алгебраическая интерпретация метода сближения:

(z + a)(z + b) = z(z + a + b) + ab

Это становится возможным, потому что (z + a)(z + b) = z² + zb + za + ab, а значит, мы можем вынести за скобки из первых трех элементов сомножитель z. Формула эта работает для любых значений, хотя обычно под z мы понимаем число, заканчивающееся на ноль. Чтобы перемножить, например, 43 × 48, мы берем за z число 40, соответственно, a = 3, b = 8. И тогда наша формула говорит нам, что

43×48 = (40 + 3) (40 + 8) = 40(40 + 3 + 8) + (3 × 8) = (40 × 51) + (3 × 8) = 2040 + 24 = 2064

Обратите внимание, что при сложении наши множители дают 43 + 48 = 91 – тот же результат, что и менее сложные для подсчетов 40 + 51 = 91. Это совсем не случайно, ведь алгебра говорит нам, что сумма изначальных множителей представляет собой (z + a) + (z + b) = 2z + a + b, что является в то же время суммой более простых чисел z и z + a + b. А значит, мы можем легко округлять изначальные числа до удобных нам при подсчетах. Последнее вычисление, например, может быть сведено к z = 50, a = –7 и b = –2, и умножать мы будем 50 на 41. (Легко понять, откуда взялось 41: 43 + 48 = 91 = 50 + 41.) Следовательно,

43 × 48 = (50 – 7)(50 – 2) = (50 × 41) + (–7 × –2) = 2050 + 14 = 2064Отступление

В главе 1 мы использовали этот метод для чисел больше 100. Но он отлично работает и с меньшими величинами, например,

96 × 97 = (100 – 4)(100 – 3) = (100 × 93) + (–4 × –3) = 9300 + 12 = 9312

Обратите внимание, что 96 + 97 = 193 = 100 + 93 (на деле я всего лишь сложил две последние цифры, 6 и 7, чтобы узнать, что сотню нужно умножать на число, заканчивающееся на 3 и, скорее всего, равное 93). Со временем, получив опыт, вы научитесь не обращать внимания на минусы и умножать не отрицательные числа, а их положительные «отражения». То есть

97 × 87 = (100 – 3)(100 – 13) = (100 × 84) + (3 × 13) = 8400 + 39 = 8439

Этот же метод можно применить к парам чисел, одно из которых чуть меньше, а другое – чуть больше 100, только в конце вместо сложения вам нужно произвести вычитание. Например,

109 × 93 = (100 + 9) (100 – 7) = (100 × 102) – (9 × 7) = 10 200 – 63 = 10 137

И опять же, число 102 можно получить двумя способами: либо из 109 – 7, либо из 93 + 9, либо из 109 + 93 – 100 (ну и четвертый вариант – сложить последние цифры начальных чисел: 9 + 3 скажут нам, что число будет заканчиваться на 2, и этой информации может быть вполне достаточно). Практикуясь, вы научитесь легко перемножать близкие друг к другу числа. Посмотрите на несколько несложных примеров с трехзначными числами. Имейте в виду, что a и b здесь числа, в которых больше одного знака.

218 × 211 = (200 + 18)(200 + 11) = (200 × 229) + (18 × 11) = 45 800 + 198 = 45 998985 × 978 = (1000 – 15) (1000 – 22) = (1000 × 963) + (15 × 22) = 963 000 + 330 = 963 330

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2x, а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b/a (исходя из того, что a ≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n. Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.

Уравнение вроде

выглядит немного сложнее из-за этого 4x, зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители. Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x² + 11x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x² + 11x + 24 = (x + 3)(x + 8).

А теперь взгляните на x² + 9x = –13. Найти множители для x² + 9x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами:

имеет решение

Символ ± означает «плюс» или «минус». Для примера: в уравнении

x² + 4x – 12 = 0

a = 1, b = 4, c = –12.

Значит, наша формула утверждает, что

Поэтому x = –2 + 4 = 2 или x = –2 – 4 = –6, что и требовалось доказать. Думаю, вы не станете спорить, что для решения этого примера более уместен был бы метод разложения на множители.

Отступление

Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение x² + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить

x² + 4x + 4 = 16

Сделать это нужно для того, чтобы преобразовать левую часть в (x + 2)(x + 2). Так наша задачка превращается в

(x + 2)² = 16

Другими словами, (x + 2)² = 42. Значит,

x + 2 = 4 или x + 2 = –4

что дает нам x = 2 или x = –6, как мы уже выяснили чуть выше.

Но для уравнения

x² + 9x + 13 = 0

наш выбор очевиден – и это формула корней. У нас получается, что a = 1, b = 9, а c = 13. То есть

Согласитесь – в общем-то, не самый очевидный случай. По большому счету, в математике очень немного формул, которые действительно надо помнить, но формула корней квадратного уравнения – одна из них. Достаточно немного попрактиковаться, и вы легко обнаружите, что использовать эту формулу просто, как… дважды два.

Отступление

Почему работает формула корней квадратного уравнения? Давайте запишем уравнение ax² + bx + c = 0 как

ax² + bx= –c

а потом разделим обе части на a (которое не равно 0), чтобы получить

Извлечем квадратный корень из левой и правой частей уравнения:

и в результате получим

Что и требовалось доказать.

В XVII веке в математике произошел настоящий прорыв: французы Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга придумали отличный способ визуализации алгебраических уравнений (равно как и алгебраическую запись геометрических объектов).

Начнем, пожалуй, с графика простого уравнения

Оно означает, что любое значение переменной х мы должны удвоить, а потом прибавить к нему 3 – так у нас и получается y. В таблице ниже приведены несколько возможных пар значений для x и y. Рядом с таблицей – график, на котором все эти значения отмечены точками, и можно легко видеть, что все они определенным образом упорядочены. Посмотрите на координаты: (–3, 3), (–2, –1), (–1, 1) и так далее. Соединив эти точки одной линией и уведя ее в бесконечность, мы получим то, что называется графиком. График рядом с таблицей есть отображение уравнения y = 2x + 3.

Добавим немного необходимой терминологии. Горизонтальная линия на нашей картинке называется осью X, вертикальная – осью Y. Сам график составляет линия с наклоном 2, которая пересекает ось Y в точке 3. Наклон – это степень «крутизны» линии. Наклон, равный 2, обозначает, что каждый раз, когда x увеличивается на одну единицу, y всегда будет увеличиваться на две (что очень хорошо видно из таблицы). Алгебраически точка пересечения с осью Y – значение y при x = 0. Геометрически же все очевидно: это точка пересечения графика с вертикальной линией. То есть график уравнения

y = mx+ b

представляет собой линию с наклоном m, которая пересекается с осью Y в точке b (и наоборот). Линия обычно ассоциируется с ее уравнением, Поэтому мы можем просто сказать, что график на предыдущем рисунке – это линия y = 2x + 3.

А вот график линий y = 2x – 2 и y = –x + 7:

Первая линия y = 2x – 2 имеет наклон 2 и пересекается с осью Y в точке –2 (график получается параллельным линии y = 2x + 3 с полным сдвигом вниз по вертикали на 5). Наклон второй линии y = –x + 7 равен –1, поэтому при увеличении x на единицу на ту же единицу уменьшается и y. Призовем на помощь алгебру, чтобы найти точку (x, y) пересечения этих двух линий – именно в ней значения наших двух переменных совпадут, и x мы будем искать исходя из того, что он здесь равен y. Иными словами, нам надо решить

2x – 2 = –x + 7

Добавим к обеим частям сначала x, потом 2 и получим

3x = 9

то есть x = 3. А зная x, мы можем использовать другое уравнение, чтобы найти y. Если y = 2x – 2, значит, y = 2(3) – 2 = 4 (а y = –x + 7 дает нам y = –3 + 7 = 4). Значит, графики пересекаются в точке (3, 4).

Зная две точки, лежащие на одной прямой, нарисовать график в виде целой линии становится делом техники. Немного сложнее иметь дело с квадратичной функцией (и фигурирующим в ней x²). Самое простое для отображения в виде графика – уравнение y = x² (изображен ниже). Подобные графики называются параболами.

А вот график уравнения y = x² + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2).

Обратите внимание, что, когда x = –6 или x = 2, y = 0. Это легко заметить на графике – в тех двух его местах, где парабола пересекает ось x. И совсем не случайно, что самая нижняя ее точка располагается точно в центре между ними – при x = –2 и y = –16. Это вершина.

С параболами мы сталкиваемся каждый день. Каждый раз, когда вы видите движущийся по кривой предмет, будь то летящий мяч или струя воды в фонтанчике, вы, в сущности, видите параболу (просто взгляните на картинку чуть ниже). Свойства параболы активно используются в устройстве фар, телескопов, спутниковых тарелок и многих других приборов.

Еще немного терминологии. До этого все наши примеры содержали в себе многочлены – комбинации чисел и одной переменной (скажем, x), которая может быть возведена в положительную целую степень. Наибольшую из степеней входящего в многочлен одночлена называют степенью многочлена. Например, 3x + 7 – это (линейный) многочлен первой степени. Многочлен второй степени, вроде x² + 4x – 12, называется квадратным, многочлен третьей степени (5x³ – 4x³ – √2) – кубическим. Бывают многочлены и других, бóльших, степеней (я, правда, никогда не слышал их специальных названий – главным образом, думаю, потому, что не так уж и часто они встречаются. Интересно, насколько часто используются в профессиональной литературе термины «квартический», «квинтический» и т. п. многочлены? Встречаются, наверное, но я, честно говоря, по этому поводу настроен немного скептически). А еще бывают многочлены, в которых нет переменных (например, 17) – о таких говорят, что они стоят в нулевой степени. Ну и последнее, что вам нужно знать о многочленах – это то, что многочленом не может быть сочетание с бесконечным количеством чисел. Например, 1 + x + x² + x³ +… – не многочлен, а так называемый бесконечный ряд, о которых мы поговорим подробнее в главе 12.

Обратите внимание, что в случае с многочленами степень, в которую возводятся переменные, может быть выражена только положительным целым числом – ни в коем случае не отрицательным и не дробным. То есть если вам попадается уравнение с чем-нибудь вроде y = 1/x или y = √х, это не многочлен, потому что 1/x = x^–1, а √х = x^½.

Корнями многочлена мы считаем такие значения х, при которых многочлен равняется 0. Например, 3x + 7 имеет один корень, а именно x = –7/3. А вот у x² + 4x – 12 два корня: x = 2 и x = –6. А x² + 9 корня (в смысле, действительного корня) не имеет вообще. Обратите внимание, что каждый многочлен степени 1 (линейный) имеет один корень в силу того, что он пересекает ось X только в одной точке, квадратный – не больше двух. Многочлены x² + 1, x² и x² – 1 имеют соответственно ноль, один и два корня.

А вот графики двух кубических многочленов, на которых вы легко заметите, что в обоих – максимум три корня.

В главе 10 мы рассмотрим основную теорему алгебры, которая гласит, что каждый многочлен, возведенный в степень n, имеет не более n корней. Более того, он может быть разложен на линейную и квадратную части. Например,

имеет три корня (1, 2 и –3). В свою очередь,

x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)

имеет только один действительный корень – при x = 2 (и еще два комплексных, но им придется подождать до главы 10). Сегодня, кстати, очень легко можно найти график практически любой функции, просто набрав нужное вам уравнение в своем любимом поисковике. Просто напечатайте что-нибудь вроде y = (x^3 – 7x + 6)/2, и получится рисунок наподобие тех, которые представлены в этой книге.

В этой главе мы научились легко находить корни любого линейного или квадратного многочлена. А еще есть формулы для нахождения корней многочленов третьей или четвертой степеней, но они очень-очень сложные. Вывели их еще в XVI веке, а потом еще две сотни лет ведущие математики занимались поиском такого же уравнения для многочлена пятой степени. Лучшие умы бились над этой проблемой и никак не могли найти решения, пока в начале XIX века норвежский математик Нильс Абель не доказал, что создать такую формулу для пятой и более высокой степени просто-напросто невозможно. Это приводит нас к каламбуру, который считают забавным только математики: «Почему Исаак Ньютон не смог доказать теорему невозможности формулы для пятого порядка? – Потому что корни с деревьев не падают!»

Примеры доказательств невозможности чего-либо мы рассмотрим в главе 6.

Отступление

Почему x^–1 = 1/x? Конкретнее, почему 5^–1 = 1/5? Взгляните на такую закономерность:

5³ = 125, 5² = 25, 5¹ = 5, 5⁰ =? 5^–1 =?? 5^–2 =???

Обратите внимание, что с каждым уменьшением степени на единицу число делится на 5, что имеет для нас смысл, если над этим задуматься. Ведь тогда 5⁰ = 1, 5^–1 = 1/5, 5^–2 = 1/25 и так далее. Настоящая же причина этого – правило действий со степенями, согласно которому x^ax^b = x^a+b. Лучше всего он работает, когда a и b – положительные и целые величины. Так, x² = x · x, а x³ = x · x · x. Значит,

x²x³ = (x ∙ x) ∙ (x ∙ x ∙ x) = x⁵

Если мы хотим, чтобы правило работало при значении степени, равном 0, необходимо, чтобы

x^a+0 = x^ax⁰

а так как левая часть становится равна x^a, этому же значению должна быть равна правая часть, что возможно только при x⁰ = 1.

Желание же применить закон к отрицательным величинам вынуждает нас признать, что

x¹x^–1 = x^1+(–1) = x⁰ = 1

Разделим обе части на x и получим, что x^–1 должен равняться 1/x. По той же причине x^–2 = 1/x², x^–3 = 1/x³ и т. д.

Применение закона к целым величинам дает

x^½x^½ = x^½+½ = x¹ = x

Следовательно, умножая x^½ на x^½, мы получаем x, а это значит, что x^½ = √x (при условии, что x является положительным числом).

Предлагаю закончить главу тем же, с чего мы начинали – с алгебраической магии.

Шаг номер 1. Задумайте два числа от 1 до 10.

Шаг номер 2. Сложите их между собой.

Шаг номер 3. Умножьте сумму на 10.

Шаг номер 4. Прибавьте большее из загаданных чисел.

Шаг номер 5. Теперь вычтите меньшее.

Шаг номер 6. Скажите мне результат, и я назову оба загаданных вами числа.

Хотите – верьте, хотите – нет, но одного этого достаточно, чтобы узнать, с чего все начиналось. Например, если в результате получилось число 126, значит, скорее всего, вы загадали 9 и 3. Даже если повторить этот фокус несколько раз подряд, изумленная аудитория вряд ли догадается, как вы это делаете.

А секрет вот в чем. Чтобы узнать большее число, возьмите последнюю цифру результата (в нашем случае это 6), прибавьте к предшествующему ей числу (то есть 12) и разделите на 2. Так мы узнаем, что первое число – (12 + 6)/2 = 18/2 = 9. Второе число можно найти, вычтя из первого (9) последнюю цифру ответа, то есть 9 – 6 = 3.

Вот еще пара примеров – попрактиковаться. При ответе 82 большее из загаданных чисел – (8 + 2)/2 = 5, меньшее – 5 – 2 = 3. При ответе 137 большее – (13 + 7)/2 = 10, меньшее – 10 – 7 = 3.

Как же все-таки это работает? Допустим, загаданные вами числа – это X и Y, при этом X больше или равен Y. Согласно алгебраическим методам и инструкциям, показанным в таблице, мы увидим, что после пятого шага получается 10(X + Y) + (X – Y).

И какой от этого толк, спросите вы? Обратите внимание, что число, получающееся после 10(X + Y) будет обязательно заканчиваться на 0, а цифра (или цифры) перед этим нолем – сумма X + Y. Так как X и Y у нас находятся в пределах от 1 до 10, а X больше или равен Y, разность X – Y неизбежно будет однозначным числом (от 0 до 9). Это означает, что последней цифрой результата будет число, равное X – Y. Например, если вы загадывали 9 и 3, X = 9, а Y = 3. Значит, результат после пятого шага должен начинаться с X + Y = 9 + 3 = 12, а заканчиваться X – Y = 9 – 3 = 6, дающими вместе 126. А раз уж мы знаем X + Y и X – Y, мы можем взять их среднее арифметическое, чтобы получить ((X + Y) + (X – Y))/2 = X. В поисках Y мы можем посчитать ((X + Y) – (X – Y))/2 (в нашем случае – (12 – 6)/2 = 6/2 = 3), но мне куда более легким способом кажется просто взять большее число и вычесть из него последнюю цифру ответа (то есть 9 – 6 = 3), потому что X – (X – Y) = Y.

Отступление

Если вы хотите еще немного пощекотать нервы себе и своему зрителю, чья рука – гарантирую вам – немедленно потянется за калькулятором, попросите его загадать любые два числа от 1 до 100. И следуйте тем же инструкциям с одним лишь небольшим изменением: в третьем шаге попросите умножить результат не на 10, а на 100. То есть если ваш зритель, например, начал с 42 и 17, после пятого шага у него должно получиться 5925. Ответ вы можете составить, взяв из остатка две последние цифры и подсчитав их среднее арифметическое. Большим числом здесь будет (59 + 25)/2 = 84/2 = 42. А чтобы узнать меньшее, вычтите из большего две последние цифры ответа, в нашем случае – 42 – 25 = 17, искомое число. Объяснение будет по большому счету таким же, что и ранее – единственным исключением станет процедура после пятого шага: ответ будет 100(X + Y) – (X – Y), где X – Y – две последние цифры результата.

Еще один пример: если ответ получился 15 222 (то есть X + Y = 152, а X – Y = 22), большее из загаданных чисел – это (152 + 22)/2 = 174/2 = 87, а меньшее – 87 – 22 = 65.

В детстве любимым моим числом была девятка: ее магия мне казалась бесконечной, неисчерпаемой. Просто следуйте следующим инструкциям и увидите все сами:

1. Задумайте число от 1 до 10 (или выберите большее целое число; если хочется, можете воспользоваться калькулятором).

2. Умножьте его на 3.

3. Прибавьте 6.

4. Снова умножьте на 3.

5. Теперь на 2, если хотите.

6. Сложите между собой цифры своего числа. Если в результате у вас получилось однозначное число, остановитесь.

7. А если двузначное, снова сложите между собой цифры своего результата.

8. Сконцентрируйтесь на ответе.

А что, если сумма цифр нашего числа все-таки не кратна 9? Возьмем, например, число 3457. Следуя алгоритму, означенному чуть выше, мы можем представить 3457 (сумма цифр которого равна 19) как 3(999) + 4(99) + 5(9) + 7 + 12, то есть 3457 – это 7 + 12 = 19, что чуть больше, чем кратное девятке 18. А если 19 = 18 + 1, значит, и 3457 ровно на единицу больше ближайшего кратного 9 числа. К тому же выводу можно прийти, сложив цифры числа 19, потом – цифры числа 10, то есть вот какая последовательность у нас получается:

Процесс сложения между собой цифр числа и повторение этой операции до тех пор, пока не получится однозначное число, называется вычислением вычета по модулю 9, ведь на каждом этапе вы занимаетесь тем, что вычитаете число, кратное 9. Получаемое в итоге однозначное число называется цифровым корнем изначального числа. Например, числовой корень 3457 – 1, а 3456 – 9. Давайте попробуем вкратце суммировать все сказанное. Для каждого натурального n:

Алгебраически, обозначив цифровой корень числа n как r, получаем:

где x – целое число. Вычисление вычета по 9 – забавный способ проверить результаты, полученные в результате сложения, вычитания и умножения. Например, сумма верна, если ее цифровой корень равен сумме цифровых корней складываемых чисел. Хотите конкретнее? Давайте посчитаем

Обратите внимание, что цифровые корни слагаемых чисел равны 5 и 6, а цифровой корень их суммы (11) равен 2. И совсем не случайно, что цифровой корень результата (134 651) тоже имеет цифровой корень, равный 2. Причина всего это кроется в следующей алгебраической формуле:

(9x + r₁) + (9y + r₂) = 9(x + y) + (r₁ + r₂)

Если числа не совпадают, вы наверняка где-то ошиблись. И вот что важно: даже если числа совпадают, это еще не значит, что ответ верный, хотя в 90 % случаев проверка результата цифровыми корнями работает безотказно и позволяет быстро найти ошибку. Однако, случайно поменяв местами две цифры, вы этого не заметите, ведь сумма цифр от этого не изменится. А вот появление неправильного числа говорит об ошибке, если только ошибка не связана с заменой 0 на 9 или 9 на 0. Этот же метод можно использовать, когда нам нужно сложить друг с другом длинный столбец чисел. Представим, вы зашли в магазин и купили несколько продуктов по следующим ценам:

Складывая цифры результата, мы видим, что его цифровой корень – 5, а сумма цифровых корней равна 32, что подтверждает его правильность, потому что цифровой корень 32 – тоже 5. При проверке результата вычитания метод тоже отлично работает. Возьмем для примера те же числа, что были у нас в позапрошлом примере:

Разность будет равна 48 923, ее цифровой корень – 8. Работая с цифровыми корнями уменьшаемого и вычитаемого, видим, что 5 – 6 = –1. Но страшного в этом ничего нет – мы сделали все абсолютно правильно, потому что –1 + 9 = 8, да и прибавление (или вычитание) числа, кратного 9, к нашему ответу (или из нашего ответа) не меняет значение цифрового корня. По той же логике разница с 0 также верна при цифровом корне, равном 9.

А теперь неплохо было бы собрать вместе полученные нами знания и придумать еще один фокус (вроде того, который мы демонстрировали в предисловии). Просто следуйте инструкциям, хотите – с калькулятором, хотите – без.

1. Задумайте любое дву– или трехзначное число.

2. Сложите между собой его цифры.

3. Вычтите результат из задуманного числа.

4. Сложите между собой цифры полученной разности.

5. Если получилось четное число, умножьте его на 5.

6. Если нечетное – на 10.

7. Вычтите 15.

Получилось 75, да?

Если вы начали, например, с 47, вы сначала посчитали 4 + 7 = 11, а потом – 47 – 11 = 36. Дальше было 3 + 6 = 9 – нечетное число, умножив которое на 10, получаем 90, а 90 – 15 = 75. А может, вы начали с трехзначного числа – 831, например? Тогда 8 + 3 + 1 = 12, потом 831 – 12 = 819, а затем 8 + 1 + 9 = 18 – четное число. Дальше делаем 18 × 5 = 90, вычитаем 15 и получаем те же 75.

Секрет тут в том, что, если цифровая сумма изначального числа равна T, само число должно быть на T больше, чем ближайшее число, кратное 9. Когда мы вычитаем из загаданного числа T, мы гарантированно получаем результат, который можно разделить на 9 без остатка, при этом он меньше 999, а значит, сумма его цифр будет равна либо 9, либо 18 (если вернуться к нашему примеру с 47, цифровая его сумма – 11; мы вычитаем 11 до 36 с цифровой суммой 9). И после следующего шага единственным вариантом остается 90 (как произведение 9 × 10 или 18 × 5) и 75 – точно, как в наших примерах.

Теперь предлагаю посмотреть, как работает вычисление вычета по девятке с умножением. Возьмем те же числа и попробуем посчитать:

При умножении вычисление вычета по девятке работает на основе метода FOIL, о котором мы говорили в главе 2. Так, в нашем последнем примере цифровые корни справа говорят нам, что множители имеют формы 9x + 5 и 9y + 6, где x и y – целые числа. И когда мы их перемножаем, получаем

(9x + 5)(9y + 6) = 81xy + 54x + 45y + 30 = 9(9xy + 6x + 5y) + 30 = (число, кратное 9) + (27 + 3) = (число, кратное 9) + 3

При делении вычисление вычета по модулю 9 обычно не используется, но я не могу не показать вам поистине чудесный метод деления на 9. Иногда его называют «ведическим». Возьмем

12 302 ÷ 9

Представим это в следующем виде:

Продублируем первую цифру над чертой, там же – но уже над последней цифрой – напишем литеру R (для обозначения остатка), вот так:

А дальше будем складывать числа попарно, как это показано чуть ниже, обводя их овалом, и записывать результаты над чертой. Сумма 1 и 2, обведенных овалом, равна 3, поэтому следующим числом нашего частного будет 3.

Потом 3 + 3 = 6.

Затем 6 + 0 = 6.

И завершаем все остатком: 6 + 2 = 8.

И вот наш ответ: 12 302 ÷ 9 = 1366 с остатком 8. Так легко, что даже не верится, правда? Приведем еще один пример:

31 415 ÷ 9

Чтобы сэкономить бумагу, сразу дадим полную картину:

Начиная вверху с 3, мы складываем 3 + 1 = 4, потом 4 + 4 = 8, потом 8 + 1 = 9, и в конце – 9 + 5 = 14. Получается 3489 и 14 в остатке. Но раз 14 = 9 + 5, нам нужно добавить 1 к частному, чтобы получилось 3490 и 5 в остатке.

А вот простой вопрос с чарующим своей стройностью ответом. Проверьте, пожалуйста (на бумаге или в уме), правильно ли, что

111 111 ÷ 9 = 12 345 с остатком 6

Мы уже знаем, что, если остаток равен или больше 9, мы просто вычитаем из него эту девятку, а к частному прибавляем 1. Примерно то же происходит, когда сумма складываемых нами при делении чисел превышает 9. Мы сначала это запоминаем, потом вычитаем из результата 9 и продолжаем считать так же, как и считали. Например, при решении 4821 ÷ 9, мы делаем вот что:

Начинаем мы с 4, но поскольку 4 + 8 = 12, единицу мы пишем над четверкой (чтобы не забыть), а потом вычитаем 9 из 12, чтобы дальше написать 3. Затем идет 3 + 2 = 5, а после этого – 5 + 1 = 6; в результате получаем 535 с остатком 6 – взгляните:

Когда слишком многое «идет на ум», вычислять становится сложнее. Попробуем 98 765 ÷ 9.

Мы начинаем с 9, складываем 9 + 8 = 17, отмечаем запоминаемую единицу и вычитаем 9, чтобы получить вторую цифру – 8. Дальше у нас идет 8 + 7 = 15, мы отмечаем еще одну единицу и пишем 15 – 9 = 6. 6 + 6 = 12 – значит, «на ум идет» уже третья единица, – считаем 12 – 9 = 3. И остаток: 3 + 5 = 8. С учетом запомненных единиц получаем 10 973 с остатком 8.

Отступление

Если вам уже нравится деление на 9, попробуйте делить на 91. Возьмите любое двузначное число и просто делите его на 91 без остановки, множа количество знаков после запятой, пока не надоест. И никаких столбиков, никаких калькуляторов! Нет, кроме шуток! Вот, смотрите:

53 ÷ 91 = 0,582417…

Если говорить конкретнее, ответ тут – , где линия над цифрами 582417 означает, что они повторяются до бесконечности. Откуда эти числа берутся? На самом деле это деление ничуть не сложнее умножения исходного двузначного числа на 11. С помощью метода, о котором мы говорили в главе 1, считаем 53 × 11 = 583. Вычитаем из этого числа единицу и получаем первую половину нашего ответа, а именно – 0,582. Вторая половина – это разность, полученная при вычитании первой половины из 999: 999 – 582 = 417. В результате получаем .

Еще один пример – 78 ÷ 91. Здесь 78 × 11 = 858, то есть ответ будет начинаться с 857. Затем 999 – 857 = 142, поэтому 78 ÷ 91 = . Это число нам уже встречалось в главе 1, потому что 78/91 легко упрощается до 6/7.

Метод этот работает, потому что 91 × 11 = 1001. Поэтому в первом примере А так как 1/1001 = , мы получаем повторяющуюся часть нашего ответа из 583 × 999 = 583 000 – 583 = 582 417.

91 = 13 × 7 дает нам отличный способ делить числа на 13, усложняя их, чтобы получить в знаменателе 91. Например, 1/13 = 7/91, а так как 7 × 11 = 077, у нас получается

Точно так же 2/13 = 14/91 = , потому что 14 × 11 = 154.

Многое из того, что мы узнали о девятке, справедливо и в отношении других чисел. Вычисляя вычет по модулю 9, мы, по сути, заменяем числа тем, что осталось от их деления на 9. Не думаю, что для вас это большая новость. Каждый из нас делает это практически каждый день – с тех самых пор, когда мы научились называть время. Допустим, часы показывают ровно 8 (утра или вечера – неважно). Сколько они будут показывать через 3 часа? А через 15 часов? А через 27? А сколько они показывали 9 часов назад? Первые числа, которые возникают в сознании – 11, 23, 35, –1, но стоит нам вспомнить, что речь идет о часах, мы понимаем, что ответ на все эти вопросы будет один и тот же – 11 часов, ведь все заданные промежутки должны считаться от 12. Математики используют для этого такого вот вида запись:

Обобщая, мы можем сказать, что a ≡ b (mod 12), где и a, и b отличаются на число, кратное 12. Соответственно, a ≡ b (mod 12), если и a, и b при делении на 12 имеют один и тот же остаток. Иными словами, для любого целого значения m мы говорим, что два числа a и b равны (сравнимы) по модулю m, что обозначается как a ≡ b (mod m) где и a, и b отличаются на число, кратное m. По сути, это значит, что

a ≡ b (mod m), если a = b + qm при целом значении q.

Самая интересное в таких сравнениях по модулю – что ведут они себя абсолютно так же, как и обычные уравнения. Вот почему мы можем пользоваться здесь модульной (модулярной) арифметикой, то есть арифметическими действиями над абсолютными значениями чисел и спокойно их складывать, вычитать и умножать. Например, если a ≡ b (mod m), а с – это любое целое число, верно будет, что

a + c ≡ b + c, а ac ≡ bc (mod m)

Итак, разнообразые сравнения можно складывать, вычитать и умножать. Например, если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), значит,

a + c ≡ b + d, а ac ≡ bd (mod m)

Чуть более конкретно: так как 14 ≡ 2, а 17 ≡ 5 (mod 12), 14 × 17 ≡ 2 × 5 (mod 12), и это подтверждает, что 238 = 10 + (12 × 19). Следствием этого правила является то, что мы можем возводить сравнения по модулю в различные степени. Поэтому, если a ≡ b (mod m), действует следующее правило степени:

a² ≡ b² a³ ≡ b³ ··· aⁿ ≡ bⁿ (mod m)

при положительном целом значении n.

Отступление

Почему работает модульная арифметика? Например, если a ≡ b (mod m), а c ≡ d (mod m), значит, a = b + pm, а c = d + qm для целых значений p и q. Следовательно, a + c = (b + d) + (p + q)m, а a + c ≡ b + d (mod m). Далее, применив правило FOIL, получаем

ac = (b + pm)(d + qm) = bd + (bq + pd + pqm)m

Значит, ac и bd отличаются друг от друга на число, кратное m, что приводит нас к ac ≡ bd (mod m). Умножение соответствия a ≡ b (mod m) на само себя дает a² ≡ b² (mod m); повторение этого процесса опять-таки приводит нас к правилу возведения в степень.

То же правило возведения в степень делает число 9 таким особенным в десятеричной системе. Так как

10 ≡ 1 (mod 9)

то, согласно правилу возведения в степень, 10n ≡ 1n = 1 (mod 9) для любого значения n. Значит, например, число 3456 соответствует

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ 3(1) + 4(1) + 5(1) + 6 = 3 + 4 + 5 + 6 (mod 9)

А если 10 ≡ 1 (mod 3), становится понятно, почему мы можем простым сложением цифр определить, является ли число кратным 3 (или каким будет остаток при делении его на 3). Если бы мы проводили вычисления в другой системе – скажем, основанной на 16 (она называется шестнадцатеричной и используется в электротехнике и программировании), – то, исходя из 16 ≡ 1 (mod 15), мы могли бы простым сложением цифр определить, является ли число кратным 15 (или 3, или 5), или найти остаток при делении его на 15.

Но вернемся к более привычной десятеричной системе. Есть простой способ определить, кратно ли определенное число 11. Основывается он на том, что

10 ≡ –1 (mod 11)

Значит, 10ⁿ ≡ (–1)ⁿ (mod 11). Следовательно, 10² ≡ 1 (mod 11), 10³ ≡ (–1) (mod 11) и т. д. Число 3456, например, соответствует

3456 = 3(1000) + 4(100) + 5(10) + 6 ≡ –3 + 4 – 5 + 6 = 2 (mod 11)

То есть 3456 делится на 11 с остатком 2. Общее правило звучит так: число является кратным 11 только при условии, что мы приходим к числу, кратному 11 (например, 0, ± 11, ± 22….), при поочередном вычитании и сложении цифр. Давайте попробуем разобраться, делится ли число 31 415 на 11 без остатка? Достаточно посчитать 3 – 1 + 4 – 1 + 5 = 10, чтобы понять, что не делится, но сумма цифр следующего за ним целого 31 416 будет равна 11, поэтому 31 416 кратно 11.

Расчеты по модулю 11, кстати, используются для работы с ISBN[4]. Допустим, у вас есть книжка с десятизначным ISBN (номер с таким количеством цифр присваивался большинству книг до 2007 года). Эти цифры обозначают страну, в которой была издана книга, издательство и название, все, кроме последней, десятой, которую еще называют контрольной, – она нужна для того, чтобы превращать нагромождение цифр в стройную систему. То есть если десятизначный номер выглядит как a-bcd-efghi-j, тогда j выбирается на том основании, чтобы соответствовать

10a + 9b + 8c + 7d + 6e + 5f + 4g + 3h + 2i + j ≡ 0 (mod 11)

Так, ISBN моей книжки «Секреты устного счета», изданной в 2006-м, – 0-307-33840-1, что соответствует

10(0) + 9(3) + 8(0) + 7(7) + 6(3) + 5(3) + 4(8) + 3(4) + 2(0) + 1 = 154 ≡ 0 (mod 11)

поскольку 154 = 11 × 14. В А что происходит, когда возникает необходимость в качестве контрольной цифры поставить 10? В этом случае вместо десятки ставят литеру X – она же римская десятка. Система ISBN хороша тем, что позволяет легко определить ошибку в случае, если одна из цифр введена неправильно. Например, если вы перепутали третью цифру, то общий результат окажется кратным 8: ± 8, ± 16… ± 80, а не 11 (вы ведь помните, что 11 у нас здесь – главное число?), что и укажет на ошибку. С помощью алгебры легко убедиться, что система способна обнаружить ошибку даже в том случае, если две цифры перепутаны местами. Предположим, мы перепутали цифры c и f. При этом порядок остальных цифр верен, то есть единственное, что делает верный результат неверным – это значения c и f. Старый результат основан на 8c + 5f, новый – на 8f + 5c. Их разность (8f + 5c) – (8c + 5f) = 3(f – c), о которой мы знаем, что она не кратна 11. Следовательно, и новый результат не кратен 11.

В 2007 г. издатели перешли на тринадцатизначную систему ISBN, основанную уже на модуле 10 вместо 11. То есть номер abc-d-efg-hijkl-m правилен только в том случае, если он соответствует

a + 3b + c + 3d + e + 3f + g + 3h + i + 3j + k + 3l + m ≡ 0 (mod 10)

Похожая система, основанная на модуле 10, используется для проверки правильности штрихкодов, номеров кредитных и дебетовых карточек. Еще модульная арифметика играет важную роль в проектировании электронных схем и интернет-систем, обеспечивающих финансовую безопасность.

Мой любимый математический фокус – определять день недели, в который родился человек, по году и дате. Допустим, ваша знакомая говорит вам, что родилась 2 мая 2002 года. Представьте себе ее удивление, когда вы почти мгновенно сообщите ей, что это был четверг. Куда более полезно с практической точки зрения умение определять день недели по любой предстоящей в этом или следующем году дате. В этом разделе я расскажу вам, как легко это делать с помощью математики.

Но перед тем как заняться непосредственно самим методом, давайте вспомним пару интересных фактов из истории календаря. Итак, Земле требуется примерно 365,25 дней, чтобы пройти путь вокруг Солнца. Поэтому обычный год у нас длится 365 дней, а четверти мы собираем вместе и раз в четыре года добавляем один «лишний» (его еще называют високосным) день – 29 февраля. Таким образом, за четырехлетний цикл у нас получается 4 × 365 + 1 = 1461 день, что очень близко к реальному, астрономическому, положению вещей. Именно эта идея и легла в основу юлианского календаря, составленного Юлием Цезарем более 2000 лет назад. Например, 2000 год – високосный. И каждый четвертый после него – тоже: 2004, 2008, 2012, 2016 и т. д., вплоть до последнего в этом столетии 2096. «А как же 2100? – спросите вы. – Он разве не будет високосным?» А вот и нет. Знаете почему?

Проблема в том, что более точная длительность астрономического года – 365,243 (что примерно на 11 минут меньше 365,25), поэтому високосных годов получается чересчур много. За четыре сотни оборотов вокруг Солнца человечество проживает 146 097 дней, а юлианский календарь насчитывает 400 × 365,25 = 146 100 дней (что на три дня больше). Эту проблему (как и проблемы, связанные с определением дня Пасхи) попытался решить в 1582 году папа римский Григорий XIII, представив свой вариант календаря, впоследствии названный григорианским. И именно по этой самой причине в этом самом году католики всего мира убрали из своего летоисчисления десять дней. Например, в Испании после юлианского четверга 4 октября 1582 года последовала григорианская пятница, ставшая 15 октября 1582 года. После введения григорианского календаря годы, числовые значения которых можно разделить без остатка на 100, но при этом нельзя разделить без остатка на 400, перестали быть високосными (что позволило убрать лишние три дня). Следовательно, 1600 год в григорианском календаре оставался високосным, а вот 1700-й, 1800-й и 1900-й этот статус потеряли. Точно так же 2000-й и 2400-й – високосные, а 2100-й, 2200-й и 2300-й – нет. Согласно этой системе, каждые четыре сотни лет мы имеем 100 – 3 = 97 високосных годов или (400 × 365) + 97 = 146 097 дней, что точно соответствует астрономической истине.

Некоторые страны – в основном, некатолические – далеко не сразу приняли григорианский календарь. Англия вместе со своими колониями, например, перешла на него только в 1752 году, когда за средой 2 сентября сразу же последовал четверг 14 сентября (обратите внимание, что они «потеряли» 11 дней, а не десять, потому что пропустили 1700 год, который в юлианском календаре был високосным, а в григорианском – обычным). Всемирное же распространение григорианский календарь получил только в 1920 году. Представьте, какой головной болью это стало для историков. Мой любимый исторический парадокс – смерти Уильяма Шекспира и Мигеля де Сервантеса, которые по справочникам случились в один день, 23 апреля 1616 года, а на деле – с разницей в десять дней. Все это как раз из-за того, что к моменту смерти Сервантеса Испания уже пользовалась григорианским календарем, а Англия – все еще юлианским. То есть григорианское 23 апреля 1616 года в Испании было юлианским 13 апреля 1616 года в Англии, где жил (и прожил еще десять дней) Шекспир.

Формула определения дня недели по любой дате григорианского календаря выглядит так:

Давайте разберемся, что здесь к чему. Все это имеет смысл, если формула использует модульную арифметику по модулю 7 (поскольку в неделе 7 дней). Например, если нас интересует дата через 72 дня, день недели будет на два впереди от сегодняшнего, потому что 72 ≡ 2 (mod 7). А вот дата через 28 дней придется на тот же день недели, потому что 28 делится на 7 без остатка.

Начнем, пожалуй, с кодов дней недели – их легче всего запомнить:

По большому счету, здесь и запоминать-то ничего не надо: все точно соответствует привычной нам системе (ну, кроме воскресенья, которое, кроме 7, может быть и 0)[5].

Отступление[6]

Откуда пошли английские названия дней недели? Корнями они уходят в традиции Вавилонского царства, где были связаны с именами Солнца, Луны и пяти других ближайших к Земле небесных тел. От Солнца (англ. Sun) произошло воскресенье (англ. Sun-day), от Луны (англ. Moon) – понедельник (англ. Mon-day), от Сатурна – суббота (англ. Satur-day). Остальные названия легче найти во французском или, скажем, испанском языках. Так, Марс (лат. Mars) превратился во французское Mardi и испанское Martes (вторник), Меркурий (лат. Mercurius) – в Mercredi и Miércoles (среда), Юпитер (лат. Jupiter) – в Jeudi и Jueves (четверг), Венера (лат. Venus) – в Vendredi и Viernes (пятница). Обратите внимание, что и Марс, и Меркурий, и Юпитер, и Венера – не только названия планет, но и имена древнеримских богов. Английский же язык благодаря своему германскому происхождению перенял названия оставшихся четырех дней недели из скандинавской мифологии, в которой бога войны Марса звали Тиу (англ. Tiw), отца богов Юпитера – Тором (англ. Thor), его сына Меркурия – Одином (англ. Woden), а богиню любви и плодородия Венеру – Фрейей (англ. Freya). Так и появились «день Тиу» – вторник (англ. Tues-day), «день Одина» – среда (англ. Wednes-day), «день Тора» – четверг (англ. Thurs-day) и «день Фрейи» – пятница (англ. Fri-day).

А вот с кодами месяцев мороки чуть больше, поэтому здесь я приведу «запоминалки» – подсказки, основанные на ассоциации.

Откуда берутся эти цифры, я объясню чуть позже – сначала разберемся с вычислениями. Единственный код года, который вам пока нужно знать, – 0 для 2000 года. Давайте попытаемся посчитать, на какой день недели пришлось в этом году 19 марта (мой день рождения, кстати). Код марта у нас – 2, код 2000 года – 0, подставляем их в нашу формулу и получаем

День недели = 2 + 19 + 0 = 21 ≡ 0 (mod 7)

Значит, 19 мая 2000 года было воскресеньем.

Отступление

Быстренько объясним, откуда берутся коды месяцев. Обратите внимание, что в невисокосные годы коды февраля и марта совпадают. Объясняется это тем, что в феврале 28 дней, а значит, 1 марта наступает через 28 дней после 1 февраля – то есть оба эти месяца начинаются в один и тот же день недели. А теперь смотрите: 1 марта 2000 года было средой. Поэтому, если мы присвоим 2000 году код 0, а понедельнику – код 1, марту просто некуда деваться, как получить код 2. Поэтому в невисокосный год кодом февраля тоже должна быть двойка. А раз в марте у нас 31 день, что ровно на 3 больше февральских 28, календарь апреля сдвигается по неделе на 3 дня вперед, то есть код получается 2 + 3 = 5. Дальше мы добавляем апрельские 28 + 2 к коду 5 и видим, что код мая должен быть 5 + 2 = 7, которые мы можем заменить на 0, раз уж наш модуль – 7. Точно так же мы можем определить коды и всех остальных месяцев.

С другой стороны, в феврале високосного года (а 2000 год был високосным) 29 дней, поэтому календарь марта убегает только на один день вперед, а код такого февраля будет 2 – 1 = 1. В январе 31 день, поэтому его код в невисокосном году должен быть на три единицы меньше кода февраля: 2 – 3 = –1 ≡ 6 (mod 7). В високосный же год получается на единицу меньше: 1 – 3 = –2 ≡ 5 (mod 7).

Что происходит с вашим днем рождения от года к году? Если забыть про високосные годы, между двумя днями рождения проходит 365 дней, то есть каждый раз эта дата смещается на один день вверх по неделе, потому что 365 ≡ 1 (mod 7), а 365 = 52 × 7 + 1. Но когда между ними «вклинивается» 29 февраля, если вы, разумеется, не родились именно 29 февраля, смещение составит не один день, а два. Соответственно, к коду года в нашей формуле мы просто добавляем 1. Или 2, когда дело доходит до високосного года. Вот коды годов с 2000-го по 2031-й. Не переживайте. Их вам запоминать не придется.

Обратите внимание, что мы идем просто по порядку – 0, 1, 2, 3 и т. д., – перескакивая через единицу для високосного года. Так происходит в случае с 2004-м, кодом которого вместо 4 будет 5, 2005-й тогда получает код 6, а 2007-й должен бы получить 7, но, так как мы с вами работаем по модулю 7, возвращаемся обратно к 0, Поэтому код 2007-го – 1, а 2008-го (високосного) – 3.

И так далее. С помощью этой таблицы мы легко определим, что в 2025 году (это ближайший год, числовое обозначение которого является квадратом числа), день числа Пи (14 марта) придется на

День недели = 2 + 14 + 3 = 19 ≡ 5 (mod 7) = Пятница

А как насчет 1 января 2008 года? Не забудьте, что год этот – високосный, а значит, код января будет 5, а не 6. Следовательно:

День недели = 5 + 1 + 3 = 9 ≡ 2 (mod 7) = Вторник

Посмотрите еще раз на таблицу вдоль ее рядов, и увидите, что каждый раз, когда проходит 8 лет, код года повышается на 3 (по модулю 7). Например, годы в первом ряду имеют коды 0, 3, 6, 2 (двойка по модулю 7 – это та же девятка). Происходит это потому, что за период в 8 лет нам обязательно попадается два високосных года, поэтому даты смещаются на 8 + 2 = 10 ≡ 3 (mod 7).

А вот кое-что еще более интересное. С 1901 по 2099 год через каждые 28 лет календарь повторяется один в один. Знаете, почему? Из 28 лет 7 – всегда високосные, поэтому календарь смещается на 28 + 7 = 35 дней, а 35 – число, кратное 7, что и обеспечивает повторяемость дней недели (закономерность эта нарушится, если мы опустимся ниже 1900 года или поднимемся выше 2100-го, ведь в григорианском календаре они не високосные). Поэтому, просто складывая или вычитая числа, кратные 28, вы можете превратить любой год из промежутка с 1901-го по 2099-го в соответствующий ему из промежутка с 2000-го по 2027-й. Например, 1983-й имеет тот же код, что и 1983 + 28 = 2011, а 2061-й – тот же, что и 2061 – 56 = 2005.

То есть какую бы практическую задачу вы ни решали, вы можете превратить нужный вам год в один из тех, что составляют нашу таблицу, и таким нехитрым способом узнать его код. Почему, например, кодом 2017-го будет 0? Да потому что с 2000 года (имеющего код 0), календарь смещается по неделе 17 раз плюс дополнительно 4 раза за каждый високосный год – 2004-й, 2008-й, 2012-й и 2016-й. Значит, код 2017-го будет 17 + 4 = 21 ≡ 0 (mod 7). А что насчет 2020-го? Здесь у нас будет уже пять високосных годов (ведь сам 2020-й – високосный), поэтому календарь смещается 20 + 5 = 25 раз, а так как 25 ≡ 4 (mod 7), кодом 2020 года будет 4. Вот как будет выглядеть общая схема определения годовых кодов в промежутке с 2000-го по 2027-й.

Шаг 1: Возьмите две последние цифры года (в примере с 2022 годом этими цифрами будут 22).

Шаг 2: Разделите это число на 4. В результате нас интересует только целое, остаток можно проигнорировать (в нашем примере – 22 ÷ 4 = 5 с остатком 2).

Шаг 3: Сложите числа из первого и второго шагов (в нашем примере – 22 + 5 = 27).

Шаг 4: Возьмите ближайшее число, кратное 7, которое при этом будет меньше суммы, полученной после третьего шага (это может быть 0, 7, 14, 21 или 28). Вычтите его из этой суммы и узнаете код года (другими словами, сократите число из третьего шага по модулю 7: так как 27 – 21 = 6, кодом 2022 года будет 6).

Обратите внимание, что шаги с 1 по 4 работают для любого года в промежутке с 2000-го по 2099-й; можно значительно упростить себе задачу устного счета, просто вычтя на начальном этапе число, кратное 28, и получив таким образом год в промежутке с 2000-го по 2027-й. 2040 год, например, можно «упростить» до 2012, и шаги с 1-го по 4-й превращаются в элементарное 12 + 3 – 14 = 1. К тому же результату можно прийти, работая непосредственно с 2040: 40 + 10 – 49 = 1.

Алгоритм этот можно использовать не только для двухтысячных годов. Коды месяцев останутся такими же, а вот с кодами годов нужно будет сделать одну небольшую поправку. Код 1900 года будет равен 1. Следовательно, код каждого года в промежутке с 1900-го по 1999-й будет на одну единицу больше, чем их «собратья» в промежутке с 2000-го по 2099-й. То есть если код 2040-го – 1, значит, кодом 1940-го будет 2; а кодом 1922-го, например, будет 7 (ну, или 0), потому что 2022 год обозначается кодом 6. Код 1800 года – 3, 1700-го – 5, 1600-го – 0 (на самом деле на полный цикл у календаря уходит 400 лет, потому что именно четырехсотлетний период имеет 100 – 3 = 97 високосных годов, то есть ровно через 400 лет, день в день, календарь сместится на 400 + 97 = 497 дней, что даст нам абсолютно тот же день недели и то же число, ведь 497 кратно 7).

Хотите узнать, каким днем недели было 4 июля 1776 года? Сначала найдем код 2076 года, для чего вычтем 56 из 2076, а потом посчитаем код 2020-го: 20 + 5 – 21 = 4. Следовательно, код 1776 года будет 4 + 5 = 9 ≡ 2 (mod 7). Таким образом, получается, что по григорианскому календарю 4 июля 1776 года пришлось на

День недели = 5 + 4 + 2 = 11 ≡ 4 (mod 7) = Четверг

А раз так, может быть, те, кто подписывал Декларацию независимости, просто хотели успеть завершить все перед выходными?

Отступление

Под конец главы давайте я расскажу вам о еще одном волшебном свойстве числа 9. Загадайте любое число, в котором ни одна цифра не повторяется, при этом идут они от меньшего к большему. Это может быть, например, 12 345, 2358, 369 или 135 789. Умножьте это число на 9 и сложите между собой цифры. В том, что результат будет кратен 9, для нас ничего нового нет – удивительным будет то, что цифры в своей сумме дадут ровно 9. Например,

9 × 12 345 = 111 1059 × 2358 = 21 2229 × 369 = 3321

Фокус сработает, даже если цифры будут повторяться – главное, чтобы они шли от меньшего к большему и чтобы разряд единиц не равнялся разряду десятков. Вот, смотрите:

9 × 12 223 = 110 0079 × 33 344 44 9 =300 100 041

Так в чем тут секрет? Давайте посмотрим, что происходит, когда мы умножаем на 9 число ABCDE, в котором A ≤ B ≤ C ≤ D < E. Так как умножать на 9 – все равно что умножать на 10 – 1, мы приходим к вычитанию

Если считать слева направо, то, с учетом того, что B ≥ A, C ≥ B, D ≥ C, а E > D, мы будем иметь дело с

а сумма цифр результата составит

A + (B – A) + (C – B) + (D – C) + (E – D – 1) + (10 – E) = 9

что и требовалось доказать.

В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:

93326215443944152681699238856266700490715968264381621468

59296389521759999322991560894146397615651828625369792082

7223758251185210916864000000000000000000000000

В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).

Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,

n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×… × 3 × 2 × 1

Например,

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.

Отступление

Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ≥ 2 n! = n × (n – 1)! а значит

Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится

Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:

Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10²². А количество всех-всех атомов во Вселенной – 10⁸⁰. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.

Отступление

В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.

Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:

Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно a, а объектов второго типа – b, всего у вас будет a + b разных объектов (естественно, предполагая, что ни один из объектов типа b не повторяется в типе a).

Правило произведения применяется в том случае, когда вам нужно предпринять некое действие, которое состоит из двух частей. Если имеется a вариантов выполнения первой части и b вариантов второй, то для всего действия имеется a × b вариантов. То есть если у меня есть 5 разных пар брюк и 8 различных рубашек и если я (как и большинство математиков) при этом не особо озабочен вопросами стиля и сочетания цветов, общее количество возможных комбинаций составит 5 × 8 = 40. А если я еще решу надеть один из 10 своих галстуков (то есть мое действие будет состоять уже из трех частей: галстук, брюки и рубашка), комбинаций станет уже 40 × 10 = 400.

В полной колоде карт каждая карта принадлежит к одной из 4 мастей (пики, червы, бубны, трефы) и 13 достоинств (туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, валет, дама и король). Значит, всего в полной колоде 4 × 13 = 52 карты. При желании все их можно разложить в виде прямоугольника со сторонами 4 на 13 – тем самым мы получим визуальное представление об общем количестве в 52.

Давайте применим правило произведения для подсчета почтовых индексов. Каково возможное количество пятизначных индексов? Каждый индекс – это пятизначное число, состоящее из цифр от 0 до 9. Наименьшее из них будет иметь вид 00000, а наибольшее – 99999[7]. Значит, всего имеется 100 000 вариантов. К тому же результату можно прийти с помощью правила произведения. У нас есть 10 вариантов выбора числа для первой цифры (от 0 до 9), 10 – для второй, и дальше по 10 для третьей, четвертой и пятой. Значит, имеем 10⁵ = 100 000 вариантов.

В почтовых индексах числа могут повторяться. А если взять ситуацию, в которой объекты не могут повторяться – например, когда вы выкладываете предметы в ряд? Несложно заметить, что два объекта в каждой паре могут быть расположены двумя способами. Скажем, буквы А и B могут быть представлены либо как АВ, либо как ВА. Способов разложить 3 объекта у нас ровно 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. А можете представить в уме, без ручки и бумажки, 24 возможные комбинации 4 объектов? Начнем с выбора одного из четырех вариантов для начальной позиции (выбираем из четырех букв: А, B, C или D). Для второй позиции останется 3 варианта, для третьей – 1, для последней, четвертой, – всего лишь 1. Всего получается 4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 варианта. Другими словами, для n объектов имеется n! вариантов их расположения.

А вот пример одновременного использования правил суммы и произведения. Допустим, некое государство выдает автовладельцам регистрационные номера двух типов. Номера первого типа состоят из 3 букв и 3 цифр, второго – из 2 букв и 4 цифр (в обоих случаях сначала идут буквы, потом – цифры). Сколько всего будет номеров (притом что мы можем использовать все 26 букв латинского алфавита и 10 цифр, не обращая при этом внимания на внешнее сходство, вроде О и ноль)? Сначала посчитаем количество номеров первого типа, применив правило произведения:

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 17 576 000

То же с номерами второго типа:

26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6 760 000

Так как один номер относится либо к первому, либо ко второму типу (и не повторяется), согласно правилу суммы общее количество возможных комбинаций – 24 336 000.

Но подобного рода подсчеты (математики даже выделяют такие упражнения в отдельную ветвь своей науки – комбинаторику) не приносили бы столько удовольствия, если бы не многообразие способов, которыми можно достичь желаемого (мы уже успели в этом убедиться, когда говорили об устном счете). Оказывается, то же количество автомобильных номеров можно посчитать за один шаг:

26 × 26 × 36 × 10 × 10 × 10 = 24 336 000

ведь для первых двух символов каждого номера существует 26 вариантов, для последних трех – 10, при этом третий символ может быть или буквой, или цифрой, а значит, возможных вариантов здесь будет 26 + 10 = 36.

В этом разделе мы используем то, что только что узнали, для подсчета своих шансов выиграть в лотерею или собрать нужную комбинацию в покере. Но позвольте сначала предложить вам немного мороженого.

Допустим, вам предлагают наполнить рожок 3 шариками разных сортов мороженого. Всего можно выбирать из 10 сортов. Сколько всего можно получить разных рожков? Не забудьте: порядок шариков разных сортов имеет значение (а как же иначе? Ведь вкус-то разный!). Если повторяться можно, получается, что у нас есть 10 вариантов для каждого из трех шариков: 103 = 1000 вероятных комбинаций. Ну а если нельзя – их количество сокращается до 10 × 9 × 8 = 720, как показано на картинке чуть ниже.

Теперь кое-что поинтереснее. Как будут лежать три шарика трех разных сортов в вазочке, если их порядок не важен? Можно сказать точно: их будет меньше. А конкретно – в 6 раз меньше. Попытаемся понять, почему. Лежащие в вазочке 3 шарика мороженого 3 разных сортов (допустим, шоколадное, ванильное и мятное) можно переложить в рожок 3! = 6 способами. Значит, из 1 варианта вазочки можно собрать 6 вариантов рожков. Количество вазочек, таким образом, будет равняться

Другой способ представить 10 × 9 × 8 – 10!/7! (хотя первый пример, конечно, легче подсчитать). Значит, количество чашек – Такая запись читается как «число сочетаний из 10 по 3», обозначается символом и равняется 120. Другими словами, число вариантов при выборе определенного количества различных объектов, равного n, из общего количества различных объектов, равного k (в произвольном порядке), называется «числом сочетаний из n по k» и подсчитывается по формуле

Математики называют такого рода вычисления сочетаниями или комбинациями, а числа вида  – биноминальными коэффициентами. Вычисления же при строго определенном порядке объектов называется перестановкой или пермутацией. Эти два понятия часто путают: например, мы привыкли думать, что на «кодовом» замке нужно подбирать «комбинации» цифр, хотя по сути это не комбинации, а перестановки, ведь порядок чисел, составляющих код, имеет большое, если не решающее, значение.

Если ваш продавец мороженого предлагает 20 разных сортов, то, направляясь туда с намерением купить 5 разных шариков (в случайном порядке), вам придется выбирать из

вариантов. Кстати, если на вашем калькуляторе не предусмотрено специальной кнопки, чтобы подсчитать просто наберите в любом поисковике «число сочетаний из 20 по 5»[8], и вы увидите веб-калькулятор с готовым ответом.

Биноминальные коэффициенты, впрочем, могут появляться и там, где порядок расположения объектов определенную роль все же играет. Если вы 10 раз подбросите монетку, сколько всего у вас будет возможных последовательностей результатов (вроде О-Р-О-Р-Р-О-О-Р-Р-Р или О-О-О-О-О-О-О-О-О-О)? Так как каждый бросок имеет два возможных исхода, правило произведения говорит нам, что их будет 210 = 1024, причем шансы выпадения каждой стороны абсолютно равны. (Некоторые, конечно, удивятся: вероятность того, что выпадет вторая комбинация, вроде бы куда ниже, чем у первой. Тем не менее шансы и у той, и у другой абсолютно равные – 1 к 1024.) С другой стороны, то, что за 10 бросков орел выпадет 4 раза, а не 10, куда вероятнее, ведь комбинаций с 4 орлами много, а с 10 – всего одна. Вот только «много» – это сколько? Подобная последовательность определяется количеством «орлиных» бросков, равным 4 из 10, соответственно, остальные броски должны закончиться выпадением решки. Количество способов определить, какие именно 4 из 10 бросков дадут нам орла, равно (все равно что выбирать 4 разных шарика мороженого из 10 сортов). Значит, наш шанс, что из 10 попыток 4 раза выпадет орел, если бросать симметричную, абсолютно уравновешенную монетку, равен

или примерно 20 % всех возможных комбинаций.

Отступление

Логично спросить, сколько можно собрать вазочек с 3 шариками из 10 сортов, если можно повторяться (10³/6 – ответ неправильный, это ведь даже не целое число). Наиболее простой способ – рассмотреть 3 отдельных случая, взяв за отправную точку количество разных сортов в вазочке. Очевидно, что в случае с 3 шариками одного сорта получится 10 вазочек. Из сказанного выше понятно, что в случае с 3 шариками 3 сортов получится вазочек. А вазочек будут с 2 сортами мороженого, ведь 2 сорта мы можем выбрать способами. И лишь потом можно решать, какие 2 из 3 шариков будут именно этого сорта. Сложив все вместе, получим 10 + 120 + 90 = 220 вазочек.

Есть и другой способ прийти к этому ответу, не разбивая задачу. Каждую вазочку можно представить как комбинацию трех звездочек и девяти черточек. Если мы выбираем первый, второй и снова второй сорта, «перекодированная» вазочка будет выглядеть вот так:

Второй, снова второй и седьмой сорта – вот так:

А комбинация

будет означать, что наш выбор пал на сорта третий, пятый и десятый. То есть вазочка – это набор из 3 звездочек и 9 черточек. Всего получается 12 символов, 3 из которых обязательно должны быть звездочками. Следовательно, возможных комбинаций у нас будет Обобщая, можно сказать, что количество способов выбрать k объектов из множества n при произвольном порядке и с возможностью повторения равно количеству способов сочетания k звездочек и n – 1 черточек –

Подсчет сочетаний необходим в большинстве задач, в которых большую роль играет случайность. Представим себе лотерею, в которой вам нужно угадать 5 различных чисел от 1 до 47. Дополнительно вы выбираете еще одно, МЕГАчисло от 1 до 27 (можно выбирать любое, в том числе и одно из тех, которые уже встречались в пятерке). У нас есть 27 вариантов выбора дополнительного числа, и вариантов выбора основных 5 чисел. Таким образом, общее количество равно

Другими словами, ваш шанс выиграть главный приз в такой лотерее – примерно 1 из 40 миллионов.

Теперь давайте переключим внимание на покер. Комбинация в покере – это обычно 5 карт из 52, составляющих колоду. Все они разные, выбраны случайно, порядок их значения не имеет. Следовательно, количество комбинаций равняется

Комбинация из 5 карт одной и той же масти

называется флешем. Сколько всего может быть флешей? Чтобы посчитать, сначала выберем масть – 1 из 4 вариантов (давайте договоримся, что это будут пики). Сколько всего можно собрать комбинаций разных 5 карт этой масти? В колоде 13 пиковых карт. Значит, флешей всего

и наши шансы получить один из них составляют 5148/2 598 960, то есть примерно 1 к 500. Любители покера теперь могут вычесть из 5 148 4 × 10 = 40, чтобы узнать, какова вероятность, что собрать стрит-флеш – такой флеш, в котором карты одной масти идут подряд по старшинству.

При простом стрите масти в расчет не принимаются, главное – последовательный набор карт: Т-2-3-4-5 или 2-3-4-5-6, или…, или 10-В-Д-К-Т. Вот так, например:

Стрит может сложиться из 10 разных комбинаций (ценность которых определяется «ценностью» младшей карты). Определив ту из них, которая нужна нам (пусть будет 3-4-5-6-7), мы выбираем одну из 4 мастей, которой должны быть все карты. Следовательно, количество комбинаций стрита равняется

10 × 45 = 10 240

то есть почти в 2 раза выше, чем у флеша. А шанс его получить – 1 к 250. Именно поэтому флеш в покере ценится больше: его куда сложнее собрать.

Еще более ценен фул-хаус – 3 карты одного достоинства плюс 2 карты другого. Что-то вроде этого[9]:

Чтобы подсчитать свои шансы на фул-хаус, нам сперва нужно выбрать необходимое нам достоинство, которое попадется нам трижды (13 вариантов), потом – то, которое попадется дважды (12 вариантов). Допустим, нам нужны 3 дамы и 2 семерки. Определимся с мастями. Получить нужных нам дам можно способами, семерки – способами. Общее количество фул-хаусов, таким образом, равняется

13 × 12 × 4 × 6 = 3744

Следовательно, вероятность его собрать – 3744/2 598 960 или 1 к 700.

От фул-хаусов перейдем к двум парам. Здесь нам нужны две карты одного достоинства, еще две – другого, и последняя – третьего, например

Пытаясь посчитать количество возможных пар, многие ошибочно начинают с 13 × 12, как в случае с фул-хаусами. Но теперь нам нужно немного другое, ведь здесь вероятность получить две семерки после двух дам – это абсолютно то же, что и получить двух дам после двух семерок. Поэтому правильно будет начать с (имея в виду и семерки, и дам), потом выбрать новое достоинство для непарной карты (пусть это будет пятерка), затем выбрать масти. Количество комбинаций с двумя парами –

Появляются они в 5 % случаев.

Подробнее на всех вариантах раздач мы останавливаться не будем, но я попрошу вас взглянуть на следующие подсчеты и проверить, насколько они верны. Комбинаций с каре-[10], вроде может быть

с тройкой-[11], например,  –

с одной парой – скажем,  –

всего – 42 % всех возможных комбинаций.

Отступление

А сколько же может быть «пустых» комбинаций – без пар, без стритов и без флешей? Можете, конечно, сложить все числа, которые мы получили до этого и вычесть сумму из но я облегчу вам жизнь и просто дам ответ:

Первая часть – это количество комбинаций 5 карт разного достоинства за вычетом 10 последовательных (вроде 3-4-5-6-7). Следующая часть охватывает вероятные «расклады» этих 5 карт разного достоинства; для каждого достоинства у нас есть 4 варианта, но при этом мы должны исключить возможность того, что все они встретятся в одном «раскладе». Все это значит, что наши шансы собрать «пустую» комбинацию – 50,1 %. А еще это значит, что в 49,9 % случаев мы будем играть как минимум с одной парой.

А теперь вопрос, на который можно дать целых три прелюбопытных ответа, причем правильными из них будут сразу два! Сколько существует комбинаций, в которых есть как минимум один туз? Уверен, вас так и подмывает ответить что, само собой, неправильно. Вы же исходите (и напрасно) из того, что сначала нужно выбрать туза (4 варианта), а потом собирать любые другие 4 карты из 51 оставшейся в колоде. Неправильно здесь то, что вы таким образом просчитываете некоторые комбинации (а именно – те, в которых больше одного туза) несколько раз. Например, комбинация  будет посчитана дважды: сначала для Т♠ в качестве первой, основной карты, а затем так же для Правильный способ решить эту задачу – разбить ее на четыре задачи поменьше, в зависимости от того, сколько тузов будет в комбинации. Так, комбинаций именно с одним тузом будет (сначала выбираем туза, потом – остальные 4 карты другого достоинства). Затем отдельно же просчитываем комбинации с двумя, тремя и четырьмя тузами. В результате получаем

Но проще всего будет пойти от обратного. Сначала посчитаем количество комбинаций без туза (это легче легкого) – А количество комбинаций по крайней мере с одним тузом, таким образом, –

Я уже говорил чуть выше, что «цена» комбинаций в покере зависит от частоты их появлений: чем реже комбинация, тем она «ценнее». То есть если шансов собрать одну пару больше, чем сразу две, одна пара ценится куда меньше двух. Вот «стоимость» всех комбинаций, от меньшей к большей:

Пара

Две пары

Тройка

Стрит

Флеш

Фул-хаус

Каре (или «четверка»)

Стрит-флеш

На этот случай есть эффективная «запоминалка»: «Раз, два, три, стрит, флеш; два-три, четыре, стрит-флеш» (где «два-три» – это фул-хаус).

А теперь предположим, что в колоде появились джокеры. Всего карт у нас становится 54, причем джокеры (всего их два) могут «превращаться» в карту любой масти и любого достоинства – в зависимости от того, что вам нужно для наилучшей комбинации. То есть если у вас на руках и джокер, разумнее всего будет посчитать его тузом, чтобы получилась тузовая тройка. Можно «превратить» джокера и в короля, конечно, но тогда у вас будет две пары, что хуже, чем тройка[12].

Но здесь-то и начинается самое интересное. Следуя традиционному порядку карт, мы можем посчитать эту комбинацию и как тройку, и как две пары, а можем – только как тройку, исключив ее из числа двух пар. Последнее выглядит наиболее разумно, но ведь это значит, что общее количество комбинаций с тройками значительно увеличивается, а с двумя парами – уменьшается, что превращает последние в более редкие. Мы, конечно, можем сказать, что теперь две пары имеют бóльшую ценность, но проблему этим не решишь: она всего лишь «перевернется вверх ногами», ведь количество двух пар увеличится, а количество троек – уменьшится. Из этого всего следует странный на первый взгляд вывод, сделанный математиком Стивом Гэдбойсом в 1996 году: при игре в покер с джокерами невозможно ранжировать «ценность» комбинаций по частоте их появления.

Вот вам во всей его красе треугольник Паскаля:

Треугольники уже знакомы нам по главе 1, так что мы хорошо знаем, насколько интересные закономерности могут появляться из организованных таким образом чисел. Еще более интересные (и куда более красивые) закономерности получатся в треугольнике чисел о которых мы только что узнали. Такой треугольник называется Паскалевым – тот, который изображен чуть выше. У нас есть формула Давайте превратим все ее символы в числа и поищем закономерности (см. изображение треугольника чуть ниже). Большинство из них будут подробно описаны в этой главе, но, если объяснения вдруг покажутся вам скучными, можете смело их пропускать и просто наслаждайтесь стройной красотой самих закономерностей.

Верхний (или нулевой) ряд представлен одним-единственным значением – (не забывайте: 0! = 1). Каждый ряд начинается с единицы и ею же заканчиваются, потому что

Взгляните на пятый ряд:

Обратите внимание, что второе число в нем – 5, да и в принципе вторым числом ряда n будет n. Это все из-за за того, что количество способов выбрать один объект из множества n равно n. Также стоит обратить внимание, что каждый ряд

геометрически симметричен: чисел до центральной оси столько же, сколько и после нее. В том же самом 5 ряду мы видим

В целом же закономерность говорит о том, что

Отступление

У таких симметричных отношений есть два объяснения. Первое – алгебраическое – с помощью формулы

Но так ли уж сильно она нам тут нужна? Почему, например, Число обозначает количество вариантов выбора 3 сортов мороженого из десяти (в вазочке, не в рожке). Но ведь это то же самое, что считать варианты выбора тех 7 сортов, которые мы не купим.

Следующая закономерность, которую легко заметить, заключается в том, что во всех, кроме 1-го, рядах каждое число есть, по сути, сумма двух других – тех, которые находятся прямо над ним. Посмотрите, например, на 9 и 10 ряды треугольника. Потрясающе, правда? Называются эти отношения правилом Паскаля.

Почему так происходит? Когда мы смотрим на равенство 120 = 36 + 84, мы, по сути, видим

Чтобы в этом разобраться, давайте попробуем ответить на один вопрос. Если имеется 10 сортов мороженого, сколько вазочек можно собрать из 3 шариков разных сортов (порядок шариков при этом не важен)? С одной стороны, мы уже посчитали это количество как Но есть и другой способ. Допустим, один из предлагаемых нам сортов мороженого – ванильное. Сколько вазочек у нас получится без него? Ответ – потому что тогда мы будем выбирать свои 3 сорта из 9 оставшихся. А сколько вазочек получится с ним? Конечно же, ведь нам останется выбрать только 2 сорта из 9 оставшихся. Получается, что общее количество вазочек будет равно Какой из этих ответов верен? И в том и в другом случае мы следовали абсолютно верной логике, поэтому и в том и в другом случае мы дали абсолютно верный ответ и получили абсолютно одинаковые результаты. Та же логика (или та же алгебра, если хотите) приводит нас к идее, что для каждого значения k от 0 до n

А теперь давайте посмотрим, что будет, если мы сложим все числа каждого ряда Паскалева треугольника (см. ниже).

Закономерность предполагает, что сумма всегда будет представлять собой степень двойки. Алгебраически: сумма чисел ряда n будет равна 2ⁿ. Как так получается? Эту закономерность можно описать и по-другому: сумма чисел (числа) 1-го ряда равняется 1 и затем удваивается от ряда к ряду. Объяснением этому служит правило Паскаля, природу которого мы только что объяснили, а обоснованность – доказали. Например, когда мы складываем между собой числа 5-го ряда и трансформируем их в зависимости от их связи с 4-м рядом, получается

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

то есть буквально удвоенная сумма чисел 4-го ряда. То же продолжается и дальше, вниз от вершины треугольника и до бесконечности.

С точки зрения биноминальных коэффициентов правило утверждает, что сумма чисел ряда n выглядит так:

что несколько неожиданно, поскольку отдельные значения соответствуют факториалам и являются делимыми самых разных чисел. И все же общая сумма основана на 2 и простом множителе.

Еще один способ объяснить эту закономерность – подсчет, а именно – комбинаторное доказательство. Чтобы объяснить сумму чисел 5 ряда (который ничем принципиально не отличается от ряда n), давайте вернемся к прилавку с мороженым, где на этот раз осталось всего лишь 5 сортов. Сколькими способами мы можем заполнить нашу вазочку? Единственное ограничение – сорта не должны повторяться. Мы можем взять 0, 1, 2, 3, 4 или 5 разных сортов, а порядок шариков не важен. Сколько получится вазочек с 2 шариками? Как мы уже знаем, посчитать их можно как Всего же, в зависимости

от количества шариков в вазочке и руководствуясь правилом суммы, получаем

вариантов, что можно упростить до 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1. С другой стороны, мы можем ответить на тот же вопрос, использовав правило произведения. Вместо того чтобы торопиться подсчитывать, сколько всего шариков может оказаться в вазочке, мы можем взять каждый из предлагаемых сортов и решить, покупать его или нет. Например, у нас есть 2 варианта выбора для шоколадного мороженого (берем или нет), 2 – для ванильного (берем или нет) и т. д. для всех 5 сортов (имейте в виду, что, решив не брать ни один из сортов, мы останемся с пустой вазочкой, что условия нашей задачи вполне допускают). Значит, возможных комбинаций будет

2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵

А раз в обоих случаях мы шли верным путем,

чего и следовало ожидать.

Отступление

Тот же комбинаторный принцип доказывает, что, если посчитать сумму каждого второго числа в ряду n, у нас получится 2^n–1. В этом нет ничего удивительного, когда мы берем нечетные ряды, вроде пятого, где числа, которые мы складываем (1 + 10 + 5), совпадают с теми, которые мы пропускаем (5 + 10 + 1). Поэтому-то у нас и получается ровно половина от 2n. Но ведь это работает и в четных рядах. Например, в четвертом: 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 2³. Обобщая, мы можем утверждать, что в любом ряду n ≥ 1

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2^n–1.

Если представить треугольник Паскаля как прямоугольный, можно увидеть еще больше закономерностей. Первый (или 0) столбец состоит из одних единиц, второй (или 1) – из положительных целых 1, 2, 3, 4 и так далее. Третий (или 2) столбец, начинающийся с 1, 3, 6, 10, 15… тоже нам хорошо знаком, ведь это треугольные числа, с которыми мы уже сталкивались в главе 1. Они также могут быть представлены как

Значит, столбик k будет состоять из чисел и т. д.

А теперь смотрите, что произойдет, когда мы сложим между собой несколько первых чисел любого столбца. Возьмем, например, первые 5 чисел 3 столбца (см. ниже). Получаем 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 – число, которое видим справа по диагонали от 15. Другими словами,

Называется эта закономерность правилом хоккейной клюшки, ведь форма обводки складываемых чисел, входящих в Паскалев треугольник, вместе с их суммой напоминает именно этот спортивный снаряд. Чтобы понять, на чем эта закономерность основана, представим себе хоккейную команду из семи игроков. У каждого на свитере порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько можно составить троек для проведения тренировки?

Поскольку порядок не важен, у нас получится А теперь давайте попробуем найти ответ на эту задачу, разбив ее на несколько поменьше. Во сколько троек будет входить игрок под номером 7? Иными словами, в каком количестве тренировок будет мелькать свитер с самым большим номером? Так как одно место в тройке занято семеркой, на остальные два места у нас остается вариантов. Идем дальше. Сколько тренировок посетит хоккеист с цифрой 6 на свитере? Включаем в свою задачу 6, исключаем из нее 7 и получаем вариантов для двух «вакансий». Точно так же нужно будет посчитать вариантов для номера 5,  – для номера 4 и  – для номера 3. Так как самыми большими числами могут быть 3, 4, 5, 6 или 7, мы просчитали все возможные варианты, поэтому тройка может быть сформирована способами – и это то же число, что было обозначено в левой части предыдущего уравнения. Обобщая, можно сказать, что

Давайте используем эту формулу для решения важной задачи, которая, без сомнения, заботит ваш ум каждый год во время новогодних каникул. Возьмем за основу популярную английскую народную песенку «Двенадцать дней Рождества»[13]: в первый день ваша настоящая любовь подарила вам 1 подарок (куропатку). На второй день – 3 подарка (куропатку и 2 горлиц). На третий – целых 6 (куропатку, 2 горлиц и 3 курочек). И так далее. Вопрос: сколько подарков у вас будет через 12 дней?

На n-ный день вы будете счастливым обладателем

подарков (получилось это из нашей суперполезной формулы для треугольных чисел или из правила клюшки при k = 1). Так вот, первый день – подарок, второй день – подарка и т. д., вплоть до 12-го дня, в который вы получите подарков. А правило хоккейной клюшки приводит нас к общему их количеству:

То есть если открывать по подарку каждый день – вам хватит их почти до конца года (ну, один можно пропустить в день рождения)!

Давайте теперь cпоем песенку, чтобы отпраздновать свой успех. Называется она «N-ный день Рождества».

В n-ный день Рождества послала мне любовь моя верная

n удивительных лакомств

n – 1 с одним вкусом,

n – 2 с другим; и остальных вкусностей

…

5 (плюс 10) всяких вкусностей!

А через n дней,

Усевшись считать подарки,

Сколько же я насчитал(а)?

Ровно

А вот одна из самых странных закономерностей Паскалева треугольника. На рисунке ниже отмечены все нечетные числа. Присмотритесь к ним и увидите в большом треугольнике несколько маленьких.

А теперь давайте сделаем вот что: сначала продлим большой треугольник до 16 рядов, а затем заменим все нечетные числа единицами, а все четные – нолями. Обратите внимание, что под каждой парой нолей, равно как и под каждой парой единиц, стоит ноль. Причина этого – в том, что при сложении 2 четных или 2 нечетных чисел сумма будет выражена четным числом.

Не будем на этом останавливаться: посмотрим на еще больший треугольник – из 256 рядов, – в котором все нечетные числа заменены черными квадратиками, а все четные – белыми.

По сути своей данная фигура – это фрактал, или рекурсивное изображение, известное так же как треугольник Серпинского, – один из огромного количества сокровищ, скрытых в глубинах Паскалева клада. А вот еще один. Сколько всего нечетных чисел в каждом ряду треугольника Паскаля? Смотрим на ряды с 1 по 8 (без нулевого) и считаем: 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2 и т. д. Вроде бы никакой закономерности. Кроме того, что у нас всегда получается число, являющееся степенью 2. Это и есть та самая, нужная нам закономерность. Обратите внимание, что ряды, количество нечетных чисел в которых равно именно 2, – это 1, 2, 4 и 8-й. То есть обозначены они числами, которые сами являются степенью 2. Для более общего вывода нам нужно вспомнить, что любое целое число, которое больше 0 или равно ему, можно получить от сложения степеней числа 2. Смотрите сами:

В рядах 1, 2, 4 и 8 (порядковые номера которых суть степени 2) у нас по 2 нечетных числа. В рядах 3, 5 и 6 (порядковые номера которых суть сумма двух степеней 2) у нас по 4 нечетных числа. В ряду же 7 (порядковый номер которого есть сумма трех степеней 2) – 8 нечетных чисел. Отсюда следует удивительное по своей красоте правило. Если n есть сумма p различных степеней числа 2, количество нечетных чисел в ряду n равняется 2^p. Сколько, например, нечетных чисел будет в 83-м ряду? Так как 83 = 64 + 16 + 2 + 1 (то есть сумма четырех степеней 2), наш ответ будет 2⁴ = 16!

Отступление

Не будем на этом подробно останавливаться, но, если вам интересно, будет нечетным числом всякий раз, когда

k = 64a + 16b + 2c + d

при a, b, c и d равных нолю или единице. Говоря точнее, k будет равно одному из этих чисел:

0, 1, 2, 3, 16, 17, 18, 19, 64, 65, 66, 69, 80, 81, 82, 83

И под самый конец главы – еще одна закономерность. Мы уже видели, что происходит, если сложить числа в рядах (степень 2) и столбцах («хоккейная клюшка») Паскалева треугольника. А что будет, если сложить их по диагонали?

Смотрите, какие суммы выходят:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

Не буду томить вас. Это числа знаменитой последовательности Фибоначчи, которая окажется в центре нашего внимания в следующей главе.

Лицезрите во всей красе одну из самых таинственных числовых последовательностей – последовательность Фибоначчи!

В ее начале находятся два одинаковых числа – 1 и 1. Третье число – это 1 + 1 (сумма двух предыдущих чисел), то есть 2. Четвертое – 1 + 2 = 3, пятое – 2 + 3 = 5 и т. д. и т. п. Очень похоже на чехарду: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21… Впервые эти числа в таком виде появились в книге 1202 года Liber Abaci («Книга абака», в буквальном переводе с латинского – «Книга вычислений») за авторством Леонардо Пизанского, впоследствии прозванного Фибоначчи. Значение этого труда для европейской цивилизации переоценить невозможно: он впервые знакомил западного читателя с индо-арабскими цифрами и ставшими уже привычными для нас арифметическими методами.

Одна из самых известных включенных в него задач – задача о бессмертных кроликах. Допустим, крольчонку требуется месяц, чтобы повзрослеть. От каждой пары кроликов каждый месяц рождается еще пара – и так до бесконечности, поскольку наши кролики бессмертны. Вопрос: если начать с одной пары, сколько у нас будет пар кроликов 12 месяцев спустя?

Иллюстрировать задачу можно либо картинкой, либо таблицей. Маленькой буквой r отметим пары малюток-крольчат, большой R – пары взрослых кроликов. От месяца к месяцу каждая маленькая r становится большой R, а каждая большая R заменяется R и r (это означает, что крольчата вырастают, а затем от них рождается пара новых крольчат).

Всю эту ситуацию мы можем представить в виде таблицы. Здесь хорошо видно, что в первые 6 месяцев число пар кроликов равняется соответственно 1, 1, 2, 3, 5 и 8.

Давайте попробуем доказать, что на седьмой месяц у нас будет уже 13 пар, ничего при этом не рисуя и не фиксируя на листочке. Сколько к этому моменту будет пар взрослых кроликов? Так как каждая пара из тех, что получились у нас к шестому месяцу, к седьмому успела повзрослеть, получаем 8 пар.

А сколько будет пар крольчат? Их число будет равняться числу пар взрослых кроликов шестого месяца (то есть 5) или общему количеству пар пятого месяца (и такое совпадение совсем не случайно). Следовательно, на седьмой месяц у нас будет 8 + 5 = 13 пар.

Если мы назовем первые два числа последовательности Фибоначчи F₁ = 1 и F₂ = 1, а потом определим каждое следующее число как сумму предшествующих ему двух, то, при n ≥ 3 получим

F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}

И тогда F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5, F₆ = 8 и т. д. по таблице:

Следовательно, ответом на задачу Фибоначчи о бессмертных кроликах будет F₁₃ = 233 пар, из которых F₁₂ = 144 будут взрослыми, а F₁₁ = 89 – крольчатами.

Эта последовательность пригодна не только для подсчета численности популяций животных. Числа Фибоначчи встречаются даже в самой природе, и на удивление часто: это и лепестки цветка, и спирали подсолнуха, ананаса или сосновой шишки. Меня в последовательности Фибоначчи больше всего восхищают обнаруживающиеся в ней замечательные числовые закономерности.

Давайте для начала сложим несколько первых из этих чисел:

Числа справа к последовательности не относятся, но находятся совсем рядом с ней – буквально в одном шаге. Давайте разберемся, что тут происходит. Возьмем последнее из этих уравнений и посмотрим, что произойдет, если заменить каждое из чисел Фибоначчи на разность двух следующих после него. То есть

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = (2 – 1) + (3 – 2) + (5 – 3) + (8 – 5) + (13 – 8) + (21 – 13) + (34 – 21) = 34 – 1

Обратите внимание, как двойка из (2 – 1) перекрывается двойкой из (3 – 2), а тройка из (3 – 2) перекрывается тройкой из (5 – 3). Собственно говоря, перекрываются здесь практически все числа, за исключением самого большого 34 и начального –1. Означает это, что сумма первых n чисел последовательности Фибоначчи вычисляется по формуле

F₁ + F₂ + F₃ +… + F_n = F_n+2 – 1

А вот еще один вопрос, напрямую связанный с первым и имеющий не менее элегантный ответ. Что мы получим, если захотим сложить между собой первые n чисел, занимающих четные позиции в последовательности? Другими словами, получится ли у нас упростить сумму

F₂ + F₄ + F₆ +… + F_2n

Давайте сначала посмотрим на некоторые из них:

Погодите-ка. Вроде бы что-то знакомое. Мы же уже видели эти числа, когда считали прошлую сумму. Они на единицу меньше чисел Фибоначчи. По сути, каждое из них может быть трансформировано подобным образом на том основании, что каждое из чисел Фибоначчи – сумма двух предыдущих. Именно этой суммой мы можем заменить каждое число, занимающее четную позицию в последовательности, вот так:

Последняя строчка получается благодаря тому, что сумма первых 7 чисел последовательности лишь на единицу меньше девятого.

В целом, если мы будем исходить из того, что F₂ = F₁ = 1, и заменять каждое последующее число суммой двух предыдущих, мы увидим, что нужную нам сумму можно легко свести к сумме первых 2n – 1 чисел последовательности.

А теперь давайте посчитаем сумму первых n чисел, занимающих нечетные позиции.

Здесь все еще проще, как ни странно. Сумма n чисел, занимающих нечетные позиции в последовательности, – это просто следующее число Фибоначчи. Представить это можно следующим образом:

Отступление

К ответу можно прийти и другим способом – с помощью того, о чем мы только что говорили. Если мы вычтем первые n чисел, стоящих в последовательности на четных позициях, из первых 2n чисел, получатся первые n чисел, находящиеся на нечетных позициях:

F1 + F3 + F5 +… + F2n–1= (F1 + F2 + … + F2n – 1) – (F2 + F4 +… + F2n – 2)= (F2n + 1 – 1) – (F2n – 1 – 1)= F2n

Мы заглянули лишь в замочную скважину той двери, за которой раскинулся сад самых настоящих чудес. Только растут в нем не деревья, а числовые закономерности, уходящие корнями в последовательность Фибоначчи. И вам, наверняка, не терпится узнать, для чего еще, кроме подсчета поголовья кроликов, нужны эти числа. На самом деле – много для чего. В 1150 году (задолго до того, как Леонардо Пизанский представил миру задачку про кроликов) индийский поэт Хемачандра задался очень интересным вопросом: сколькими способами можно сложить стихотворную стопу из n безударных или ударных слогов. Давайте сперва переведем эту проблему из плоскости поэзии в плоскость математики.

Вопрос: Сколькими способами можно записать число n как сумму единиц и двоек?

Ответ: Обозначим результат как f_n. Вот что будем иметь при стартовых значениях n:

У нас есть один вариант, дающий в сумме 1, два варианта, дающих 2 (1 + 1 и 2), и три варианта, дающих 3 (1 + 1 + 1, 1 + 2 и 2 + 1). Повторимся: для получения нужной нам суммы доступны только единицы и двойки. При этом порядок этих цифр имеет значение: 1 + 2 и 2 + 1 суть две разные комбинации. Получить 4 можно уже пятью разными вариантами: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2. По всему выходит, что числа в правой части нашей таблицы – это числа из последовательности Фибоначчи, и так оно есть на деле.

Давайте попробуем понять, почему вдруг 5 можно получить f5 = 8 различными способами. Начинаться сложение может с 1 или 2. Сколько вариантов будет начинаться именно с 1? За первой цифрой должна следовать некая комбинация 1 и 2, которая в сумме даст 4, а по предыдущей строке мы знаем, что таких комбинаций у нас f₄ = 5. Теперь так же посчитаем, сколько вариантов будет начинаться с 2. В этом случае комбинация после первой цифры должна давать нам 3. Смотрим чуть выше по таблице и видим, что f₃ = 3. Значит, общее количество комбинаций 1 и 2, дающих в сумме 5, должно быть 5 + 3 = 8. Тот же алгоритм приведет нас к тому, что для 6 таких комбинаций будет 13: f₅ = 8, начинающихся с 1, плюс f₄ = 5, начинающихся с 2. В целом же, для суммы n их число равно f_n, из которых f_n–1 имеют в начале 1, а f_n–2 – 2. Следовательно,

fn = fn – 1 + fn – 2

Причем все значения f_n дублируют числа последовательности Фибоначчи и будут и дальше их дублировать с увеличением значения n. Причина в том, что это и есть последовательность Фибоначчи, только в несколько измененном виде – с небольшим смещением. Обратите внимание, что f₁ = 1 = F₂, f₂ = 2 = F₃, f₃ = 3 = F₄ и т. д. (для удобства договоримся, что f₀ = F₁ = 1, а f_–1 = F₀ = 0). Обобщая, мы можем утверждать, что при n ≥ 1

f_n = F_n+1

А так как мы с вами уже знаем, что означают числа последовательности, мы с их помощью можем доказать состоятельность многих и многих других удивительных закономерностей. Возьмем, к примеру, ту из них, о которой мы говорили в конце главы 4, когда просчитывали диагонали Паскалева треугольника:

Так, восьмая диагональ дает нам

1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 = F₉

С точки зрения «подсчета комбинаций» это значит, что

Чтобы понять суть этой закономерности, попробуем ответить на один вопрос двумя различными способами.

Вопрос: Сколько существует возможных комбинаций единиц и двоек, дающих в сумме 8?

Ответ номер один: Судя по тому, о чем мы говорили чуть выше, – f₈ = F₉.

Ответ номер два: Представим себе эту проблему как 5 частных задач, в основе каждой из которых лежит количество двоек в комбинации. Сколько комбинаций обойдется вообще без двоек? Разумеется, только одна – 11111111. И поэтому совсем не случайно, что

С одной двойкой? Уже семь: 2111111, 1211111, 1121111, 1112111, 1111211, 1111121, 1111112. Каждая из них состоит из семи цифр, и, смещая двойку шаг за шагом, получаем

С двумя двойками (скажем, 221111)? Не будем перечислять их все, просто отметим, что любая из них будет состоять из двух двоек и четырех единиц, то есть всего из шести цифр, что дает нам возможных местоположений двоек. По той же логике комбинации с тремя двойками будут включать в себя две единицы и состоять из 5 цифр, а общее их количество будет равняться И наконец, из четырех двоек у нас получится всего одна комбинация (а именно 2222), потому что

Оба ответа отлично проясняют всю ситуацию. И заодно объясняют, почему сумма чисел n-ной диагонали треугольника Паскаля равна одному из чисел последовательности Фибоначчи. То есть при n ≥ 0 сложение чисел диагонали n (вплоть до того момента, пока через n/2 шагов мы не выйдем за границы треугольника) дает нам

К тому же можно прийти, представив последовательность Фибоначчи в виде плиток черепицы. Тогда f₄ = 5 означает 5 способов выложить один ряд (условно состоящий из 4 квадратов) одинарными (в виде квадратов) и двойными (в виде прямоугольников) плитками. То есть 1 + 1 + 2 будет выглядеть как «квадрат – квадрат – прямоугольник».

Такую визуализацию можно использовать, чтобы понять другие закономерности, основанные на числах Фибоначчи. Давайте посмотрим, что произойдет, если возвести числа Фибоначчи в квадрат.

В том, что, сложив два соседних числа последовательности Фибоначчи, мы получим следующее за ними, ничего нового для нас нет (в конце концов, именно так и появилась эта последовательность). А теперь посмотрите на числа Фибоначчи, возведенные в квадрат и сложенные между собой:

Попробуем объяснить эту закономерность с точки зрения счета. Последнее уравнение утверждает, что

f42 + f52 = f10

Почему? Ответим на простой вопрос.

Вопрос: Сколькими способами можно выложить из квадратов и прямоугольников ряд длиной в 10 квадратов?

Ответ 1: Естественно, f₁₀. Вот один из вариантов – визуализация суммы 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1.

То есть разрывы между плитками у нас будут после 2, 3, 4, 6, 7, 9 и 10 квадратов (попросту – везде, кроме центральной оси прямоугольников, в нашем примере – это после 1, 5 и 8 квадратов).

Ответ 2: Решим две задачи: сначала посчитаем варианты кладки, в которых будет разрыв после 5 квадрата (то есть ряд можно разделить пополам), потом те, где разрыва в этом месте не будет (и ряд будет разделяться на две неравные части). Начнем с первого. Левую часть можно выложить f₅ = 8 способами. Обе части равны, значит, и правую можно выложить f₅ = 8 способами. Согласно закону произведения (см. главу 4), мы можем представить общую сумму способов как f₅² = 8², как показано ниже:

Теперь посчитаем те варианты, в которых разрыва в центре нет, зато мы точно знаем, что 5 и 6 квадраты закрыты прямоугольником (как нарисовано ниже). В таком случае части ряда как слева, так и справа от центрального прямоугольника можно выложить f₄ = 5 способами, значит, всего получается f₄² = 5². Сводим вместе оба варианта и получаем, что f₁₀ = f₅² + f₄², что и требовалось.

На уровне обобщений же трюк с разделением панелей длиной 2n квадратов на два типа в зависимости от того, есть ли у них по центру разрыв или нет, приводит нас к очень красивой закономерности –

f_2n = f_n2 + f²_n–1Отступление

Возьмем только что рассмотренную закономерность и попробуем использовать ее в похожих примерах. Скажем, сколько будет способов выложить плиткой ряд протяженностью m + n? Сначала – те варианты кладки, в которых будет разрыв после квадрата m. Левую часть можно выложить f_m способами, правую – f_n способами, то есть всего их f_m f_n. Теперь – варианты кладки без разрыва после квадрата m. Прямоугольник тогда покрывает квадраты m и m + 1, остальные же можно выложить f_m–1 f_n–1 способами. В итоге у нас получается весьма полезная формула при m, n ≥ 0.

f_{m + n} = f_mf_n + f_{m – 1}f_{n – 1}

А теперь рассмотрим другой пример. Что получится, если суммировать квадраты всех чисел Фибоначчи?

Ух ты! Здо́рово, правда? Сумма квадратов есть произведение двух последних чисел! Но зачем прибавлять сумму квадратов 1, 1, 2, 3, 5 и 8 к произведению 8 × 13? Лучший способ визуализировать это – взять шесть квадратов со сторонами 1, 1, 2, 3, 5 и 8 и расположить их так, как показано на схеме.

Берем один квадрат 1 на 1. Рядом с ним помещаем второй такой же. Получается прямоугольник 1 на 2. Под ним располагаем квадрат 2 на 2, и наш прямоугольник вырастает до 3 на 2. К его более длинной грани прибавляем квадрат 3 на 3 (получается прямоугольник 3 на 5); квадрат 5 на 5 отправляется вниз (получая прямоугольник 8 на 5), и, наконец, чертим самый большой квадрат, 8 на 8, тем самым заканчивая и прямоугольник 8 на 13. А теперь – простой вопрос.

Вопрос: Какова площадь большого прямоугольника?

Ответ 1: С одной стороны, это будет сумма площадей всех входящих в него квадратов, то есть 1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8².

Ответ 2: С другой стороны, высота большого прямоугольника равняется 8, длина же – 5 + 8 = 13, а значит, площадь – 8 × 13.

Так как оба эти ответа логически верны, они должны приводить нас к одному и тому же результату, который объяснит наше тождество. По большому счету, то, как мы строили этот прямоугольник, уже его объясняет – вместе со всеми отношениями между входящими в нее числами (я имею в виду 1² + 1² + 2² + 3² + 5² = 5 × 8). И если следовать этой логике и дальше, мы расширим наш прямоугольник сначала до 13 × 21, потом до 21 × 34 и т. д. до бесконечности. Общая формула выглядит так:

1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8² +… + F_n² = F_nF_n+1

Посмотрим, что произойдет при перемножении двух соседних чисел последовательности Фибоначчи. «Соседями» 5, например, являются 3 и 8. Их произведение равно 3 × 8 = 24, что лишь на единицу меньше 5². «Соседи» 8 – 5 и 13, которые при умножении друг на друга дают 65 – число, которое на единицу больше 82. Таблица, показанная ниже, подтверждает эту закономерность: в последовательности Фибоначчи произведение двух соседних с искомым чисел будет всегда отличаться на 1 от квадрата этого искомого. Другими словами,

С помощью метода доказательства (называемого также индукцией), о котором мы подробно поговорим в следующей главе, приходим к тому, что при n ≥ 1

F_n² – F_n–1 F_n+1 = (–1)ⁿ⁺¹

А почему бы нам не пойти дальше, к дальним соседям? Возьмем число F₅ = 5. Мы уже знаем, что его ближайшие «соседи» дают 3 × 8 = 24, что в шаге от 5². Но то же произойдет, если мы сделаем еще шаг влево и вправо по последовательности: 2 × 13 = 26, что так же в шаге от 5². А что насчет более отдаленных – на три, четыре шага – «соседей»? На пять, наконец? Получим 1 × 21 = 21, 1 × 34 = 34 и 0 × 55 = 0 соответственно. Насколько далеки эти результаты от 25? На 4, на 9 и на 25. Но это же квадраты натуральных чисел! Причем не всяких, а тех, что входят в последовательность Фибоначчи! Еще больше свидетельств этой закономерности – в таблице ниже, общая же формула выглядит так:

Говоря о треугольнике Паскаля, мы видели, насколько красивые в своей сложности закономерности демонстрируют его четные и нечетные числа. С последовательностью Фибоначчи все проще. Посмотрите на нее еще раз. Какие из этих чисел четные?

F₃ = 2, F₆ = 8, F₉ = 34, F₁₂ = 144 и т. д. (в этом разделе мы снова переключимся на заглавную F, чтобы подчеркнуть красоту и значительность описанных здесь закономерностей). Позиции четных чисел – 3, 6, 9 и 12. Похоже, что интервал между ними всегда равен 3. Доказать это очень легко, достаточно просто проследить закономерность с самого начала последовательности:

И дальше такой порядок повторяется вновь и вновь:

Происходит это потому, что после каждого блока «нечетное, нечетное, четное» следующий цикл сложения выглядит как «нечетное + четное = нечетное», потом «четное + нечетное = нечетное» и, наконец, «нечетное + нечетное = четное», так что закономерность бесконечно повторяется.

Говоря языком соотносимости, выученным нами в главе 3, каждое четное число соотносится с 0 (по модулю 2), а каждое нечетное – с 1 (также по модулю 2), а 1 + 1 ≡ 0 (mod 2). Вот как выглядит последовательность Фибоначчи в двоичной системе (или по модулю 2 – выбирайте любой термин):

А что насчет чисел, кратных 3? Первые из них – F₄ = 3, F₈ = 21, F₁₂ = 144, что волей-неволей наталкивает нас на мысль, что кратные 3 числа занимают в последовательности каждое четвертое место. Чтобы эту догадку подтвердить, заменим все числа Фибоначчи на 0, 1 или 2 и будем считать по модулю 3, где

В троичной системе последовательность выглядит как

После каждого восьмого числа мы замыкаем круг и начинаем опять с двух следующих друг за другом единиц, то есть в этом случае цикл состоит из 8 чисел, четвертое и восьмое из которых – 0. Так и получается, что каждое четвертое место последовательности Фибоначчи занято числом, кратным 3. Считая по модулю 5, 8 или 13, обнаруживаем, что

Каждое пятое число последовательности кратно 5Каждое шестое число последовательности кратно 8Каждое седьмое число последовательности кратно 13

и закономерность продолжается.

А что насчет чисел, следующих друг за другом? Есть ли между ними что-то общее? Что интересно – в каком-то смысле ничего общего между ними нет. И мы можем это продемонстрировать. Пары чисел, находящихся рядом в последовательности

(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13), (13, 21), (21, 34)…

называются взаимно простыми, что означает, что нет числа, большего чем 1, на которое они оба делятся. Если мы возьмем для примера последнюю из перечисленных выше пар, мы увидим, что 21 делится на 1, 3, 7 и 21, а 34 – на 1, 2, 17 и 34. То есть у 21 и 34 только один общий делитель – 1. Как убедиться, что эта закономерность повторяется? Откуда нам знать, что числа следующей пары (34, 55) – непременно взаимно простые? Для этого необязательно искать все делители для 55. Пойдем от обратного: предположим, что есть некое число d > 1, на которое и 34, и 55 делятся без остатка. Но тогда на него должна делиться без остатка и их разность: 55 – 34 = 21 (если два числа кратны третьему, их разность тоже будет ему кратна), что невозможно: ведь мы уже знаем, что нет такого d > 1, на которое можно было бы разделить и 21, и 34. Раз за разом применяя это доказательство, мы придем к выводу, что все числа последовательности Фибоначчи, образующие пары по принципу ближайшего соседства, являются взаимно простыми.

А теперь – мой самый любимый факт о числах Фибоначчи. Он касается наибольшего общего делителя (НОД). Наибольший общий делитель двух чисел есть наибольшее число, на которое делятся оба эти числа. Например, для 20 и 90 НОД равен 10. Обозначается это как

НОД(20, 90) = 10

Как вы думаете, каким будет наибольший общий делитель двадцатого и девяностого чисел последовательности Фибоначчи? Ответ звучит как поэзия: 55 – десятое число последовательности Фибоначчи! А вот уравнение:

НОД(F₂₀, F₉₀) = F₁₀

Или в общем виде, для значений m и n:

НОД(F_m, F_n) = F_{НОД(m; n)}

Другими словами, «НОД значений F есть значение F НОДа»! Подробно останавливаться на этом мы здесь не будем, но и пройти мимо я не мог.

Иногда закономерность может оказаться обманчивой. Какие, например, из чисел Фибоначчи являются простыми? (Простые – это числа больше 1, которые при этом делятся без остатка только на 1 и на самих себя, мы поговорим о них подробнее в следующей главе.) Числа больше единицы, не являющиеся простыми, называются составными, потому что их можно разложить на неделимые простые составляющие. Вот несколько первых простых чисел последовательности Фибоначчи:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

А теперь взгляните на числа, стоящие на «простых» позициях:

F₂ = 1, F₃ = 2, F₅ = 5, F₇ = 13, F₁₁ = 89, F₁₃ = 233, F₁₇ = 1597

Числа 2, 5, 13, 89, 233 и 1597 – простые. Закономерность вроде бы говорит нам о том, что, если значение p > 2 является простым, простым будет и F_p. Однако следующий же элемент последовательности эту закономерность нарушает: F₁₉ = 4181 – уже составное число, потому что 4181 = 37 × 113. Но верно и то, что каждое простое число больше 3 стоит в последовательности Фибоначчи на «простой» позиции. Это следует из одной из уже рассмотренных закономерностей. F₁₄ должно быть составным, поскольку каждое седьмое число последовательности кратно F₇ = 13 (и правда: F₁₄ = 377 = 13 × 29).

На самом деле простые числа Фибоначчи встречаются редко – пока что официально подтверждено лишь 33, наибольшее из них занимает F₈₁₈₃₉ позицию. И это притом, что вопрос, является ли количество простых чисел в последовательности бесконечным, еще не решен.

Но отвлечемся немного от серьезных научных изысканий и займемся небольшим, но забавным фокусом, основанным на магии чисел Фибоначчи.

В 1 и 2 рядах таблицы напишите два любых числа от 1 до 10. Сложите их, а сумму запишите в 3 ряду. Затем сложите числа из 2 и 3 рядов. Результат запишите в 4 ряд. Продолжайте так делать (ряд 3 + ряд 4 = ряд 5 и т. п.), пока не дойдете до конца таблицы. У вас получится свой вариант последовательности Фибоначчи. А теперь разделите число из 10 ряда на число из 9 ряда. Из результата вам нужны первые три цифры, включая те, которые идут после запятой. В нашем примере из них оставляем 1,61. Хотите – верьте, хотите – нет, но, с каких бы двух положительных (необязательно целых и даже необязательно из промежутка от 1 до 10) чисел в 1 и 2 рядах вы ни начали, частным при делении числа 10 ряда на число 9 ряда всегда будет 1,61. Попробуйте сами разок-другой и легко в этом убедитесь.

Чтобы разобраться в природе этого фокуса, обозначим первые два числа литерами x и y. Тогда, следуя методу Фибоначчи, получаем x + y в 3 ряду, y + (x + y) = x + 2y в 4-м и т. д. по таблице:

Требуется найти частное чисел 10 и 9 рядов:

Почему же результат всегда будет начинаться с 1,61? Вы удивитесь, но в основе этого лежит неправильное сложение дробей. Допустим, у нас есть две дроби: a/b и c/d, причем знаменатели b и d – положительные величины. Что будет, если сложить между собой сначала числители, а потом знаменатели? А будет то, что получившееся в результате число, называемое медиантой, всегда будет где-то между двух исходных дробей. То есть при любых дробях a/b < c/d, знаменатели которых суть положительные величины, имеем

Начиная, например, с дробей 1/3 и 1/2, для которых медианта будет 2/5, она расположена в интервале 1/3 < 2/5 < 1/2.

Отступление

Почему медианта всегда будет располагаться примерно между изначальными числами? Если мы начинаем с дробей где b и d – положительные величины, ad будет меньше bc. Прибавив к обеим сторонам ab, получим ab + ad < ab + bc или a(b + d) < (a + c)b, что значит, что Таким же образом приходим к

Обратите внимание, что при x, y > 0

Следовательно, медианта этих двух дробей должна находиться между ними. Другими словами,

Вот почему частное чисел из 10 и 9 рядов должно начинаться с 1,61, как мы уже до этого и посчитали.

Отступление

Прежде чем открыть секрет числа 1,61, можете поразить свою аудиторию, постоянно добавляя числа к своей таблице. Так, в нашем примере, где мы начали с 3 и 7, достаточно беглого взгляда, чтобы узнать результат – 781. Как? С помощью алгебры. Если сложить значения из 2 таблицы, мы получим сумму, равную 55x + 88y. И что? А то, что вместо этого можно написать 11(5x + 8y) = 11 × ряд 7. Поэтому, взяв число из 7 ряда (в нашем примере это 71) и умножив его на 11 (здесь можно использовать фокус с умножением на 11 из главы 1), получим 781.

В чем важность числа 1,61? Если не останавливаться на 10 ряду и продолжать расширять таблицу, вы легко обнаружите, что частное двух соседних чисел будет от ряда к ряду все больше приближаться к значению, которое называют «золотым сечением» –

Кроме g, для обозначения этого числа математики часто используют греческую букву φ, которая произносится как «фи» (да-да, «Фи-боначчи»).

Отступление

Алгебра покажет нам, на самом ли деле частное двух соседних чисел последовательности Фибоначчи приближается к g. Предположим, что частное F_n+1/F_n приближается к значению r при увеличении n. Но ведь о числах Фибоначчи мы знаем, что F_n+1 = F_n + F_n–1, поэтому

При увеличении значения n левая сторона приближается к r, а правая – к Значит,

Умножив обе стороны этого уравнения на r, получим

r² = r + 1

Другими словами, r² – r – 1 = 0, а согласно формуле корней квадратного уравнения здесь имеется только один положительный ответ:

Существует еще одна будоражащая воображение формула для n-ного числа последовательности Фибоначчи, которая использует золотое сечение. Это формула Бине, которая говорит, что

Глядя на нее, я не перестаю удивляться: как такое возможно, что вся эта формула, построенная вокруг √5, приводит к целым величинам?!

Мы можем ее немного упростить, потому что значение

находится между –1 и 0, и чем больше мы увеличиваем степень, тем больше оно приближается к 0. По большому счету, можно утверждать, что для любого n ≥ 0, F_n вычисляется через gⁿ/√5 с последующим округлением до ближайшего целого. Можете взять калькулятор и проверить. Если взять g = 1,618, то, возведя 1,618 в десятую степень, получим 122,966… (что подозрительно близко к 123). А разделив этот результат на √5 ≈ 2,236, придем к 54,992. Округление даст F₁₀ = 55 – известный нам результат. Из g²⁰ получается 15 126,99993, которое после деления на √5 превращается в 6765,00003, то есть F₂₀ = 6765. А калькулятор легко проведет нас от g¹⁰⁰/√5 к F₁₀₀ ≈ 3,54 × 10²⁰.

Все эти вычисления показывают, что g¹⁰ и g²⁰ настолько близки к целым числам, что практически ими являются. Что именно здесь происходит? Посмотрите на последовательность Люка́

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521…

названную в честь французского математика Эдуарда Люка (1842–1891) – первооткрывателя многих удивительных свойств этих чисел, а заодно и чисел Фибоначчи, включая формулу с наибольшим общим делителем, о которой мы не так давно говорили. Кстати, именно Люка впервые назвал набор чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8… последовательностью Фибоначчи. Последовательность же Люка соответствует его собственной (несколько упрощенной) версии формулы Бине –

Другими словами, при n ≥ 1 L_n есть целая ближайшая к g_n величина (что согласуется с тем, что мы уже видели: g¹⁰ ≈ 123 = L₁₀). А вот как связаны между собой последовательности Фибоначчи и Люка:

Не заметить здесь закономерность почти невозможно. Например, сложение «соседей» числа Фибоначчи дает соответствующее ему по позиции число последовательности Люка:

F_n–1 + F_n+1 = L_n

А если мы сложим «соседей» числа из последовательности Люка, получим результат, который будет ровно в 5 раз больше соответствующего ему по позиции числа Фибоначчи:

L_n–1 + L_n–1 = 5F_n

Если перемножить между собой соответствующие друг другу числа двух последовательностей, мы получим еще одно число последовательности Фибоначчи!

F_n L_n = F_2nОтступление

Последнее может быть доказано с помощью алгебры и формул Бине (а именно (x – y)(x + y) = x² – y²). Исходя из h = (1 – √5)/2, представим формулы Бине для чисел Фибоначчи и Люка в виде

И когда мы их перемножаем, получается

Откуда пришло название «золотое сечение»? Из золотого прямоугольника, в котором соотношение длинной и короткой сторон составляет g = 1,61803…

Если обозначить короткую сторону единицей и убрать из прямоугольника квадрат со сторонами 1 на 1, у нас останется еще один прямоугольник со сторонами 1 и (g – 1), соотношение которых составит

То есть пропорции маленького прямоугольника будут такими же, как и большого. Кстати, g – единственное в своем роде число со столь уникальными свойствами, потому что уравнение подразумевает, что g² – g – 1 = 0. А формула корней квадратного уравнения приводит нас только к одному положительному числу, удовлетворяющему этому условию, и число это – (1 + √5)/2 = g.

Благодаря этому своему свойству золотой прямоугольник считается эстетически образцовым, а потому часто используется в разных областях искусства, будь то живопись, фотография или архитектура. Например, Лука Пачоли[14] – друг и соратник Леонардо да Винчи называл его «божественной пропорцией».

Золотое сечение лежит в основе стольких удивительных математических явлений, что подчас очень сложно удержаться от соблазна увидеть его даже там, где его нет и никогда не было. Например, в романе «Код да Винчи» Дэн Браун пишет, будто число 1,618 встречается везде и всегда, и подтверждение тому – строение человеческого тела, Браун утверждает, что отношение нашего роста к высоте, на которой расположен пупок, – 1,618. Я не проводил измерений, но в статье Джорджа Марковски «Выдумки о золотом сечении», опубликованной в журнале College Mathematics Journal, говорится, что это не соответствует реальности. Тем не менее каждый раз, когда где-то встречается число, хоть сколько-то близкое к 1,6, кто-нибудь вспоминает о золотом сечении.

Я уже не раз говорил, что многие числовые закономерности, в которых присутствуют числа Фибоначчи, суть настоящая поэзия. И это не просто метафора: эти числа действительно используются при создании стихотворений. Возьмем, к примеру, лимерики. Вот, последите за ритмом (пусть без слов, просто используя сетку слогов):

Если посчитать количество слогов в каждом ряду, мы получим числа Фибоначчи! Лично меня это вдохновило настолько, что я отважился написать о них свой собственный лимерик:

Ты с ними достигнешь вершин!Сначала – «один» и «один»,Потом – «два», «три», «пять»,Продолжим считать –Веселью положен почин!

Одна из главных радостей занятий математикой – возможность окончательных, не оставляющих ни тени сомнения доказательств. Это ставит математику на особое место в ряду других наук, которые опираются на соответствие законам материального мира. Однако новые открытия могут опровергать или изменять эти законы. В математике же доказанное однажды остается доказанным навсегда. Прошло больше 2000 лет с того момента, как Евклид доказал бесконечность множества простых чисел – и это никогда не удастся оспорить. Научно-технические формации сменяют друг друга, теоремы же вечны. Как однажды сказал великий Годфри Харди[15]: «Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они сотканы из идей». По-моему, доказать новую теорему – все равно что шагнуть на тропу, ведущую в научное бессмертие.

В математике доказывают не только абсолютную истинность, но и невозможность. Часто приходится слышать: «Нельзя доказать невозможное». Полагаю, здесь имеется в виду, что никому не под силу доказать существование розовых коров – по крайней мере, до тех пор, пока мы не увидим их в один прекрасный день. Но в математике невозможное вполне себе доказуемо. Например, сколько ни пытайтесь, вы ни за что не найдете два четных числа, которые в сумме давали бы нечетное. Или простое число, которое было бы больше всех остальных простых чисел. Сложность таких доказательств поначалу пугает, к ним нужно привыкнуть, и не ждите, что это произойдет с первого (а то и со второго или с третьего) раза. Но стоит войти во вкус – и удержаться уже невозможно: настолько они удивительны и притягательны. Стройное доказательство подобно хорошему анекдоту или уместной шутке – удовлетворение от него испытываешь ничуть не меньшее.

С вашего позволения, расскажу о первом своем опыте на этой стезе. В детстве двумя главными предметами моего обожания были настольные игры и загадки. Как-то раз мой друг предложил мне загадку, связанную с настольными играми, и, конечно, я был заинтригован. Он положил передо мной пустую шахматную доску размером 8 на 8 клеточек и 32 костяшки домино и спросил:

– Можешь выложить домино так, чтобы они закрыли всю доску?

– Конечно, – уверенно ответил я. – Просто по четыре костяшки на ряд. Вот так:

– Молодец, – сказал он. – А если я уберу две клетки – правую нижнюю и левую верхнюю, и их останется 62 – сможешь закрыть оставшиеся 31 костяшкой? – и он положил на крайние квадратики две монетки.

– Хм… Наверное, – ответил я.

Но как я ни пытался, какие комбинации ни пробовал, у меня ничего не получалось. Наконец я сдался, заявив, что это в принципе невозможно.

– А если невозможно, – сказал мой друг, – можешь доказать это?

Я не мог. Ведь для этого потребовалось бы проверить бесконечное множество вариантов (если хотите, можете посчитать, сколько именно) и удостовериться в том, что каждый из них невозможен.

– Посмотри на цвета, – посоветовал друг, видя мое замешательство.

«На цвета? Причем тут цвета?» – подумал я. А потом понял. Обе закрытые клеточки были белыми, а значит, из 62 оставшихся свободными, 32 были черными и всего лишь 30 – белыми. А поскольку костяшка домино, как ее ни положи, закрывает пару разноцветных клеточек, выложить ими всю доску не получилось бы ни за что на свете. Здо́рово!

Отступление

Если вам понравилось последнее доказательство, понравится и это. Играя в известный всем «Тетрис», нужно заполнять «стакан» из 10 клеток падающими фигурами. Всего их 7, и соответственно их форме их иногда обозначают латинскими буквами: I, J, L, O, Z, T и S.

Каждая фигура состоит из 4 квадратиков, поэтому вполне естественно задаться вопросом, можно ли сложить их как-нибудь так, чтобы получился прямоугольник размером 4 на 7? При этом фигурки можно переворачивать как угодно.

Оказывается, нельзя. Как это доказать? Давайте раскрасим квадратики в прямоугольнике в шахматном порядке – так, чтобы получилось 14 серых и 14 белых.

Обратите внимание: любая фигура, кроме «Т», должна закрывать 2 белых и 2 серых квадратика независимо от своего положения. Сама же «Т» состоит из 3 квадратиков одного цвета и 1 квадратика – другого. Следовательно, как бы ни располагались остальные 6 фигур, они закроют 12 белых и 12 серых квадратиков, а это значит, что для «Т» останется только по 2 квадратика каждого цвета, в которые она «не впишется».

Как же убедить окружающих в истинности математического утверждения, которое кажется нам верным? Обычно начинают с описания математических объектов, которые мы используем, например целых чисел

…, –2, –1, 0, 1, 2, 3…

множества, которое включает положительные и отрицательные числа и ноль.

Определив объекты, мы делаем допущение, которое считаем самоочевидным – например, «сумма или произведение двух целых чисел всегда будет целым числом» (в следующей главе, посвященной геометрии, мы будем исходить из того, что между двумя точками можно провести только одну прямую). Такие самоочевидные, не требующие доказательств утверждения называются аксиомами. С их помощью, плюс немного логики и алгебры, мы можем доказывать другие положения, не столь очевидные – теоремы. В этой главе вы познакомитесь с основным инструментарием математических доказательств.

Начнем, пожалуй, с доказательства простых теорем, которые вызывают минимум сомнений. Когда мы слышим «два четных числа при сложении дают третье четное число» или «два нечетных числа при умножении дают третье нечетное число», наш разум обычно пытается проверить такие утверждения рядом примеров и из них сделать вывод, что это, скорее всего, верно. Ну или хотя бы не полная чушь. Вы даже можете решить, что это настолько очевидно, что может быть принято как аксиома. Делать этого не стоит – по крайней мере, до тех пор, пока вы можете построить цепочку доказательств, используя уже известные вам аксиомы. Так, чтобы доказать утверждения о четных и нечетных числах, начать стоит с понимания того, что вообще такое «четное» и «нечетное».

Четным называется число, которое делится на 2 без остатка. Если выразить это алгебраически, то число n является четным, если n = 2k (где k есть целая величина). Будет ли четным числом 0? Да, потому что 0 = 2 × 0. Теперь у нас есть все необходимое, чтобы доказать, что два четных числа в сумме дают третье четное.

Теорема: Если m и n – четные, то сумма m + n – тоже четное.

Это прекрасный пример теоремы по принципу «если…, то…». Чтобы ее доказать, нам надо сделать допущение в части, начинающейся с «если…», и, смешав логику с алгеброй, показать, что часть, начинающаяся с «то…», является следствием этого допущения. В нашем примере мы предполагаем, что m и n – четные, и поэтому m + n тоже будет четным.

Доказательство: Предположим, что m и n – четные числа. Значит, m = 2j, а n = 2k, где j и k суть целые величины. Тогда

m + n = 2j + 2k = 2(j + k)

А так как j + k – целое, m + n тоже будет кратно 2, значит, оно четное.◻

Обратите внимание, что доказательство основывается на аксиоме, согласно которой сумма двух целых чисел (в нашем случае j + k) так же является целым числом. Очень часто уже доказанные простые теоремы закладывают основу доказательной базы теорем более сложных, элементарные же аксиомы отбрасываются за ненадобностью. У математиков, кстати, принято ставить в конце последней линии цепочки доказательств значок ◻ или ■ либо аббревиатуру «ч.т.д.» – «что и требовалось доказать». (Также встречается аббревиатура Q.E.D., происходящая от латинской фразы «quod erat demonstrandum», «что и должно было быть продемонстрировано», ну или от английской «quite easily done», «ничего сложного» – выбирайте вариант по душе.) Я, с вашего позволения, буду иногда использовать еще один символ, смайлик ☺, когда доказательство покажется мне особенно стройным и красивым.

Редкий математик устоит перед тем, чтобы, доказав теорему по принципу «если…, то…», не попытаться доказать ее же, но наоборот, используя в качестве отправной точки обратное высказывание, то есть, по сути, меняя местами части «если…» и «то…». В нашем примере с четными числами обратным высказыванием станет предположение, что «если m + n является четным числом, то m и n также будут четными числами». Ошибочность его можно доказать контрпримером. Это несложно, буквально элементарно, как

1 + 1 = 2

где очень четко и ясно видно, что четное число можно получить сложением двух других чисел, которые четными не являются.

Следующая наша теорема касается нечетных чисел. Нечетным называется такое число, которое не делится на 2. Попытавшись это сделать, вы всегда получите 1 в остатке. Алгебраически n является нечетным, если n = 2k + 1, где k – целое число. Этого нам вполне хватит, чтобы доказать, что при умножении двух нечетных чисел мы получим третье нечетное.

Теорема: Если m и n – нечетные, то их произведение mn также будет нечетным.

Доказательство: Предположим, что m и n являются нечетными числами. Тогда m = 2j + 1, а n = 2k + 1 при целых значениях j и k. Тогда, согласно правилу FOIL,

mn = (2j + 1)(2k +1) = 4jk + 2j + 2k + 1 = 2(2jk + j + k) + 1

А так как 2jk + j + k – целое число, то mn есть форма «удвоенного целого числа + 1», а значит, нечетное число.◻

А что насчет обратного высказывания? Итак, если mn – нечетное, будут ли так же нечетными m и n? Будут, и подтвердить это можно, используя доказательство от противного. Для этого нам нужно показать, что опровержение части «то…» (что m и n суть нечетные) приведет к ошибке, причем не только во второй, но и в первой части «если…». Что и подтвердит довольно странным, но вполне логичным образом наше предположение.

Теорема: Если mn – нечетное, то и m и n будут также нечетными.

Доказательство: Предположим, что либо m, либо n (или оба) – четные числа. Выберем m (хотя по большому счету это не важно). Значит, m = 2j при целом значении j. Тогда произведение mn = 2jn также получится четным, что противоречит изначальному условию.◻

В том случае, когда теорему можно доказать как в «прямом», так и в «обратном» порядке, ее иногда называют теоремой по принципу «если и только если» (или «тогда и только тогда»). Как раз такую мы сейчас и доказали:

Теорема: m and n являются нечетными, если и только если mn – нечетное («…тогда и только тогда, когда mn – нечетное»).

Возможно, теоремы, которые мы только что рассмотрели, ничем вас не удивили, а их доказательства показались вам весьма прямолинейными. Куда большее удовольствие получаешь, пытаясь подтвердить менее очевидные предположения. Пока что мы довольствовались целыми числами – не пора ли заняться дробями? Число, которое можно представить в дробном виде, называется рациональным. Если быть точным, то число r является рациональным, если r = a/b, где a и b – целые числа, а b ≠ 0. Например, 23/58, –22/7 или 42 (равное, по сути, 42/1) – числа рациональные. Если же число не является рациональным, его называют иррациональным. Яркий тому пример, о котором вы, наверняка, слышали – число π = 3,14159…, но о нем чуть позже, в главе 8.

Для следующей нашей теоремы не лишним будет вспомнить, как вообще складывать дроби. И легче всего это делать, когда дроби имеют общий знаменатель, например:

В противном случае нам сперва придется привести дроби к общему знаменателю:

В целом же дроби a/b и c/d можно привести к общему знаменателю таким вот нехитрым способом:

И этого вполне достаточно, чтобы доказать несколько простых теорем, связанных с рациональными числами.

Теорема: Среднее арифметическое двух рациональных чисел также будет рациональным числом.

Доказательство: Возьмем два рациональных числа – x и y. Значит, в равенствах x = a/b и y = c/d значения a, b, c и d суть целые числа. Среднее арифметическое x и y, таким образом, можно представить как

Это дробь, числитель и знаменатель которой – целые числа. Следовательно, среднее арифметическое значение x и y является рациональным числом.

А теперь давайте подумаем, что же именно утверждается в этой теореме. А утверждается в ней то, что между двумя разными рациональными числами, насколько бы близки они друг другу ни были, всегда найдется еще одно рациональное число. Возникает искушение сделать из этого вывод, что все числа являются рациональными (как довольно долго думали древние греки). Нет, это не так. И смотрите, почему. Возьмем число √2, которое в десятичной записи выглядит как 1,4142… Если мы попробуем записать его как обычную дробь, получится что-нибудь вроде 10/7 или 1414/1000 (вариантов огромное множество), но все они будут приблизительными и никогда при возведении в квадрат не дадут 2. Но что, если мы просто плохо ищем? Да нет, не плохо, и следующая наша теорема как раз и показывает, что любые такие поиски бесполезны по определению. Доказательство будет строиться от противного, как это обычно и бывает, когда разговор заходит об иррациональных числах. А заодно мы увидим, как сократить дробь до ее несократимого значения – того предела, когда у числителя и знаменателя остается только один общий делитель – 1.

Теорема:√2 есть иррациональное число.

Доказательство: Предположим обратное: √2 есть число рациональное. В таком случае существуют некие положительные целые числа a и b, для которых верно, что

√2 = a/b

где дробь a/b – несократимая. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

2 = a²/b²

или

a² = 2b²

что приводит нас к тому, что a² есть четное целое число. А если a² – четное, значит, четным является и a (по аналогии с недавним нашим доказательством того, что, если нечетное a умножить на само себя, результат будет также нечетным). То есть a = 2k, где k – целое число. Добавим это в свое уравнение и получим

(2k)² = 2b²

То есть

4k² = 2b²

что приводит нас к

b² = 2k²

и констатации того факта, что b² является четным числом. Значит, четным должно быть и b. Но постойте! Ведь при четных значениях как a, так и b дробь a/b никак не может быть несократимой! Это противоречит нашим исходным условиям. И завело нас в эту ловушку предположение, что √2 является рациональным числом. Поэтому нам не остается ничего иного, кроме как признать: число √2 – иррациональное.☺

Лично я нахожу это доказательство восхитительным (и смайлик в конце строки тому подтверждение): прямая и хорошо освещенная тропа чистой, ничем не замутненной логики приводит нас к удивительному умозаключению. В главе 12 мы еще увидим, насколько велик на самом деле процент иррациональных чисел. Практически все действительные числа являются иррациональными, притом, что в повседневной жизни мы с ними почти не сталкиваемся.

Из доказанной нами только что теоремы следует одно любопытное заключение (его, пожалуй, даже можно назвать сопутствующей теоремой – такой, условия которой вытекают из только что доказанной). Основано оно на следующем правиле возведения в степень, согласно которому для любых положительных значений a, b и c

(a^b)^c = a^bc

То есть утверждение, что (5³)² = 5⁶, будет вполне справедливым, потому что

(5³)² = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 5⁶

Сопутствующая теорема: Существуют иррациональные числа a и b, при которых число a^b будет рациональным.

Не пугайтесь, нам эта теорема вполне по плечу, хоть мы и знаем пока лишь одно иррациональное число – √2. Приведенное ниже доказательство является, по сути, доказательством существования: мы же пытаемся просто узнать, есть ли вообще такие a и b, а не определить их конкретные числовые выражения.

Доказательство: Раз уж мы знаем, что √2 является иррациональным числом, возьмем число Будет ли оно рациональным? Если да, то теорема доказана (поскольку и a и b равны √2). Если нет – что ж, по крайней мере мы узнаем еще одно иррациональное число примем и с помощью правила возведения в степень получим

то есть рациональное число. Следовательно, независимо от того, является рациональным или иррациональным числом, мы докажем, что a^b будет рациональным числом при иррациональных значениях a и b.☺

Так обычно и выглядит любое доказательство существования чего бы то ни было: почти всегда остроумно и очень редко – исчерпывающе. (Кстати, уж коли зашла речь: число  – все-таки иррациональное число, но сейчас это для нас абсолютно не принципиально.)

Куда больше удовлетворения (равно как и куда больше существенной информации) получаешь, идя путем конструктивного доказательства. Одно из них, к примеру, – доказательство того, что любое рациональное число a/b либо вовсе не имеет цифр после запятой, либо эти цифры повторяются (иными словами, в затянувшемся делении b раз за разом становится делителем того числа, что уже делилось). Но будет ли верным обратное? Само собой, конечная десятичная дробь должна быть рациональным числом. Например, 0,12358 = 12 358/100 000. А если эта дробь – допустим, 0,123123123… – периодическая? Должна ли она быть рациональным числом? Ответ – да, и вот вам очень элегантный способ это доказать. А заодно и найти это самое число. Обозначим искомое буквой w (как в английском слове waltz, которое означает «проще простого»), то есть

w = 0,123123123…

Умножим обе части на 1000:

1000w =123,123123123…

вычтем первое уравнение из второго:

999w = 123

и получим

Возьмем еще одну периодическую десятичную дробь, но на этот раз такую, в которой цикл повторения начинается не с первой после запятой цифры, а чуть позже.

Какой обычной дроби будет соответствовать десятичная 0,83333…? Начнем с

х = 0,83333…

Затем сделаем так:

100x = 83,3333…

и так:

10x = 8,3333…

При вычитании 10x из 100x все, что стоит после запятой, отсекается, оставляя нас с

90x = (83,3333…) – (8,3333…) = 75

Значит,

Этот алгоритм позволяет нам с определенной долей уверенности утверждать, что число будет рациональным тогда и только тогда, когда его представление в виде десятичной дроби является либо конечным, либо периодическим. Иррациональной же будет та дробь, которая после запятой имеет бесконечное количество знаков, не образуюющих при этом цикл, например,

v = 0,123456789101112131415…

Вернемся к теоремам о положительных числах. В главе 1 мы выяснили, что

и предположили, что сумма первых n нечетных чисел равна n². Позже мы это подтвердили, причем очень красиво и остроумно – с помощью комбинаторного доказательства, подсчитав двумя разными способами количество клеток на шахматной доске. А почему бы нам не попробовать другой метод – пусть и не такой эффектный, но при этом ничуть не менее эффективный. Предположим, я сказал вам (или вы просто верите в то), что первые 10 нечетных чисел 1 + 3 +… + 19 дают в сумме 10² = 100. Если вы с этим согласны, значит, прибавление следующего нечетного числа – 21 – даст нам уже 121, что равно 11². Другими словами, если мое утверждение правдиво для десяти чисел, оно будет правдивым и для одиннадцатого. В этом и состоит суть математического доказательства по индукции: сначала мы доказываем, что некое утверждение относительно числа n является изначально верным (обычно при n = 1), а затем показываем, что, если это верно для n = k, оно останется автоматически верным для n = k + 1 и так далее – для любого значения n. Доказательство по индукции подобно подъему по лестнице: поднявшись на первую ступеньку, вы имеете все основания и все возможности подняться и на вторую. Ну а старая добрая логика настойчиво подсказывает, что так вы рано или поздно сможете оказаться и на пятой, и на десятой, и на n-ной ступени.

Так, в примере с первыми n нечетными числами наша задача – показать, что при любом значении n ≥ 1

1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n²

Мы видим, что сумма самого первого нечетного числа – 1 – и в самом деле составляет 1², то есть для n = 1 наше предположение абсолютно верно. Дальше нам следует обратить внимание на то, что, если сумма первых k нечетных чисел составляет k², а именно

1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = k²

при добавлении следующего нечетного числа (2k + 1) у нас получится

1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) = (k + 1)²

Другими словами, если сумма первых k нечетных чисел равна k², то сумма первых k + 1 нечетных чисел обязательно будет равна (k + 1)². Значит, теорема, истинная в отношении n = 1, будет столь же истинной в отношении любого значения n.◻

Индукция – инструмент действенный. Эта книга начиналась с проблемы определения суммы первых n чисел. Разными путями мы пришли к тому, что

Это предположение, безусловно, правдиво при n = 1 (потому что 1 = 1(2)/2). Предположим, что оно правдиво и для числа k:

Тогда, прибавив к этой сумме (k + 1), получим

В этой формуле k + 1 использовано вместо n. Значит, если она верна для n = k (где под k может скрываться любое положительное число), она будет так же верна и для n = k + 1. Равно как и для любого положительного значения n.◻

В этой главе (да и в книге вообще) будет еще много примеров использования индуктивного метода. А пока для закрепления материала вот вам песня, написанная «музыкантами от математики» Дэйном Кэмпом и Ларри Лессером на мотив знаменитой «Blowin' in the Wind» Боба Дилана.

Откуда нам знать, что теорема вернаС любым значением n?Миллиард вариантов – все не перебрать,Никак не свести в один.Но как же иначе найти нам ответ,Чтоб не свалиться в сплин?Индукция, друг мой, – вот наш господин.Индукция – наш господин.Сначала находим, с чего бы начать,К чему наш закон примени́м,Потом переносим все это на k,Потом – и на k + 1.Ну а дальше легко – ведь эффект доминоНисколечко не отмени́м.Индукция, друг мой, – вот наш господин.Индукция – наш господин!n раз повторю, да хоть n + 1:Индукция – наш господин!Отступление

В главе 5 мы рассмотрели несколько задач, основанных на числах последовательности Фибоначчи. Попробуем доказать парочку из них, используя метод индукции.

Теорема: Для n ≥ 1

F₁ + F₂ +… + F_n = F_n+2 – 1

Доказательство (методом индукции): Если n = 1, то F₁ = F₃ – 1, что соответствует 1 = 2 – 1, что безусловно истинно. Применим это к n = k, то есть

F₁ + F₂ +… + F_k = F_k+2 – 1

Добавив к обеим частям число Фибоначчи F_k+1, получим

F₁ + F₂ +… + F_k + F_k+1 = F_k+1 + F_k+2 – 1 = F_k+3 – 1

что и требовалось доказать.

Столь же простым будет доказательство для суммы квадратов чисел Фибоначчи.

Теорема: Для n ≥ 1

F₁² + F₂² +… + F_n² = F_nF_n+1

Доказательство (методом индукции): Если n = 1, то F₁² = F₁F₂, что верно потому, что F₂ = F₁ = 1. Применив это к n = k, получаем

F₁² + F₂² +… + F_k² = F_kF_k+1

А теперь добавим к обеим сторонам F²_k+1:

F₁² + F₂² +… + F_k² + F²_k+1 = F_kF_k+1 + F²_k+1 = F_k+1(F_k + F_k+1) = F_k+1 + F_k+2

что и требовалось доказать.

В главе 1 мы выяснили, что сумма кубов равна квадрату суммы, то есть

но тогда мы не были готовы это доказать. Просто мы ничего не знали об индукции. При n ≥ 1 общая закономерность выглядит так:

1³ + 2³ + 3³ +… + n³ = (1 + 2 + 3 +… + n)²

А так как нам уже известно, что докажем схожую теорему.

Теорема: Для n ≥ 1

Доказательство (методом индукции): При n = 1 предположим, что 1³ = 1²(2²)/4, что истинно. Следовательно, если схожее предположение будет истинным и при n = k, теорема будет доказана:

Прибавим к обеим сторонам (k + 1)³ и получим

что и требовалось доказать.

Отступление

А вот геометрическое доказательство тождества суммы кубов.

Посчитаем площадь фигуры двумя разными способами, а потом сравним результаты. С одной стороны, перед нами явно квадрат, каждая из сторон которого равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5, а общая площадь, таким образом, – (1 + 2 + 3 + 4 + 5)².

С другой стороны, если начать с верхнего левого угла, а затем двигаться вниз по диагонали, мы пройдем последовательно через один квадрат размером 1 на 1, два размером 2 на 2 (один из которых разбит на два прямоугольника), три квадрата размером 3 на 3, четыре размером 4 на 4 (и еще один «разрезанный» пополам) и, наконец, пять квадратов размером 5 на 5. Следовательно, их общая площадь будет равна

(1 × 1²) + (2 × 2²) + (3 × 3²) + (4 × 4²) + (5 × 5²) = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³

Так как обе полученные нами площади должны быть равны, имеем

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

То же можно сделать и с квадратом со сторонами длиной 1 + 2 +… + n, чтобы прийти к

1³ + 2³ + 3³ +… + n³ = (1 + 2 + 3 +… + n)²☺

Доказательство методом индукции применяется не только при сложении – оно отлично работает всякий раз, когда некую «большую» проблему (вроде k + 1) можно решить посредством «маленькой» (вроде k). Приведу вам свою любимую теорему, вроде той, что мы доказывали в начале главы, когда решали проблему с заполнением шахматной доски костяшками домино. Однако на этот раз поговорим не о невозможности, а наоборот, о возможности, причем возможности постоянной, а вместо домино используем тримино[16] L-образной формы.

Так как 64 (число клеток) на 3 не делится, одних лишь тримино для всей площади шахматной доски нам явно не хватит. Но стоит взять дополнительно один квадратик размером 1 на 1, и можно смело утверждать, что вне зависимости от его (квадратика) положения на доске для всего остального хватит тримино. Причем утверждение это справедливо не только для обычных шахматных досок 8 на 8, но и для досок размером 2 на 2, 4 на 4, 16 на 16 и т. д.

Теорема: Для любого значения n ≥ 1 шахматная доска размером 2ⁿ на 2ⁿ может быть выложена костяшками тримино и одним квадратиком размером 1 на 1 при любом положении последнего.

Доказательство (методом индукции): Утверждение является истинным при n = 1, потому что для того, чтобы выложить доску размером 2 на 2, достаточно одной костяшки тримино и одного квадратика (при любом его положении). Попробуем доказать то же в отношении n = k, то есть доски размером 2^k на 2^k (притом что нашей конечной целью остается 2^k+1 на 2^k+1). Сначала положим квадратик на любое место. Потом разделим доску на 4 равных сектора, как на рисунке выше.

Сектор с квадратиком имеет размер 2^k на 2^k, что значит, что его можно полностью выложить тримино (исходя из того, что наше утверждение истинно при n = k). Затем положим одну костяшку тримино в центр доски так, чтобы она находилась одновременно в трех оставшихся секторах, каждый из которых также равен 2^k на 2^k и в каждом из которых у нас теперь есть по одному квадратику, что делает их абсолютно похожими на первый. Ну а если можно полностью выложить неперекрывающимися тримино каждую часть (размером 2^k на 2^k) доски, то ими можно выложить и всю доску размером 2^k+1 на 2^k+1.☺

Последнее тождество имеет много полезных применений. Давайте докажем его по индукции, добавив парочку других способов. Какова сумма первых n чисел, которые получаются при возведении 2 в последовательные степени, начиная с 2⁰ = 1?

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024…

Приступим к сложению:

Видите закономерность? Каждая сумма на 1 меньше следующего числа, получаемого от возведения 2 в степень. Все это сводится вот к чему.

Теорема: Для n ≥ 1

1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^n–1 = 2ⁿ – 1

Доказательство по индукции: Как мы уже отмечали, утверждение является верным при n = 1 (а также 2, 3, 4 и 5). При n = k мы можем утверждать, что

1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^k–1 = 2^k – 1

Добавив к обеим частям следующее число, получаемое при возведении 2 в степень (то есть 2k), приходим к

1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^k–1 + 2^k = (2^k – 1) + 2^k = 2 × 2^k – 1 = 2^k+1 – 1 ☺

В 4 и 5 главах мы подтвердили множество закономерностей, находя ответ двумя разными способами. Возможно, комбинаторный подход покажется вам наиболее ценным.

Вопрос: В хоккейной команде n игроков (соответственно, их свитера пронумерованы от 1 до n). Созывается пресс-конференция, на которую должен прийти хотя бы один игрок. Чему равно количество возможных «составов» команды на этой пресс-конференции?

Ответ 1: У каждого игрока два варианта: идти или не идти. Значит, у команды в целом есть 2ⁿ вариантов. Но из этого числа нам нужно вычесть единицу, чтобы исключить вероятность того, что на конференцию не придет никто. В итоге получается 2ⁿ – 1.

Ответ 2: За основу «состава» положим хоккеиста с наибольшим номером на свитере. «Состав» с единицей в качестве наибольшего числа всего 1, с двойкой их 2 (потому что хоккеист № 2 может пойти либо в одиночестве, либо в компании хоккеиста № 1), с тройкой – 4 (потому что хоккеист № 3 может пойти либо один, либо в компании хоккеиста № 2, который точно так же может позвать, а может и не позвать с собой хоккеиста № 1). Следуя этой логике и дальше, мы увидим, что всего возможных «составов» будет 2^n–1, ведь хоккеист № n будет обязан пойти на конференцию, а у каждого из его товарищей (начиная с № 1 и заканчивая № n – 1), которых он может позвать с собой, будет по 2 варианта выбора. То есть 1 + 2 + 4 +… + 2^n–1.

Оба результата верны, а значит, равны. Таким образом, получается, что 1 + 2 + 4 +… + 2^n–1 = 2ⁿ – 1.☺

При всех достоинствах комбинаторного метода наиболее простым здесь будет алгебраический – схожий с тем, который мы использовали для преобразования периодической десятичной дроби в простую.

Алгебраическое доказательство:

Пусть S = 1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^n–1.

Удвоив обе части, получим

2S = 2 + 4 + 8 +… + 2^n–1 + 2ⁿ

Вычтем первое уравнение из второго, что позволит нам избавиться от всего лишнего и оставить только S из первого и 2S из второго, то есть

S = 2S – S = 2ⁿ – 1

Теорема эта – ключ к двоичной системе, имеющей огромное практическое значение: именно на ее основе проводят числовые операции все компьютеры. Смысл ее заключается в том, чтобы представить любое число как уникальную сумму различных степеней основания числа 2. Например,

83 = 64 + 16 + 2 + 1

Запишем это двоичным кодом, заменяя каждое возведенное в степень число 2 единицей, а каждое пропущенное значение 2 в степени – нолем. В нашем примере это 83 = (1 × 64) + (0 × 32) + (1 × 16) + (0 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1). Следовательно, в двоичной системе число 83 выглядит так:

83 = (1010011)₂

Как удостовериться, что в таком виде можно представить любое положительное число? Предположим, что каждое число от 1 до 99 есть уникальная сумма степеней основания 2. Сможем ли мы представить в столь же уникальном виде число 100? Начнем с наибольшей степени основания 2, которая меньше 100, то есть с 64. (Почему именно 64? Да потому что меньшие значения – 1, 2, 4, 8, 16 и 32 – дадут в сумме лишь 63, а значит, 100 нам никак не получить.) Остается добрать 36 – точно так же, с помощью чисел, которые получаются от возведения 2 в разные степени. Как это сделать? Проще всего – следуя той же логике, что и с сотней, то есть начать с самого большого подходящего нам числа. Так как 36 = 32 + 4, значит 100 = 64 + 32 + 4, в двоичной системе – (1100100)₂. Обобщив это (с помощью так называемого убедительного индуктивного подтверждения), приходим к выводу, что любое положительное число имеет уникальное двоичное представление.

Как мы только что убедились, любое положительное целое число может быть представлено в виде уникальной суммы различных степеней числа 2. В принципе, можно говорить, что числа, получаемые при возведении 2 в последовательные степени – это строительные блоки, из которых складываются положительные целые числа.

Примерно то же справедливо и отношении простых чисел и умножения: любое положительное целое число можно представить в виде произведения простых чисел (с той лишь разницей, что простые числа изучены куда меньше, чем степени основания 2, и знаем о них мы далеко еще не всё).

Простым числом называется целая положительная величина, имеющая только два делителя: 1 и само себя. Вот некоторые из них:

Число 1 простым не является: у него всего один делитель (хотя, конечно, не только поэтому – есть и более веские причины, о которых мы поговорим чуть позже). Обратите также внимание: в этом ряду всего лишь одно четное – 2, что явно (а можно сказать и – выгодно) отличает ее от остальных простых чисел.

Положительное целое число, для которого имеются 3 и более делителя, называется составным, ведь его можно разложить на более простые. Вот они:

Так, у четверки всего три делителя (1, 2 и 4), у шестерки – четыре (1, 2, 3 и 6) и так далее. Обратите внимание, что числа 1 нет и здесь. Математики называют его единицей, числом с уникальным свойством – быть делителем абсолютно любого целого числа.

Каждое составное число может быть представлено в виде произведения простых чисел. Возьмем для примера 120. Можно начать с 120 = 6 × 20. Но и 6, и 20 – тоже составные. Разложим их сразу на простые: 6 = 2 × 3, 20 = 2 × 2 × 5. Следовательно,

Примечательно то, что, на какие бы составляющие мы ни разложили начальное число, результат получится абсолютно тот же. Причина тому – теорема о единственности разложения, основная теорема арифметики, согласно которой каждое положительное целое число больше 1 раскладывается на произведение простых чисел единственным способом, включая порядок следования сомножителей.

Здесь-то, кстати, и кроется настоящая причина того, что число 1 не может быть названо простым: будучи простым, оно бы делало эту теорему несостоятельной. Ведь тогда 12, например, можно было бы представить не только как 2 × 2 × 3, но и как 1 × 1 × 2 × 2 × 3, и разложение на простые числа не было бы уникальным.

Однажды разложив число, вы узнаете всю его подноготную. В детстве моим любимым числом была девятка, но с возрастом я узнавал и другие, куда более сложные (вроде π = 3,14159…, φ = 1,618…, e = 2,71828… или число i, которое не может быть представлено в виде десятичной дроби, о чем мы подробно поговорим в главе 10) и влюблялся в них без памяти. Какое-то время моим фаворитом было 2520 – наименьшее из чисел, которые делятся на все числа от 1 до 10. Вот как оно выглядит при разложении на простые множители:

Зная положительные множители, вы можете узнать и положительные делители – вернее, их количество. Так, любой из делителей 2520 должен сводиться к форме 2^a3^b5^c7^d, где a может быть равно 0, 1, 2 или 3 (четыре варианта), b – 0, 1 или 2 (три варианта), а с – 0 или 1 (два варианта). Следовательно, согласно правилу произведения, 2520 имеет 4 × 3 × 2 × 2 = 48 положительных делителей.

В интервале от 1 до 100 насчитывается 25 простых чисел, от 101 до 200 – 21, от 201 до 300 – 16. И тенденция эта сохраняется: чем дальше мы продвигается, тем реже встречаются простые величины (без всякой, впрочем, системы: в промежутке от 301 до 400 их снова 16, а в промежутке от 401 до 500 – 17) – а от 1 000 000 до 1 000 100 мы их найдем всего лишь 6. Объяснение этому вполне очевидно: чем больше число, тем больше потенциальных делителей у него будет.

Давайте попробуем доказать, что есть такие сотни чисел, в которых простых чисел не будет вовсе (и не только сотни – тысячи, миллионы, сколько угодно). Для этого будет достаточно подобрать 99 последовательно идущих друг за другом составных чисел:

Так как 100! = 100 × 99 × 98 ×… × 3 × 2 × 1, его можно разделить на все числа от 2 до 100. Возьмем теперь 100! + 53. Так как 53 – делитель 100! оно должно являться делителем и 100! + 53. Та же логика подсказывает, что при 2 ≤ k ≤ 100 100! + k должно быть кратным k, а следовательно, составным.

Итак, чем больше числа, тем меньше среди них попадается простых. Вполне логично было бы предположить, что рано или поздно они перестают попадаться вовсе. Но только не в этом случае, как больше 2000 лет назад предупредил нас Евклид. Дерзнем не поверить великому греку на слово и докажем это сами.

Теорема: Количество простых чисел бесконечно.

Доказательство: Предположим обратное – что количество простых чисел конечно. Значит, существует некое наибольшее простое число. Обозначим его литерой P. Возьмем число P! + 1. Так как P! делится на все числа в промежутке от 2 до P, ни одно из них нельзя разделить на P! + 1 без остатка. Следовательно, простой множитель P! + 1 будет больше P, что противоречит нашему условию, что P есть наибольшее простое число.◻

И хотя мы никогда не найдем наибольшее простое число, математики и специалисты по вычислительной технике не оставляют попыток зайти в этих поисках все дальше и дальше в бесконечность числового ряда. Самым большим известным науке простым числом на настоящий момент является число, состоящее из 17 425 170 цифр. Чтобы его записать, потребуется примерно сотня томов – каждый объемом не меньше книги, которую вы сейчас держите в руках. Но можно уместить и в одну строку –

А все благодаря существованию удивительно действенных методов, которые позволяют легко определить, являются ли числа вида 2n – 1 или 2n + 1 простыми.

Простые числа активно используются в повседневной жизни – в частности, в вычислительной технике при создании алгоритмов кодирования (на них, например, построена система шифрования с открытым ключом, которая используется при совершении финансовых операций онлайн). В большинстве своем они построены на методах быстрого определения того, является ли то или иное число простым. Жаль только, что нет настолько же эффективных способов быстрого разложения на множители по-настоящему огромных чисел. Так, если я перемножу два случайных тысячезначных числа и скажу вам двухтысячезначный ответ, вы никогда в жизни не сможете найти составляющие его простые величины – ни сами, ни с помощью компьютера (конечно, если этот компьютер не квантовый – а такие собирать пока еще попросту не научились). Зато представляете, насколько надежны коды (вроде алгоритма RSA[17]), в основе которых лежит эта неспособность?

Интерес человечества к простым числам стар, как само человечество. Древние греки называли число, равное сумме его делителей (естественно, за исключением самого этого числа), совершенным. Среди них, например, число 6, сумма делителей которого – 1, 2 и 3 – равна 6. Или 28, получающееся из сложения 1, 2, 4, 7 и 14. Дальше следуют 496 и 8128. Интересно, складываются они в какую-нибудь закономерность? Попробуем разложить их на множители:

Видите закономерность? Первое число – это степень основания 2. Второе – на единицу меньше, чем удвоенная степень основания 2; и при этом оно простое (поэтому здесь и нет 8 × 15 или, скажем, 32 × 63: ведь 15 и 63 простыми числами не являются). Закономерность эту можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема: Если число 2ⁿ – 1 является простым, число 2^n–1 × (2ⁿ – 1) будет совершенным.

Отступление

Доказательство: Допустим, что число p = 2ⁿ – 1 – простое. Докажем теперь, что число 2^n–1p – совершенное. Какие величины являются его собственными делителями? Сначала – делители, которые не используют множитель p: 1, 2, 4, 8…., 2^n–1. Все они сводятся к сумме 2ⁿ – 1 = p. Потом – все остальные (за исключением самого 2^n–1p), которые включают в себя множитель p и которые дают в сумме p(1 + 2 + 4 + 8 +… + 2^n–2) = p(2^n–1 – 1). Следовательно, общая сумма всех собственных делителей составит

p + p(2^n–1 – 1) = p(1 + (2^n–1 – 1)) = 2^n–1p

что и требовалось доказать.

Великий Леонард Эйлер доказал, что каждое четное совершенное число может быть сведено к этой форме. Именно это представление помогло определить 48 совершенных четных чисел. Существуют ли в принципе среди совершенных чисел нечетные, не знает никто. Доказано, что если и существуют, то наименьшее из них состоит из более чем трех сотен цифр. Несуществование же их пока что так и не доказано.

С простыми числами связано множество нерешенных математических проблем. Одну из них я уже упоминал: неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел Фибоначчи (если помните, мы выяснили, что во всей последовательности всего лишь два полных квадрата чисел – 1 и 144 – и столько же кубов – 1 и 8).

Еще одна проблема – известная как гипотеза Гольдбаха – основана на предположении, что любое четное число больше 2 есть сумма двух простых чисел. Доказать этого никто не смог, однако известно, что, если контрпример и существует, в нем должно быть никак не меньше 19 цифр. (Совсем недавно, в 2013 году, в решении очень похожей проблемы произошел прорыв: перуанец Харальд Хельфготт доказал, что любое нечетное число больше 7 есть сумма как максимум трех нечетных простых чисел.)

А еще есть простые числа-близнецы (парные простые числа) – простые числа, разность между которыми составляет ровно 2: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Единственные «тройняшки» в этом ряду – это 3, 5 и 7. И хотя было доказано (в качестве частного случая теоремы Густава Дирихле[18], что количество простых чисел, заканчивающихся на 1 (а также на 3, 7 или 9), бесконечно, вопрос о том, бесконечно ли количество простых чисел-близнецов, остается открытым.

Закончить эту главу я бы хотел доказательством, которое может показаться вам притянутым за уши (да что уж греха таить, именно за уши оно и притянуто). Тем не менее смею надеяться, что оно вас все-таки удовлетворит.

Утверждение: Все положительные целые величины интересны.

Доказательство: Вы, без сомнений, согласитесь, что первые положительные числа не оставляют вас равнодушными. Например, 1 – это самое первое положительное число, 2 – первое четное положительное число, 3 – первое нечетное простое число… Предположим обратное – что совсем не все числа так уж интересны. Тогда есть некая самая первая навевающая скуку величина. Назовем ее N. Но разве самого этого факта недостаточно, чтобы сделать N отличной от всех остальных величин и хотя бы уже поэтому интересной? И разве не доказывает это, что «скучных» чисел попросту не бывает?

Начнем, пожалуй, с одной геометрической задачки, которая вполне сойдет за фокус. Возьмите листок бумаги и сделайте следующее.

Шаг 1. Начертите фигуру из четырех не пересекающихся друг с другом линий. Должен получиться четырехугольник. Подпишите углы по часовой стрелке литерами A, B, C и D. Вот несколько возможных примеров:

Шаг 2. Отметьте центральные точки сторон AB, BC, CD и DA буквами E, F, G и H соответственно.

Шаг 3. Соедините эти точки пунктирными линиями так, чтобы получился еще один прямоугольник, EFGH, вот так:

Хотите – верьте, хотите – нет, но он всегда будет параллелограммом. Другими словами, линия EF будет параллельна линии GH, а линия FG – линии HE (при этом сторона EF будет той же длины, что и сторона GH, а сторона FG – той же длины, что и сторона HE). На рисунках выше это отлично заметно, но мне очень хочется, чтобы вы сами все это начертили.

Геометрия скрывает в себе множество подобных сюрпризов. Несложные предположения, незамысловатые логические ходы – и вот вам удивительный результат.

Хотите проверить свою интуицию? Давайте проведем небольшую, но очень увлекательную викторину: одни ответы покажутся вам вполне очевидными, а другие – поразят, даже если вы прекрасно разбираетесь в геометрии. Начнем?

Вопрос 1. Некий фермер решил обнести изгородью прямоугольную территорию с периметром 16 метров. Чему должны быть равны стороны этого участка, чтобы его площадь была максимальной?

А. Он должен быть квадратным (то есть его длина и ширина должны быть равны 4 м).

Б. Соотношение сторон участка должно соответствовать принципу золотого сечения и составлять 1,618 (то есть примерно 5,25 на 3,25 м).

В. Длина участка должна быть максимальной (8 м).

Г. Во всех трех вышеперечисленных вариантах площадь будет одинаковой.

Вопрос 2. Есть две параллельные прямые (см. рисунок ниже). На нижней лежат точки X и Y. Наша задача – поместить на верхней прямой третью точку так, чтобы получившийся между ней, X и Y треугольник имел наименьший периметр. Какую точку следует выбрать?

А. Точку А (расположенную точно посередине между X и Y, чтобы прямоугольник получился равнобедренным).

Б. Точку B (расположенную точно над X или над Y, чтобы треугольник получился прямоугольным).

В. Точку С (расположенную как можно дальше от X и Y).

Г. Любую, потому что все треугольники будут иметь одинаковый периметр.

Вопрос 3. Возьмем те же прямые и те же точки X и Y. Теперь попытаемся понять, где на верхней прямой должна располагаться точка P, чтобы получился треугольник с наибольшей площадью. Итак, точка P должна находиться:

А. В точке А.

Б. В точке B.

В. Как можно дальше от X и Y.

Г. Где угодно, потому что все треугольники будут иметь равную площадь.

Вопрос 4. В американском футболе расстояние между воротами составляет примерно 110 м. Натянем между ними веревку той же длины. Затем добавим к ней еще 30 см. Насколько высоко можно будет поднять веревку в центре поля?

А. Чуть больше, чем на пару сантиметров.

Б. Достаточно высоко, чтобы под ней можно было проползти.

В. Достаточно высоко, чтобы под ней можно было пройти в полный рост.

Г. Достаточно высоко, чтобы под ней мог проехать грузовик.

Давайте теперь найдем правильные ответы на все эти вопросы. Первые два, по-моему, вполне очевидны. А вот последние… Впрочем, мы обязательно разберем все в подробностях.

Ответ 1. Вариант (А): каким бы ни был изначальный периметр, прямоугольник всегда будет иметь наибольшую площадь только при равных размерах его сторон. Следовательно, наилучшим выбором будет квадрат.

Ответ 2. Вариант (А): наименьший периметр будет иметь треугольник, образованный соединением точек X и Y с точкой, расположенной точно посередине между ними (то есть А).

Ответ 3. Вариант (Г): все треугольники будут иметь одинаковую площадь.

Ответ 4. Вариант (Г): в самом центре поля веревку получится поднять вверх чуть больше, чем на 4 м – вполне достаточно для грузовика.

Для решения первой задачи будет достаточно несложных алгебраических вычислений. Возьмем прямоугольник, в котором длина верхней и нижней сторон равна b, левой и правой – h. Его периметр, таким образом, будет равен 2b + 2h – сумме длин всех четырех сторон. Его площадь (то есть, по сути, площадь того, что можно в этот прямоугольник поместить) будет равна произведению b и h. (О том, что же такое площадь, мы поговорим чуть позже.) Так как периметр у нас составляет 16 м, имеем 2b + 2h = 16 или

b + h = 8

А так как h = 8 – b, площадь bh (которая по изначальному условию должна быть как можно больше) равна

b(8 – b) = 8b – b²

Какое значение b даст нам максимальный результат? Чуть позже, в главе 11, мы рассмотрим очень простой способ подобных вычислений. Сейчас же удовлетворимся методом разбития квадрата, который уже встречался нам в главе 2. Посмотрите:

8b – b² = 16 – (b² – 8b + 16) = 16 – (b – 4)²

есть площадь нашего прямоугольника. При b = 4 она составит 16 – 0² = 16; при b ≠ 4 –

16 – (число, не равное 0)²

Так как мы вычитаем из 16 некую положительную величину, разность в любом случае будет меньше 16. Следовательно, площадь нашего прямоугольника будет максимальной при b = 4 и h = 8 – b = 4. И здесь нам открывается совершенно удивительно свойство геометрии: изначальный периметр – 16 м – вдруг оказывается не имеющим значения и отношения к задаче. Каким бы ни был этот показатель, оптимальной формой прямоугольника с периметром p будет квадрат с длиной сторон p/4.

Чтобы ответить на остальные вопросы, нам нужно разобраться в тех из них, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными, а заодно и освежить в памяти школьные основы геометрии: почему сумма углов треугольника равна 180°? О чем нам рассказывает теорема Пифагора? Как определить, равна ли форма двух треугольников (и зачем вообще это нужно)?

Геометрия уходит корнями далеко вглубь веков – во времена Древней Греции. Оттуда же происходит и само название этой чудесной во всех отношениях науки: «гео» на древнегреческом означает «земля», «метрия» – «измерение». Оно говорит само за себя, давая нам ясное представление о том, зачем вообще придумали геометрию – чтобы измерять земельные участки, на которых планировалось вести строительство или другие работы. А еще ее использовали в астрономии. Но древние греки не были бы древними греками, если бы не отшлифовывали любое свое знание до абсолютно идеальных форм, превращая его в искусство – такое, каким не устают (и никогда не устанут) восхищаться их потомки, сколько бы тысячелетий ни прошло. И по сей день главной книгой геометрии остаются написанные в 300 году до нашей эры «Начала» Евклида – сокровищница всех наших знаний о геометрии, лучший на все времена учебник. В «Началах» разъясняется, что такое математическая строгость, дедуктивный и аксиоматический методы, доказательство… – Все то, на чем до сих пор строится любая работа любого математика.

Евклид выдвинул пять аксиом (также называемых постулатами) – положений, интуитивно понятных каждому и потому не требующих доказательств. Именно они суть основа всего, из чего состоит геометрия – и все теоремы так или иначе базируются именно на них. То, что перечислено чуть ниже, конечно же, не являются цитатами из «Начал», но наши формулировки никоим образом не противоречат их сути. Итак:

Аксиома 1. Любые две точки пространства могут быть соединены только одним отрезком прямой.

Аксиома 2. Отрезок этот можно продолжать в обоих направлениях до бесконечности – так получаются прямые.

Аксиома 3. Для любых двух точек O и P можно очертить только одну окружность с центром в точке O и точкой P, лежащей на окружности.

Аксиома 4. Все прямые углы равны 90°.

Аксиома 5. Если точка Р не лежит на прямой l, можно провести через точку P одну и только одну прямую, которая будет параллельна прямой l.

Конечно же, пятью аксиомами, сформулированными Евклидом, геометрия не ограничивается, поэтому не удивляйтесь, если на этих страницах вы найдете и другие. Ну а поскольку эта книга – отнюдь не учебник, мы, пожалуй, не будем тратить время на обстоятельное доказательство прописных истин и объяснение элементарных понятий, тем более с нуля. Я очень высокого мнения о своем читателе и считаю аксиомой, что он помнит со школы (или просто знает), что такое точка, прямая, угол, круг, периметр, площадь и так далее. К тому же я по мере сил буду избегать профессиональной лексики и всяких специфических и понятных, пожалуй, только математику, обозначений – ведь в центре нашего внимания не наука как таковая, но ее магия, способная затронуть струны любой, даже самой далекой от геометрии, души.

Я абсолютно уверен, например, что вы уже знаете (ну или готовы принять на веру), что градусов в любом круге ровно 360 и что обозначается это как 360°. А любой находящийся в этом круге угол, таким образом, будет равен значению от 0° до 360°. Представьте себе стрелки часов, сходящиеся в самом центре циферблата. В час дня или ночи стрелки располагаются так, будто «отрезают» от круга одну двенадцатую – значит, угол между ними равен 30°. В три часа стрелки «отрежут» уже четверть круга

и образуют угол 90° (такой угол называется прямым, а прямые или лучи, которые его образуют, – перпендикулярными друг другу). Прямая же линия, которую образуют стрелки ровно в шесть часов, образует угол 180°.

А вот одно очень полезное и часто встречаемое на практике обозначение: отрезок прямой, лежащий между точками A и B, выглядит в записи как AB. Если же вам нужно оперировать его длиной, черточку сверху ставить не нужно: длина отрезка AB составляет AB.

Две прямые при пересечении всегда образуют четыре угла. Взгляните на рисунок – что вы видите? Видите, что два прилежащих (смежных) угла (a и b, например) образуют линию? Такие углы называются дополнительными (потому что дополняют друг друга до 180°, которые нам дает линия).

Это справедливо в отношении всех четырех пар смежных углов, то есть

a + b = 180°b + c = 180°c + d = 180°d + a = 180°

Если вычесть второе уравнение из первого, получится, что a – c = 0. Следовательно,

a = c

А вычитание третьего уравнения из второго приведет нас к

b = d

Так у нас получаются еще две пары углов – a и с и b и d, которые называются вертикальными. Ну а теорему вертикальных углов, утверждающую их равенство, мы с вами только что доказали.

Осторожно, двери закрываются! Следующая остановка – доказательство того, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°. Но сначала – несколько фактов о параллельных прямых. Две прямые считаются параллельными, если они никогда – ни на видимом отрезке, ни в бесконечности – не пересекаются. Посмотрите на рисунок: вот две параллельные прямые (l₁ и l₂), а вот – третья прямая (l₃), непараллельная им и, следовательно, пересекающая их в точках P и Q соответственно. Приглядитесь чуть внимательнее: l₃ «разрезает» l₁ и l₂ абсолютно одинаково, под одним и тем же углом, то есть a = e. Углы a и e в таком случае являются соответственными (равно как b и f, c и g, d и h). Равенство их настолько очевидно, что вполне может считаться аксиоматичным, хотя и не может быть доказано ни одним из пяти евклидовых постулатов. Значит, теперь у нас есть новая аксиома.

Аксиома соответственных углов: Соответственные углы всегда равны.

В соединении с теоремой вертикальных углов аксиома говорит нам, что, согласно рисунку выше,

a = c = g = eb = d = h = f

(Книги по математике в большинстве своем предлагают специальные названия для каждой из возможных пар: углы a и g, например, образующие фигуру, которая напоминает латинскую букву Z, называются внутренними накрест лежащими.) Эти равенства говорят нам, что любой из этих 8 углов равен своему парному вертикальному, своему парному соответственному и своему парному внутреннему накрест лежащему. Понимание этого нужно нам, чтобы доказать одну из основных теорем геометрии.

Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство: Возьмем треугольник ABC (см. рисунок) с углами a, b и c. Через его вершину (то есть точку B) проведем прямую, параллельную его же основанию (то есть прямой, проходящей через точки A и С).

Образовавшиеся при этом углы d и e вместе с углом b образуют линию, поэтому d + b + e = 180°. Обратите внимание, что углы a и d и углы c и e при этом являются внутренними накрест лежащими, следовательно, d = a, а e = c, что приводит нас к a + b + c = 180°, что и требовалось доказать.

Отступление

Теорема о сумме углов треугольника, равной 180°, крайне важна для понимания сути планиметрии. В других же геометрических системах она не работает совершенно: для примера можно спроецировать тот же треугольник на сферу-«глобус», причем так, чтобы он начинался на «северном полюсе», спускался к «экватору» вдоль любой из «линий долготы», там заворачивал направо в первый раз, а после прохождения четверти «планеты» – и во второй, возвращаясь к «северному полюсу». Получившийся таким образом треугольник будет иметь три прямых угла, дающих вместе не 180, а целых 270°. В сферической геометрии сумма углов треугольника есть величина непостоянная: она все больше отдаляется от значения в 180° при малейшем увеличении его площади и находится к ней в прямой пропорциональной зависимости.

На занятиях по геометрии в школе или университете очень много внимания уделяется доказательству конгруэнтности объектов: это значит, что, перемещая, вращая или отображая зеркально одну фигуру, мы можем получить совпадающую с ней другую. Например, изображенные на рисунке треугольники ABC и DEF являются конгруэнтными, поскольку при смещении влево треугольник DEF полностью совпадет с треугольником ABC. На рисунке это показано с помощью специальных меток: если соответствующие стороны или углы двух фигур маркированы одинаковым количеством черточек, они равны.

Для этого даже есть специальный математический символ – ≅; наша запись, таким образом, будет выглядеть как ABC ≅ DEF, что значит, что стороны обоих треугольников и их углы идеально друг с другом совпадают: стороны AB, BC и CA равны сторонам DE, EF и FD (соответственно), а углы по вершинам A, B и C равны углам по вершинам D, E и F (также соответственно). Именно это мы и имеем в виду, когда отмечаем одинаковым количеством черточек совпадающие стороны и углы этих двух по сути разных (хоть и равных) треугольников.

Остальное – дело техники. Если вы, например, имеете дело с двумя равносторонними треугольниками и знаете, что углы двух из трех пар равны (допустим, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E), вы можете смело утверждать, что равными будут углы и третьей пары – а значит, треугольники являются конгруэнтными. Информации тут даже больше, чем нужно: нам вполне достаточно знать, что равными будут боковые стороны треугольников (AB = DE и AC = DF) и углы между ними (∠A = ∠D). А дальше все просто: BC = EF, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F. Из этого вытекает аксиома конгруэнтности треугольников по двум сторонам и лежащему между ними углу.

Это именно аксиома, а не теорема, поскольку доказать ее с помощью уже существующих аксиом невозможно. Зато, принятая на веру, она ложится в основу других не менее полезных теорем конгруэнтности а) по трем сторонам; б) по одной стороне и двум прилежащим к ней углам; и в) по двум углам и прилежащей к одному из них стороне. (Не существует только теоремы конгруэнтности по двум сторонам и прилежащему к одной из них углу: для стопроцентной уверенности угол все же должен находиться между сторонами.) Самой интересной из них мне кажется теорема а), ведь изначально в ней вообще никак не упоминаются углы, равенство которых доказывается через равенство сторон.

Но вернемся к аксиоме по двум сторонам и углу между ними и докажем с ее помощью одну замечательную теорему, касающуюся равнобедренных треугольников. Равнобедренным называется такой треугольник, две из трех сторон которого имеют одинаковую длину. (И кстати, уж коли об этом зашла речь – есть и другие виды треугольников: равносторонние – в которых все три стороны равны; прямоугольные – в которых один угол равен 90°; остроугольные – в которых все три угла меньше 90°; и, наконец, тупоугольные – в которых один угол больше 90°.)

Теорема о равнобедренном треугольнике: Если в равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, противолежащие этим сторонам углы будут также равны.

Доказательство: Из точки A проведем линию так, чтобы она делила ∠A ровно пополам и пересекала отрезок BC в точке X, как на рисунке. Это биссектриса угла A.

Получившиеся таким образом треугольники BAX и CAX являются конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: BA = CA (что следует из понятия равнобедренности), ∠BAX = ∠CAX (что следует из понятия биссектрисы), а AX = AX (вернее, не так: отрезок AX не уникален, он появляется одновременно в двух треугольниках и не меняет свою длину). А так как BAX ≅ CAX, также равны будут и остальные стороны и углы, в том числе ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.◻

Отступление

То же можно доказать и с помощью теоремы конгруэнтности по трем сторонам. Для этого возьмем точку M как середину отрезка BC, то есть чтобы BM было равно MC. Проведем линию по отрезку AM. Как и в предыдущем доказательстве, треугольники BAM и CAM будут конгруэнтными, потому что BA = CA (равнобедренность), AM = AM, а MB = MC (потому что точка M находится ровно посередине BC). Следовательно, согласно доказательству по трем парам сторон, BAM ≅ CAM, что говорит нам о равности лежащих в них углов, в том числе и ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.

Из факта конгруэнтности следует, что ∠BAM = ∠CAM, следовательно, отрезок AM является биссектрисой. Более того, так как ∠BMA = ∠CMA и в сумме они дают 180°, каждый из них должен быть равен 90°, из чего следует вывод, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проложенная из угла A, будет перпендикуляром к основанию BC.

Кстати, доказательство от обратного в отношении равнобедренного треугольника тоже вполне эффективно, то есть если ∠B = ∠C, то AB = AC. Для этого, как и в самом первом доказательстве, проведем биссектрису из точки A в точку X. Утверждение, что BAX ≅ CAX, в этом случае следует из теоремы конгруэнтности по двум углам и прилежащей к одному из них стороне: ∠B = ∠C (согласно изначальному условию), ∠BAX = ∠CAX (согласно определению биссектрисы), а AX = AX. Значит, AB = AC, то есть треугольник ABC является равнобедренным.

Теорему эту можно применить и к равностороннему треугольнику: если равны все стороны, значит, равны и все углы. Следовательно, поскольку в сумме своей три угла дают 180°, имеем сопутствующую теорему.

Сопутствующая теорема: В равностороннем треугольнике каждый из углов равен 60°.

Согласно теореме конгруэнтности по трем сторонам, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все стороны (то есть AB = DE, BC = EF, а CA = FD), их углы будут также совпадать (то есть ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F). Верным ли будет обратное предположение, что, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все углы, будут совпадать и их стороны? Конечно же, нет – просто посмотрите на рисунок:

Два треугольника с равными углами называются подобными. Если треугольники ABC и DEF являются подобными (что обозначается как ∆ABC ~ ∆DEF или просто ABC ~ DEF), то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F. То есть один из них, по сути, является уменьшенной (или увеличенной) версией второго. Поэтому при ABC ~ DEF их стороны находятся в пропорциональной зависимости друг от друга по некоторому положительному масштабирующему коэффициенту k: DE = kAB, EF = kBC, а FD = kCA.

Все это поможет нам ответить на второй вопрос нашей викторины, с которой мы начали главу. Давайте вспомним все условия. У нас есть две параллельные прямые: на нижней пролегает отрезок XY, на верхней – точка P. Нашей задачей было найти такое местоположение точки P, при котором треугольник XYP имел бы наименьший периметр. Преобразуем правильный ответ в теорему.

Теорема: треугольник XYP имеет наименьший периметр, если точка P, которая расположена на прямой, параллельной его основанию, находится точно в середине отрезка XY.

И хотя для того, чтобы подтвердить это предположение, достаточно пары нехитрых вычислительных операций, побалуем себя изысканным геометрическим подходом (доказательство получится очень долгим и немного запутанным, поэтому, если хотите, можете особо в него не вчитываться, а то и вовсе пропустить).

Доказательство: Предположим, что точка P располагается абсолютно в любом месте на верхней прямой, а точка Z располагается прямо над точкой Y. (Точнее говоря, точка Z должна быть расположена так, чтобы линия YZ, проведенная от нее в точку Y, была строго перпендикулярна как нижней, так и верхней прямым, как показано на рисунке чуть ниже.) Продолжим линию YZ до точки Y´так, чтобы отрезок Y´Z был равным отрезку ZY. Другими словами, если бы верхняя прямая была зеркалом, точка Y´ была бы отражением точки Y.

Треугольники PZY и PZY´ будут конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: PZ = PZ, ∠PZY = 90° = ∠PZY´, а ZY = ZY´. Следовательно, PY = PY´, из чего и будем исходить далее.

Периметр треугольника YXP есть сумма длин трех отрезков:

YX + XP + PY

а так как мы только что доказали, что PY = PY´, тот же периметр можно представить в виде

YX + XP + PY´

Длина YX не зависит от P, так что задачу по поиску ее местонахождения можно упростить до поиска наименьшего значения XP + PY´.

Отрезки XP и PY образуют ломаную линию, которая соединяет точки X и Y´. Но так как наиболее кратким путем между двумя точками будет не ломаная, а прямая линия, в оптимальном варианте точка P* должна располагаться на одной прямой с точками X и Y´, причем на месте ее пересечения с верхней горизонталью, как на рисунке ниже. Все? Нет, еще не все: нам же нужно доказать, что P* находится точно над центральной точкой отрезка XY.

Обозначим точку, находящуюся прямо под точкой P* буквой M. Отрезок P*M при этом будет перпендикулярен XY. Так как верхняя прямая параллельна нижней, длина P*M должна быть равна длине ZY. В принципе, это понятно и так, ведь расстояние между двумя параллельными прямыми равно всегда – хоть на видимом участке, хоть в бесконечности, – но дополнительным подтверждением тому является отрезок MZ, который дает нам два конгруэнтных (согласно теореме – по двум углам и прилежащей к одному из них стороне) треугольника MYZ и ZP*M.

Чтобы доказать, что точка M лежит ровно в центре отрезка XY, докажем сначала подобность треугольников MXP* и YXY´. Обратите внимание, что ∠MXP* и ∠YXY´ суть один и тот же угол, ∠P*MX = ∠Y´YX, так как они оба прямые, а раз мы имеем полное совпадение в двух парах углов, совпасть должны углы и в третьей паре, чтобы в каждом треугольнике получилось по 180°. Каким будет масштабирующий коэффициент? Согласно построению,

YY´ = YZ + ZY´ = 2YZ = 2MP*

поэтому масштабирующий коэффициент будет равен 2. Следовательно, длина XM составляет ровно половину от длины XY, а отрезок XM заканчивается ровно в центре отрезка XY.

Обобщая, мы можем утверждать, что для того, чтобы треугольник XYP имел наименьший периметр, точка P* верхней прямой должна располагаться точно над центральной точкой отрезка XY.◻

Порой геометрические задачи можно решить с помощью алгебры. Предположим, например, что отрезок AB лежит на поверхности с координатами (a₁, a₂) для точки A и координатами (b₁, b₂) для точки B. Тогда точка M, располагающаяся в середине этого отрезка, будет иметь координаты

как показано на графике. То есть если, скажем, A = (1, 2), а B = (3, 4), центром отрезка AB является точка M = ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).

За этим кроется один полезный факт о треугольниках. Начертите треугольник и соедините друг с другом центральные точки любых двух его сторон. Видите, что получается? Ответ кроется в следующей теореме.

Теорема о центральных точках треугольника: В треугольнике ABC линия между центральной точкой стороны AB и центральной точкой стороны BC будет параллельна стороне AC. Более того, при длине стороны AC, равной b, длина отрезка, соединяющего центральные точки двух других сторон, будет равна b/2.

Доказательство: Поместим треугольник ABC на плоскость так, чтобы точка A располагалась в координатах (0, 0), сторона AC была строго горизонтальной, а точка C, таким образом, имела координаты (b, 0), как показано на рисунке ниже. Обозначим координаты точки B как (x, y). Тогда центральная точка отрезка AB будет находиться в координатах (x/2, y/2), а центральная точка отрезка BC – в координатах ((x + b)/2, y/2). Так как у них одни и те же y-координаты, соединяющая их линия должна быть строго горизонтальна, то есть параллельна стороне AC. Более того, длина этой линии составит (x + b)/2 – x/2 = b/2, что и требовалось доказать.

Теорема о центральных точках треугольника поможет нам разгадать фокус, с которого начиналась эта глава: тогда мы взяли четырехугольник ABCD и соединили центральные точки его сторон так, что образовался еще один четырехугольник, EFGH, который оказался (и всегда окажется) параллелограммом. Давайте разберемся, почему так происходит. Диагональная линия, проведенная от вершины A к вершине C, образует два треугольника ABC и ADC (см. рисунок).

Применив теорему о центральных точках треугольника, мы обнаружим, что отрезок EF будет параллелен отрезку AC, который в свою очередь будет параллелен отрезку GH. Следовательно, EF будет параллельна GH. (Более того, EF и GH будут иметь одинаковую длину, равную половине AC.)

Проведем точно такую же диагональ из вершины B к вершине D и увидим, что FG и HE также параллельны и равны по длине. Следовательно, EFGH является параллелограммом.

Большинство из разобранных нами теорем связано с треугольниками, что ничуть не удивительно, ведь в геометрии этой фигуре уделяется много внимания. Кстати сказать, треугольник есть не что иное, как наипростейшая разновидность полигонов (многоугольников). Дальше идут четырехугольник (четырехсторонний полигон), пятиугольник (пятисторонний полигон) и так далее. Полигон, количество сторон которого равно n, иногда называется n-угольником. Мы уже доказывали, что сумма всех углов треугольника равна 180°. А что насчет остальных полигонов? Любой четырехугольник, будь то квадрат, прямоугольник или параллелограмм, имеет четыре стороны. В прямоугольнике, как явствует из его названия, все 4 угла являются прямыми, то есть равными 90°, а значит, составляют в сумме 360°.

Следующая наша теорема будет верна для любого четырехугольника.

Теорема: Сумма углов четырехугольника равна 360°.

Доказательство: Возьмем любой четырехугольник с вершинами A, B, C и D (вроде того, что изображен на рисунке). Из угла A в угол C проведем линию так, чтобы она разделила четырехугольник на 2 треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180°. Следовательно, сумма углов четырехугольника составит 2 × 180° = 360°

Чтобы проследить общую закономерность, разберем еще одну теорему.

Теорема: Сумма углов пятиугольника равна 540°.

Доказательство: Возьмем пятиугольник с вершинами A, B, C, D и E (вроде того, что изображен на рисунке). Линия, проведенная от вершины A к вершине C, разделит пятиугольник на четырех– и треугольник. Сумма углов треугольника ABC составляет 180° (это мы знаем уже давно), сумма углов четырехугольника ACDE – 360° (это мы доказали только что). Следовательно, сумма углов пятиугольника – 180° + 360° = 540°.

Этот алгоритм можно применять снова и снова, к любому полигону, вплоть до n-угольника.

Здесь отлично сработает метод индукции: для этого надо разделить наш n-угольник на n – 2 треугольников, поэтапно соединяя линиями вершину A со всеми остальными.

Теорема: сумма углов n-угольника равна 180(n – 2) градусам.

А теперь… просто следите за волшебной палочкой! Начертите восьмиугольник (восьмисторонний полигон) и поставьте внутри него 5 точек – где угодно. А теперь соедините их с вершинами углов и друг с другом так, чтобы у вас получались треугольники (именно треугольники – никаких других фигур). Процесс этот называется триангуляцией, и вот несколько его примеров. (Последний восьмиугольник я оставил пустым, чтобы вы могли проделать это сами.)

В обоих моих примерах восьмиугольники разбиты ровно на 16 треугольников. Столько же должно получиться у вас в третьем октагоне вне зависимости от того, где именно вы поставили 5 точек. (А если вдруг нет, значит, вы где-то ошиблись – в этом случае просто внимательно приглядитесь к каждой доле и убедитесь, что в ней ровно 3 точки, а не 4; если же их все-таки 4, проведите линию от одного угла доли к другому, чтобы разделить ее на два треугольника.) Объяснить это можно с помощью следующей теоремы.

Теорема: В процессе триангуляции n-сторонний полигон, имеющий внутри некое количество точек, равное p, будет разделен ровно на 2p + n – 2 треугольников.

В нашем предыдущем примере n = 8, а p = 5, поэтому треугольников получается 10 + 8 – 2 = 16.

Доказательство: Предположим, что в процессе триангуляции у нас получается количество треугольников, равное T. Мы можем доказать, что T = 2p + n – 2, решив одну арифметическую задачку двумя разными способами. Итак, внимание!

Вопрос: Чему будет равна сумма углов всех треугольников?

Ответ 1: Так как количество треугольников равно T, а сумма углов каждого из них – 180°, общая сумма составит 180T градусов.

Ответ 2: Разобьем задачу на две. Углы, прилежащие к каждой из внутренних точек (напомним, что их количество равно p), образуют окружность, следовательно, их общая сумма составит 360p градусов. С другой стороны, из предыдущей теоремы мы знаем, что сумма углов n-угольника равна 180(n – 2) градусам. Значит, всего получится 360p + 180(n – 2) градусов.

Из двух ответов составим уравнение

180T = 360p + 180(n – 2)

Разделим обе части на 180, что даст нам

T = 2p + n – 2

что и требовалось доказать.☺

Периметр полигона есть сумма длин его сторон. Так, периметр прямоугольника длиной b и шириной h будет равен 2b + 2h, потому что и b, и h суть размеры каждой из двух его сторон. А как насчет площади? Исходим из того соображения, что площадь квадрата размером 1 на 1 (так называемого единичного квадрата) равна 1. При положительных целых значениях b и h (как на рисунке) мы можем разбить всю площадь на bh единичных квадратов, а значит, она будет равна bh. В целом же, любой прямоугольник с длиной b и шириной h (где b и h суть положительные, но необязательно целые величины) имеет площадь bh.

Отступление

В этой главе мы уже не раз обращались к помощи алгебры, чтобы разрешить исключительно геометрические проблемы. Принцип этот прекрасно работает и в обратную сторону: порой геометрия значительно облегчает понимание алгебры. Взгляните на типичную задачу. Насколько малым может быть значение где x есть любое положительное число? При x = 1 имеем 2, при x = 1,25 – 1,25 + 0,8 = 2,05, при x = 2 – 2,5. Логика подсказывает, что наименьшим ответом будет 2, и это на самом деле так, только вот как нам в этом удостовериться? Самый простой и эффективный метод расчета будет предложен в главе 11, пока же давайте ограничимся методом геометрическим.

Возьмем фигуру, состоящую из четырех костяшек домино, каждая из которых имеет размер x на 1/x. Расположены они так, чтобы в пространстве между ними получился квадрат. Какова будет общая площадь всей фигуры (включая этот внутренний квадрат)?

С одной стороны, поскольку фигура представляет собой квадрат x + 1/x на x + 1/x, ее площадь должна быть (x + 1/x)². С другой стороны, площадь каждой костяшки домино равна 1, поэтому площадь фигуры в целом составит как минимум 4. Следовательно,

(x + 1/x)² ≥ 4

или x + 1/x ≥ 2, что и требовалось доказать.☺

Начав с площади прямоугольника, можно найти площадь практически любой другой геометрической фигуры, в первую очередь – треугольника.

Теорема: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h составляет

Для наглядности возьмем три конкретных треугольника, основание каждого из которых рана b, а высота – h, что значит, что их площадь также должна быть равна. Это, по сути, наш третий вопрос, ответ на который, готов поспорить, многих из вас удивил.

В зависимости от того, какие размеры имеют прилежащие к основанию AC углы ∠A и ∠C, нам нужно рассмотреть три разных частных случая, а затем создать копию треугольника ABC и вписать его вместе с оригиналом в прямоугольник с площадью bh, как показано на рисунке. Треугольник ABC займет ровно половину этой площади, а значит, его площадь составит как мы и предполагали.

Если углы ∠A и ∠C острые, остроумным будет и доказательство. Из точки B проведите линию длиной h так, чтобы она была перпендикулярна отрезку AC (она называется высотой треугольника ABC), пересекая его в точке X, как показано на рисунке:

AC, таким образом, состоит из отрезков AX и XC, длины которых составляют соответственно b₁ и b₂, где b₁ + b₂ = b. А так как треугольники BXA и BXC получились у нас прямоугольными, то, согласно предыдущему примеру, их площади будут равны соответственно. Следовательно, площадь большого треугольника ABC –

что и требовалось доказать.

В случае же, если ∠A или ∠C является тупым, чертеж будет выглядеть вот так:

В примере с остроугольным треугольником мы представляли ABC как сумму двух прямоугольных треугольников. Здесь же нам нужна их разность. Высота любом тупоугольном треугольнике выходит за его границы, образуя тем самым большой треугольник. В нашем случае это ABY, длина основания которого равна b + c, а площадь – Маленький же прямоугольный треугольник CBY имеет площадь Следовательно, площадь ABC может быть представлена как

что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора является, пожалуй, чуть ли не самой популярной теоремой в геометрии. И уж точно одной из самой популярных в математике вообще. Поэтому в том, что ей посвящен целый раздел нашей «геометрической» главы, нет ничего странного.

Итак, в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой, другие две стороны – катетами. В треугольнике, изображенном чуть ниже, катетами являются отрезки BC (длиной a) и AC (длиной b), а гипотенузой – отрезок AB (длиной c).

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами длиной a и b и гипотенузой длиной c

a² + b² = c²

Существует более трех сотен различных доказательств этой теоремы, но мы остановимся лишь на самых простых. Можете пропускать некоторые из них, если хотите: моя основная цель заключается в том, чтобы хотя бы одно из них заставило вас улыбнуться, а может быть, даже восхититься.

Доказательство 1: Ниже на рисунке изображен квадрат, составленный из четырех конгруэнтных прямоугольных треугольников.

Вопрос: Какова площадь этого квадрата?

Ответ 1: Длина каждой из сторон квадрата равна a + b, следовательно, его площадь составит (a + b)² = a² + 2ab + b².

Ответ 2: С другой стороны, большой квадрат состоит из четырех треугольников, площадь каждого из которых равна ab/2, и пустого (тоже квадратного) пространства между ними, площадь которого равна c². (Кстати, откуда мы взяли, что оно является квадратным? Во-первых, мы знаем, что его стороны равны. Во-вторых, благодаря правилу симметрии, мы можем убедиться в том, что равны и все его углы: если повернуть эту фигуру на 90°, она будет абсолютно идентична изначальной, а значит, все ее углы должны быть одинаковыми. Так как сумма углов любого четырехугольника всегда составляет 360°, мы можем сделать вывод, что каждый из четырех углов нашей фигуры равен 90°.) Следовательно, их общая площадь выглядит как 4(ab)/2 + c² = 2ab + c².

Сведем первый и второй ответы к одному уравнению:

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Вычтем 2ab из обеих сторон и получим

a² + b² = c²

что и требовалось доказать.☺

Доказательство 2: Возьмем ту же фигуру, что и в предыдущем доказательстве, только немного поменяем расположение треугольников в ней. И если на левом рисунке очевидно, что площадь пустого пространства равна c², то на правом она уже составит a² + b². Следовательно, c² = a² + b², что и требовалось доказать.☺

Доказательство 3: Снова передвинем треугольники, только на этот раз так, чтобы они располагались более компактно (как на следующем рисунке), а c² была бы площадью не маленького внутреннего, а большого квадрата (это будет все еще квадрат, ведь каждый его угол есть сумма ∠A и ∠B, то есть 90°). Общая площадь треугольников по-прежнему равна 4(ab/2) = 2ab. Площадь же внутреннего пустого пространства составит (a – b)² = a² – 2ab + b². Соединив все вместе, имеем 2ab + (a² – 2ab + b²) = a² + b², что и требовалось доказать.

Доказательство 4: Это будет доказательство подобием, поэтому нам нужно сначала вспомнить все, что мы знаем и подобных треугольниках. В прямоугольном треугольнике ABC проведем линию CD так, чтобы она была перпендикулярна гипотенузе AB, как на рисунке:

Обратите внимание, что треугольник ADC содержит как прямой угол, так и ∠A, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠B. Подобным же образом треугольник CDB содержит как прямой угол, так и ∠B, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠A. Следовательно, все три треугольника будут подобными:

∆ACB ~ ∆ADC ~ ∆CDB

Имейте в виду, что порядок букв здесь имеет важное значение: ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° являются прямыми углами, как и ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD и ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Сопоставление длин сторон первых двух треугольников дает

AC/AB = AD/AC ⇒ AC² = AD × AB

Точно так же для первого и третьего треугольников –

CB/BA = DB/BC ⇒ BC² = DB × AB

Сложим эти два уравнения и получим

AC² + BC² = AB × (AD + DB)

А так как AD + DB = AB = c, мы приходим к

b² + a² = c²

что и требовалось доказать.☺

Следующее доказательство будет чисто геометрическим – никакой алгебры, зато очень много непростой визуализации.

Доказательство 5: В этот раз возьмем два квадрата с площадями a² и b². Расположим их вплотную друг к другу – как показано на рисунке слева, и их общая площадь тогда составит a² + b². «Разрежем» получившуюся фигуру на два прямоугольных треугольника (длины катетов составят a и b, длина гипотенузы – c) и один странной формы геометрический объект. Обратите внимание, что угол в нижней части этого «странного объекта» должен быть равен 90°, потому что его окружают ∠A и ∠B. Представьте себе, что в левом верхнем углу большого квадрата и правом верхнем углу маленького квадрата расположено нечто вроде опорных стержней, вокруг которых потенциально может происходить «вращение» (подобно тому, как комнатная дверь «вращается» вокруг дверной петли, закрепленной на косяке).

А теперь мысленно поверните нижнюю часть левого треугольника на 90° против часовой стрелки – так, чтобы «вывести» его за верхнюю границу большого квадрата. Поверните на 90° и второй треугольник, только теперь по часовой стрелке – так, чтобы прямые углы «легли» один на другой в точке сочленения двух квадратов, как показано на рисунке:

В результате получится квадрат, площадь которого будет равна c². Следовательно, a² + b² = c², что и требовалось доказать.☺

Теорема Пифагора нужна нам для того, чтобы объяснить ответ на четвертый вопрос нашей викторины – вопрос о футбольном поле и двух его воротах, расположенных в 110 метрах друг от друга, с натянутой между ними веревкой длиной 110 метров 30 сантиметров.

Расстояние от ворот до центра поля составляет 55 метров. Поднятая в этом месте вверх – до точки h – веревка дает нам прямоугольный треугольник с длиной одного катета 55 и длиной гипотенузы 55,15. Берем теорему Пифагора, добавляем немного алгебры по вкусу, перемешиваем… и получаем

Достаточно высоко даже для самого большого грузовика, правда?

Давайте закончим эту главу тем же, чем начали ее – небольшим геометрическим фокусом. Большинство доказательств теоремы Пифагора основываются на перестановке частей одной геометрической фигуры с целью получения другой с той же площадью. Но смотрите, какой обнаруживается парадокс. Возьмем квадрат 8 на 8. Его, пожалуй, вполне можно разделить на четыре части, как на рисунке чуть ниже – длина одной стороны каждой части должна равняться 3, 5 или 8 (да-да, одному из чисел Фибоначчи!). Перегруппируем эти части так, чтобы получился прямоугольник 5 на 13. (Обязательно попробуйте сделать это сами!) Но ведь площадь начальной фигуры равна 8 × 8 = 64, а конечной – 5 × 13 = 65! Но как это возможно?

Разгадка этого парадокса заключается в том, что прямая линия, являющаяся «диагональю» прямоугольника 5 на 13, на самом деле не такая уж и прямая. Смотрите сами: треугольник, обозначенный буквой С, имеет гипотенузу с наклоном 3/8 = 0,375 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 3, а значение x-координаты – на 8) притом, что верхняя грань фигуры (трапеции), обозначенной буквой D, имеет наклон 2/5 = 0,4 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 2, а значение x-координаты – на 5). То же происходит и с нижними гранями трапеции и треугольника, находящихся в верхней части. Отрезки с разным наклоном никогда и ни за что не образуют прямую линию, а значит, если мы присмотримся к нашему прямоугольнику, то увидим небольшой зазор между двумя почти «прямыми» почти «диагоналями» (см. рисунок). И получается, что, будучи растянутой по всей площади, эта щель дает нам лишнюю единицу общей площади.

В этой главе мы узнали много интересного о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и других полигонах, образованных с помощью разного количества прямых линий. Геометрия окружностей и других фигур изогнутой формы более сложна. Здесь нам не обойтись без тригонометрии и ее специфических методов счисления. И, конечно же, без основы основ – удивительного числа π.

Прошлую главу мы начали с проверки своей геометрической интуиции: речь шла сначала о прямоугольниках, затем – о треугольниках и наконец – о натянутой между двух футбольных ворот веревке. Пора поговорить и об окружностях, и тут уж мы мелочиться не будем – начнем с того, что обмотаем веревкой Землю!

Вопрос 1. Представьте себе веревку, достаточно длинную, чтобы обернуть ее вокруг Земли по экватору (это примерно 40 075 км). Но перед тем как завязать узелок, добавим к ней еще три метра. Так вот, если неким волшебным образом нам удастся поднять веревку над землей и водой по всей ее длине на одну и ту же высоту, какой будет эта высота?

А. Чуть больше пары сантиметров.

Б. Достаточной, чтобы под ней можно было проползти.

В. Достаточной, чтобы под ней можно было пройти в полный рост.

Г. Достаточной, чтобы под ней мог проехать грузовик.

Вопрос 2. Две точки окружности – X и Y (см. рисунок) – соединяют две дуги: длинная и короткая. Допустим, что на большей (то есть длинной) дуге мы хотим поставить третью точку Z. Где именно она должна находиться, чтобы угол ∠XZY был как можно больше?

А. В точке A (ровно напротив середины расстояния между XY).

Б. В точке B (являющейся отражением точки X по линии, проходящей через центр круга).

В. В точке С (лежащей настолько близко к точке X, насколько возможно).

Г. Где угодно, потому что все углы будут абсолютно равны.

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно разобраться в особенностях геометрии окружностей. Впрочем, если вам все это кажется смертельно скучным, можно вполне обойтись и так: ответом на первый вопрос будет вариант Б, на второй – вариант Г. Но разве вам интересно глотать пищу, не чувствуя ее вкуса? Так вот, особенности геометрии окружностей и есть тот самый вкус.

Любая окружность может быть выражена двумя понятиями – точкой O и положительной величиной r, причем точка O равноудалена от остальных точек окружности на расстояние, равное r (см. рисунок ниже). Точка O называется центром окружности. Расстояние r – радиусом окружности. А еще радиусом для удобства называется отрезок OP, проведенный от точки O к лежащей на линии круга точке P.

Диаметр окружности – это величина D, обозначающая расстояние между двумя максимально удаленными друг от друга точками окружности и определяющаяся как его удвоенный радиус. То есть

Периметр окружности (то есть расстояние, пройденное по кругу от некой точки до нее же) называется ее, окружности, длиной (или периферией) и обозначается буквой C. На рисунке хорошо видно, что C длиннее, чем 2D, потому что идти по полукругу от точки P к точке Q придется явно дольше, чем напрямик по D, равно как и обратный путь от точки Q к точке P по другому полукругу займет больше времени. Следовательно, C > 2D. А раз уж мы заметили это, почему бы нам не заметить, что C даже немного длиннее, чем 3D. Правда, для того, чтобы наша уверенность была стопроцентной, придется надеть 3D-очки… (извините, не сдержался ☺).

На самом деле для того, чтобы сопоставить длину окружности с ее диаметром, нам нужно «распрямить» круг, измерить получившуюся линию, а потом разделить результат на диаметр. И вы с удивлением обнаружите, что, независимо от того, измеряете вы монетку, дно стакана, тарелку или гимнастический круг, у вас всегда получится

C/D ≈ 3,14

Число π определяется как постоянная величина, представляющая собой соотношение длины круга к его диаметру. То есть

π = C/D

И π остается неизменным для абсолютно любой окружности! Если хотите, можете преобразовать эту формулу для подсчета длины окружности: зная диаметр D или радиус r той или иной окружности, вы можете просто посчитать

C = πD

или

C = 2πr

Цифровое выражение π начинается с

π = 3,14159…

Чуть позже мы узнаем, что идет дальше, после 9, а заодно обсудим некоторые свойства этого числа.

Отступление

Определить длину окружности «на глазок» не так-то легко. Испытайте себя – возьмите высокий стакан и постарайтесь прикинуть, что больше: его высота или длина окружности? Уверен, большинство проголосует за высоту… и почти наверняка вы окажетесь неправы: чаще всего больше будет именно длина окружности. Не верите? Проверить достаточно легко: просто измерьте большим и указательным пальцами диаметр стакана и трижды отложите этот отрезок вдоль его стенки.

Теперь можно смело отвечать на первый из двух вопросов, заданных в начале главы. Если мы представим экватор в виде идеального круга с длиной окружности, равной 40 075 км, его радиус составит

Но значение радиуса не так уж для нас и важно – куда важнее знать, насколько увеличится этот радиус, если к длине окружности прибавится три метра – совсем ненамного, примерно на 3/2π ≈ 0,5 метра. Следовательно, под веревкой окажется достаточно места, чтобы проползти, но недостаточно, чтобы пройти в полный рост (если, конечно, вы не танцор лимбо[21]).

Но самым удивительным здесь будет не столько сам ответ, сколько тот факт, что полученные нами 0,5 м ни капельки не зависят от изначальной длины окружности – вы придете к тому же результату независимо от того, обвязываете ли вы веревкой Землю, Юпитер, Плутон или теннисный мячик. Например, радиус круга с длиной окружности, равной 15 м, составит 15/(2π) ≈ 2,38. Прибавив 3 метра, получим новый радиус 18/(2π) ≈ ≈ 2,86, который будет больше старого примерно на 0,5 метра.

Отступление

А вот еще один очень важный факт из геометрии окружностей.

Теорема: Предположим, что точки X и Y лежат на окружности строго друг напротив друга. Тогда при любом положении третьей точки P ∠XPY = 90°.

На рисунке, например, хорошо видно, что углы ∠XAY, ∠XBY и ∠XCY являются прямыми.

Доказательство: Проведем линию радиуса из точки O к точке P. Положим ∠XPO = x, а ∠YPO = y. Наша цель – показать, что x + y = 90°.

Так как отрезки OX и OP суть радиусы окружности, их длина равна r, следовательно, треугольник XPO будет равнобедренным. Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, ∠OXP = ∠XPO = x. По той же логике отрезок OY является радиусом, а ∠OYP = ∠YPO = y. Поскольку сумма углов треугольника XYP должна быть равна 180°, получаем 2x + 2y = 180°, а значит, x + y = 90°, что и требовалось доказать.☺

Теорема эта является частным случаем другой, самой любимой моей во всей геометрии теоремы о центральном угле, которой посвящено следующее «Отступление».

Отступление

Ответ на второй вопрос нашей мини-викторины может дать теорема о центральном угле. Возьмем две случайные точки X и Y, расположенные на окружности. Бóльшая дуга – это длинный путь от X и Y, меньшая – короткий путь. Теорема о центральном угле утверждает, что вне зависимости от положения точки P на большей дуге, проходящей от X к Y, размер угла ∠XPY будет постоянным, а более конкретно – равным половине центрального угла ∠XOY. Если при этом расположить на меньшей дуге точку Q, получим ∠XQY = 180° – ∠XPY.

Например, если ∠XOY = 100°, тогда при любом положении P на большей дуге, проходящей от X к Y, ∠XPY = 50°, а при любом положении Q на меньшей дуге, проходящей от X к Y, ∠XQY = 130°.

Зная длину окружности, мы можем вывести очень важную формулу – формулу вычисления ее площади.

Теорема: Площадь круга с радиусом r равна πr².

Вы наверняка помните эту формулу со школы. Что ж, тем больше удовольствия вы получите, узнав, наконец, из чего она вытекает. Конечно, правильнее всего было бы использовать метод вычислений, но пока вполне можно удовлетвориться и другим, не менее эффективным, доказательством.

Доказательство 1: Представьте себе круг как совокупность концентрически расходящихся колец, как это показано на рисунке. Сделайте в нем прорезь от верхнего края к центру, а затем «разогните» кольца, чтобы они сложились в фигуру, напоминающую треугольник. Чему будет равна площадь этой фигуры?

Надеюсь, вы не забыли, что площадь треугольника с основанием b и высотой h составляет Основание получившейся у нас фигуры равно 2πr (длине окружности), а его высота – r (расстоянию от центра окружности до его нижнего края). Так как наш «очищенный» круг становится тем более треугольным, чем больше мы добавляем к нему колец, его площадь составляет

что и требовалось доказать.☺

Теорема эта настолько прекрасна, что просто невозможно устоять и не доказать ее еще раз. Только если в предыдущем случае мы чистили луковицу, теперь будем разрезать пиццу.

Доказательство 2: Разделите круг на четное количество равных секторов-«кусочков». Возьмите «кусочек» из верхней половинки и положите рядом с «кусочком» из нижней половинки, как показано на рисунках (в наших примерах мы разрезали «пиццу» сначала на 8, а потом – на 16 частей). Разложите так весь круг. С увеличением количества секторов форма каждого из них будет все больше и больше напоминать треугольник с высотой r. Чередование нижних секторов (назовем их «сталагмитами») с верхними («сталактитами») дает нам фигуру, по форме очень близкую к прямоугольнику, с шириной, равной r, и длиной, равной половине длины окружности, то есть πr. (Чтобы сделать ее именно прямоугольником, а не параллелограммом, «отсечем» от крайнего левого «сталактита» ровно половину и «приклеим» ее к правому краю.) Так как форма разделенного на сектора круга становится все более и более

прямоугольной с увеличением количества этих секторов, площадь окружности составит

bh = (πr)(r) = πr²

как мы и предполагали.☺

А еще можно взять окружность и представить ее на плоскости в виде графика.

Для круга с радиусом r и центральной точкой, расположенной в координатах (0, 0) работает формула

x² + y² = r²

что хорошо видно по графику чуть ниже. Чтобы в этом разобраться, возьмем некую лежащую на окружности точку с координатами (x, y). Опустим из нее до оси x перпендикулярную этой оси линию – получится прямоугольный треугольник с катетами x и y и гипотенузой r. Тогда, согласно теореме Пифагора, x² + y² = r².

Круг с r = 1 называется единичным. Если мы «растянем» такой круг по горизонтали с коэффициентом a и по вертикали с коэффициентом b, получится эллипс (или овал) вроде этого:

Подобная фигура имеет формулу

и площадь πab, что вполне логично, потому что площадь изначального единичного круга равняется π, после чего мы растянули ее на ab. Обратите внимание, что при a = b = r мы получим круг (а не эллипс) с радиусом r – πab же, таким образом, превратится в πr².

Существует несколько забавных фактов, связанных с эллипсами, которыми я хотел бы с вами поделиться. Например, вы можете нарисовать овал с помощью двух канцелярских кнопок, лески и карандаша.

Возьмите кнопки, воткните их в лист бумаги или картона и накиньте на них колечко из лески или прочной нитки (но до предела не натягивайте). Поставьте карандаш кончиком в центр получившейся конструкции и оттяните один из концов лески так, чтобы получился треугольник. А теперь постепенно передвигайте карандаш по бумаге вокруг кнопок, не ослабляя леску. Диаграмма, получившаяся в результате, будет иметь эллиптическую форму.

Местоположения кнопок называются фокусами эллипса, и они, конечно же, тоже волшебные. Если вместо кнопки в точку одного фокуса положить бильярдный шар и ударить по нему так, чтобы он покатился в случайном направлении, то после всего лишь одного касания о периметр он обязательно пройдет через точку второго фокуса.

Кстати, космические тела, вроде планет и комет, путешествуют вокруг солнца именно по эллиптической орбите. Естественно, я не смог удержаться:

И даже у затменияОвальное строение!Отступление

А вот вам еще один очень интересный факт – не существует такой формулы, которая позволила бы просчитать длину эллипса. Зато есть некое приближенное представление, придуманное математическим гением по имени Сриниваса Рамануджан[22] и позволяющее оценить эту длину хотя бы примерно:

π(3a + 3b – √((3a + b)(3b + a)))

Обратите внимание, что при a = b = r выражение упрощается до (6r – √(16r²)) = 2πr – длины окружности.

Число π появляется и в трехмерных фигурах. Возьмем для примера консервную банку, которая для любого математика является цилиндром. Так вот, объем цилиндра (то есть его внутреннее пространство) с радиусом r и высотой h составит

V_{цилиндра} = πr²h

Объяснить эту формулу можно, представив цилиндр как совокупность окружностей, расположенных одна на другой так, чтобы образовалась стопка высотой h (представьте себе стопку подносов в ресторане и поймете, что я имею в виду).

А чему будет равна площадь поверхности цилиндра? Иными словами, сколько краски нам понадобится, чтобы покрасить все его внешние стороны, включая «крышку» и «донышко»? Держать ответ в памяти нет никакой необходимости – его можно получить в любой момент, условно разделив цилиндр на три части. Площади «крышки» и «донышка» будут равны πr². Значит, их общий вклад в площадь поверхности цилиндра составит 2πr². Чтобы узнать площадь третьей части, разрежем оставшийся «тубус» вдоль от верха до низа и разогнем его. У нас получится прямоугольник с шириной h и длиной 2πr (которая берется из длины прилегающей окружности). Его площадь будет равна 2πrh, что позволяет нам «собрать» формулу общей площади цилиндра:

A_{цилиндра} = 2πr² + 2πrh

Сфера есть трехмерный объект, в котором все наружные точки равноудалены от центра. Чему будет равен объем сферы с радиусом r? Начнем с того, что такого размера объект войдет в цилиндр, имеющий радиус r и высоту 2r, следовательно, его объем будет меньше πr²(2r) = 2πr³. По случайному стечению обстоятельств (надежно подкрепленному скрупулезными вычислениями) сфера займет ровно две трети этого пространства. Другими словами,

Формула для нахождения площади поверхности сферы выглядит еще проще, хотя путь к ней куда более тернист:

A_сферы = 4πr²

Давайте завершим раздел примерами, где у π появляется вкус мороженого и пиццы. Представьте себе рожок мороженого (также известный как конусовидный стаканчик) с высотой h и радиусом верхней окружности r. Длину образующей конуса – линии, проведенной от его кончика к любой точке верхней окружности – обозначим буквой s (самый простой способ ее вычислить – теорема Пифагора, потому что h² + r² = s²).

Конус этот легко уместится в цилиндр радиусом r и высотой h, поэтому неудивительно, что его объем будет меньше πr²h. Зато удивительно (и при этом очевидно без всяких вычислений) то, что меньше он будет ровно в 3 раза. Другими словами,

И хотя вычисления здесь и в самом деле совершенно не нужны, отказать себе в удовольствии, которое дарит нам эта красота и простота, совершенно невозможно: площадь поверхности конуса равна

A_конуса = πrs

Ну, и наконец, пицца, имеющая радиус z и толщину a, как видно на рисунке. Каков будет ее объем?

Это лакомство – не что иное, как необычной формы цилиндр (радиус z, высота a), объем которого равен

V = πz²a

Немного переделаем эту формулу – уверен, у вас слюнки потекут:

V = pi z z a

В том, что число π появляется в площадях и длинах всех кругообразных объектов, рассмотренных нами, ничего удивительного нет. Но только этим сфера его влияния не ограничивается – оно обнаруживается даже там, где, казалось бы, ему делать совершенно нечего.

Возьмем для примера множество n! подробно рассмотренное нами в главе 4. Казалось бы, причем тут окружности, эллипсы и прочие подобные фигуры и объекты – ведь оно нужно исключительно для того, чтобы подсчитывать дискретные величины. Мы знаем, что значение его вырастает стремительно, причем настолько, что до сих пор нет ни одного более или менее удобного и легкого способа его просчитать. Например, чтобы вычислить значение 100 000! нам потребуется несколько тысяч операций умножения. И все-таки один способ есть – столь же хитрый, сколь и полезный. Основан он на формуле Стирлинга, которая выглядит как

и в которой e = 2,71828… (e – это еще одно важное иррациональное число, которое ждет вашего внимания в главе 10). Компьютер может подсчитать это до четырех значащих цифр – например, 64! = 1,269 × 10⁸⁹. А согласно формуле Стирлинга, 64! ≈ (64/e)⁶⁴√(128π) = 1,267 × 10⁸⁹. (Есть ли легкий способ возвести число в 64-ю степень? Да, есть! Поскольку 64 = 2⁶, нам нужно взять 64/e и возвести его в квадрат шесть раз.)

Знаменитая колоколообразная (или гауссова) кривая, активно использующаяся в статистических исследованиях и некоторых экспериментальных науках, имеет высоту 1/√(2π) (подробнее о ней – в главе 10).

Встречается число π и в бесконечных суммах: как впервые наглядно показал Леонард Эйлер, сложение квадратов обратных величин положительных целых значений дает нам

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 +… = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… = π²/6

А если мы повторно возведем в квадрат каждое из значений выше, сумма обратных величин четвертой степени окажется равной

1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + 1/625 +… = π⁴/90

Формулу эту можно обобщить, распространив на любой ряд обратных величин всех четных степеней основания числа 2k. В ответе будет фигурировать π^2k, умноженное на рациональное число.

А что насчет нечетных обратных величин? В главе 12 мы увидим, что сумма обратных величин положительных значений бесконечна. При любой нечетной степени больше 1 получим что-то наподобие этого:

1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 +… =???

(это пример для кубов). Сумма здесь будет, по идее, конечной, вот только простой формулы для ее точного вычисления пока никто не нашел.

Невероятно, но факт: π всплывает даже в задачах, связанных с вероятностью. Например, если вы выберете два случайных больших числа, вероятность того, что у них не будет ни одного общего простого множителя, составит чуть больше 60 %. Это приблизительно. А если точно, то 6/π² = 0,6079…. И то, что этот результат является обратной величиной для одной из посчитанных нами чуть выше бесконечных сумм – вовсе не совпадение.

К тому, что число π немного превышает 3, вы вполне можете прийти самостоятельно – для этого достаточно просто аккуратно все подсчитать. Но сначала нужно найти ответы на парочку вопросов. Во-первых, можно ли доказать соседство π и 3, не проводя специальных измерений? Во-вторых, существует ли для π какое-нибудь более удобоваримое представление (скажем, формула или простая дробь)?

На первый вопрос можно ответить, нарисовав окружность с радиусом 1, площадь который, как нам уже известно, равна π1² = π. На рисунке чуть ниже этот круг вписан в квадрат с длиной сторон, равной 2. Так как площадь квадрата очевидно больше площади круга, получаем, что π должно быть меньше 4.

С другой стороны, в круг можно вписать шестиугольник – так, чтобы все шесть его вершин были расположены на окружности, причем на равном расстоянии друг от друга. Каким будет периметр этого шестиугольника? Разобьем его на шесть треугольников, величина центрального угла каждого из которых составит 360°/6 = 60°, а две стороны будут радиусами круга с длиной, равной 1 (что говорит о том, что все эти треугольники – равнобедренные). Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, оставшиеся два угла должны быть равны между собой, то есть величина каждого составит 120°/2 = 60° – так мы узнаем, что треугольники не просто равнобедренные, но еще и равносторонние – с длиной сторон 1. Значит, площадь шестиугольника равна 6. А так как она должна быть меньше длины окружности в 2π (потому что круг очевидно больше шестиугольника), получаем 6 < 2π и π > 3. Так мы и приходим к желаемому

3 < π < 4Отступление

Можно на этом не останавливаться и попытаться еще сильнее сократить возможный разброс – для этого нам понадобятся полигоны с бóльшим количеством сторон. Так, если мы окружим единичный круг не квадратом, а шестиугольником, у нас получится доказать, что π < 2√3 = 3,46….

Еще раз: шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, каждый из них в свою очередь разбивается на 2 прямоугольных. Если длина меньшего катета равна x, длина гипотенузы составит 2x. По теореме Пифагора x² + 1 = (2x)². Поиски x приводят нас к x = 1/√3. Значит, периметр шестиугольника составит 12/√3 = 4√3, а так как он должен быть больше длины окружности (2π), то π должно быть меньше 2√3 (смотрите-ка, мы пришли к тому же заключению, что и при сравнении площади окружности с площадью шестиугольника).

Следуя той же логике чередования «вписанных» и «описывающих» полигонов, состоящих последовательно из 12, 24, 48 и 96 сторон, один из величайших древнегреческих математиков Архимед сумел доказать, что 3,14103 < π < 3,14271, что сводится к немногим более простой формуле

Есть несколько простых дробей, которые более-менее соотносятся со значением π. Например,

Лично мне больше всего нравится последняя. И не только потому, что она совпадает с π в 6 из всего множества знаков после запятой, но и потому, что использует первые три нечетных числа (причем по два раза и по порядку!): две единицы, две тройки и две пятерки.

Не знаю, как у вас, но у меня руки прямо-таки чешутся найти такую простую дробь, которая полностью бы соответствовала π, – с целыми величинами в роли как числителя, так и знаменателя (чтобы не было соблазна сжульничать и написать что-нибудь вроде Но в 1768 году немец Иоганн Генрих Ламберт доказал, что любые подобные поиски заранее обречены на провал, потому что число π есть величина иррациональная.

Может быть, тогда можно представить его в виде квадратов или кубов простых чисел? Ведь есть же, например, √10 = 3,162…, что очень близко к желаемому результату. Однако в 1882 году другой немецкий математик, Фердинанд фон Линдеман, доказал, что π есть величина не просто иррациональная, но трансцендентная – такая, которая не является корнем ни одного многочлена с целым коэффициентом (число √2, например, будет иррациональным, но не трансцендентным, потому что представляет собой корень многочлена x² – 2).

Впрочем, представить π в простом дробном виде все же можно. Правда, это будет не одна дробь, а сумма или произведение нескольких – вплоть до бесконечности. В главе 12, например, мы увидим, что

Формула эта настолько прекрасна, даже обворожительна, что даже не хочется верить, что π с ее помощью вычислять придется очень и очень долго: после трехсотого элемента мы будем настолько же далеко от заветного 3,14…, насколько далеко от него банальное 22/7.

А вот еще одна недурная попытка, называемая формулой Уоллиса, – представление π в виде бесконечного (то есть считать придется все равно очень долго, пусть и не настолько, насколько в случае с суммой) произведения:

Число π продолжает будоражить самые светлые умы и по сей день. С его помощью даже испытывают суперкомпьютеры на быстродействие и точность вычислений – можете себе представить, насколько оно просчитано «в глубину» – на триллионы цифр после запятой. Практического толку от такой точности, конечно, чуть: даже 40 знаков π достаточно, чтобы просчитать размеры пределов наблюдаемой Вселенной с точностью до радиуса одного атома водорода!

Число π – уже почти религия. У ее последователей даже праздник свой есть, он так и называется – День числа π – и празднуется 14 марта (3-й месяц, 14-й день) – в день рождения Альберта Эйнштейна. В честь праздника энтузиасты пекут пироги на математическую тему, надевают маски автора теории относительности и участвуют в конкурсах по воспроизведении наизусть как можно большего количества знаков после тройки и запятой. Рядовой участник такого конкурса помнит, как правило, от нескольких их десятков до нескольких сотен. Рекорд же принадлежит китайскому студенту Чао Лю, добравшемуся в 2005 году до 67 891 цифры! В Книге рекордов Гиннесса говорится, что на одно лишь оглашение числа у него ушло больше 24 часов, на запоминание – около четырех лет.

Вот первые 100 цифр π:

π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375

105820974944592307816406286208998628034825342117067…

Как только люди не пытались сохранить их в памяти! Один из самых популярных методов – составлять предложения-«запоминалки», в которых количество букв в каждом слове равно числовому значению соответствующей цифры. Пожалуй, наиболее известные из них – английские «How I wish I could calculate pi»[23] (охватывает 7 знаков: 3,141592) и «How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics»[24] (а здесь этих знаков уже 15).

Самая, пожалуй, забавная из них – пародия на знаменитого «Ворона» Эдгара Аллана По, созданная в 1995 году Майком Китом[25] для первых 740 знаков числа π. Одна лишь первая строчка (вместе с именем автора и заглавием) покрывает 42 цифры. Слово из 10 букв считается цифрой 0.

Позже Кит переработал и дополнил свой опус – так родилась его знаменитая «Кадеическая каденция»[26] (Cadaeic Cadenza) – уникальное произведение, в котором «зашифровано» 3835 цифр числа π. (Слово «Cadaeic» – тоже своего рода «шифр» π, в основе которого лежат порядковые номера букв латинского алфавита: C – 3, A – 1, D – 4, A – 1, E – 5, I – 9, C – 3. Сейчас оно стало термином, обозначающим жанр подобного рода поэтических экспериментов.) Кроме «Ворона», в нее входят пародии на другие известные стихи, вроде «Бармаглота» Льюиса Кэрролла[27]. Самым грандиозным трудом Кита, без сомнений, является «Во сне: грезы о первом десятке тысяч цифр числа π»

У этого метода есть один существенный недостаток: даже выучив наизусть все эти длинные предложения, стихотворения и целые рассказы, вы вряд ли сможете моментально определить количество букв в произносимых вами словах.

Мне больше по душе другой «шифр» – буквенный, в котором каждая цифра представлена одной или несколькими родственными согласными[28]:

Основная задача тригонометрии – решать задачи, которые нельзя решить методами классической геометрии. Вот, смотрите сами.

Вопрос: Как измерить высоту горы, если в нашем распоряжении только транспортир и калькулятор?

Сделать это можно пятью разными способами. Причем первые три из них не имеют вообще никакого отношения к математике!

Способ 1 (или метод решения «в лоб»): Заберитесь на вершину горы и сбросьте с нее калькулятор. (Это потребует определенных усилий). Засеките время, за которое он долетит до земли (или дождитесь вопля восходителя внизу). Если у вас получилось t секунд, то, проигнорировав эффекты сопротивления воздуха и скорости падения, вы определите, что высота горы составляет примерно 4,9t² метров (полистайте учебник физики, если не верите). Недостатки этого метода очевидны: и сопротивление воздуха, и скорость падения – показатели достаточно важные и могут сильно сказаться на результате. А еще вы останетесь без калькулятора и, возможно, и без встроенного в него секундомера, который необходим для измерения времени падения. Но есть и преимущества: транспортир останется в целости и сохранности, ведь в этом эксперименте он вам вообще не нужен.

Способ 2 (или метод загорелых альпинистов): Подойдите к смотрительнице местных красот (желательно симпатичной и дружелюбно настроенной) и предложите ей свой новенький блестящий транспортир в обмен на информацию о высоте горы. Если смотрительниц поблизости не наблюдается, найдите самого загорелого альпиниста (чем сильнее загар, тем больше времени он проводит на вершине и, следовательно, может знать ответ на ваш вопрос). Основное преимущество этого метода – у вас появится новый друг и калькулятор будет цел). Если ответ альпиниста вызовет у вас сомнения, всегда можно забраться на вершину и прибегнуть к способу № 1. Недостатки – у вас могут конфисковать транспортир и обвинить в попытке дать взятку должностному лицу.

Способ 3 (метод указателей): Перед тем как применять способы 1 или 2, поищите внизу табличку, на которой будет указана высота горы. Несомненное преимущество данного метода заключается в том, что вам не придется жертвовать своим оборудованием.

Если же ни один из этих вариантов вас не устраивает, придется поискать более математические методы, о которых и пойдет речь в этой главе.

Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих корней: trigon и metria, сочетание которых буквально означает «измерение треугольника».

Равнобедренный прямоугольный треугольник. Как следует из названия, один из его углов равен 90°, а два других равны между собой, то есть по 45° (не забыли, что сумма углов треугольника равна 180°?). Если предположить, что длина каждого катета составляет 1, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна √(1² + 1²) = √2. И, кстати, такое же соотношение сторон – 1: 1: √2, – будет у каждого равнобедренного прямоугольного треугольника (посмотрите на рисунок).

Треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, а все углы – по 60°. Если мы разделим такой треугольник на две конгруэнтные части (как показано ниже), у нас получатся два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если длины всех сторон изначального треугольника равны 2, будут равны и 2 гипотенузы каждой из его прямоугольных половинок. Длины меньших катетов при этом составят 1, а бо́льших, как следует из теоремы Пифагора, – √(2² + 1²) = √3. Эта пропорция – 1: √3: 2 – также будет справедлива и в отношении любого треугольника с углами в 30°, 60° и 90° (это просто, как 1, 2, √3). В частности, при гипотенузе длиной 1 длины катетов составят 1/2 и √3/2.

Отступление

Единство (a, b, c), в котором a, b и c суть положительные целые величины, а a² + b² = c², называют Пифагоровой тройкой. Самая простая из таких троек (и наименьшая по значению величин) – (3, 4, 5). Общее же их количество неограниченно: просто увеличиваем треугольник сначала до (6, 8, 10), затем до (9, 12, 15) и т. д., до скольки угодно, хоть до (300, 400, 500). Но есть куда более интересный и остроумный способ создания таких троек. Возьмите два любых положительных числа m и n, где m > n. Допустим, что

a = m² – n²b = 2mnc = m2 + n2

Обратите внимание: a² + b² = (m² – n²)² + (2mn)² = m⁴ + 2m²n² + n⁴, что равно (m² + n²)² = c², поэтому тройка (a, b, c) является пифагоровой. Например, если m = 2, а n = 1, получим (3, 4, 5); (m, n) = (3, 2) даст (5, 12, 13); (m, n) = (4, 1) – (15, 8, 17); (m, n) = (10, 7) – (51, 140, 149) и т. д. Самое интересное, что с помощью этого метода можно создать абсолютно любую пифагорову тройку (доказательство можно найти в любой книге по теории чисел).

Вся тригонометрия основана на двух очень важных функциях – синусе и косинусе. Возьмем треугольник ABC (вроде того, что изображен чуть ниже) и обозначим длину гипотенузы буквой c, а длины катетов, лежащих напротив ∠A и ∠B, – буквами a и b соответственно.

Синус угла ∠A (который в прямоугольном треугольнике должен быть острым) будем искать по формуле

Косинус этого угла – по формуле

Имейте в виду, что любой прямоугольный треугольник с углом A будет пропорционален нашему изначальному треугольнику, поэтому значения синуса и косинуса A от размеров треугольника не зависят.

Еще одна не менее популярная в тригонометрии функция – тангенс. Для угла A он представляет собой

в прямоугольном треугольнике –

Для всех этих формул есть свои специальные «запоминалки». Один мой знакомый, например, любил повторять: «Сильно противный Глеб, который прилег на гриб, так противно прилег». Здесь «СИльно» означает синус, все «ПРОТИВное» – противолежащий катет, «КОторый» – косинус, «ПРИЛег» – прилежащий катет, «ТАк» – тангенс, а слова, начинающиеся с буквы «г» – гипотенузу (то есть получаем подсказку насчет синуса, потом косинуса, а потом и тангенса).

Итак, в треугольнике с длинами сторон 3, 4 и 5 имеем

А что с углом B? Аккуратно подсчитаем и получим

то есть синус B будет равен косинусу A, а косинус B – синусу A! Волшебного в этом абсолютно ничего нет: просто сторона, противолежащая ∠A, является прилежащей к ∠B, и наоборот – сторона, прилежащая к ∠A, является противолежащей ∠B. Гипотенуза же у этих двух углов так и вовсе одна на двоих.

Так как ∠A + ∠B = 90°, мы можем сделать вывод, что для любого острого угла справедливо следующее:

sin (90° – A) = cos A cos (90° – A) = sin A

То есть если в треугольнике ABC ∠A равен 40°, то при ∠B = 50° sin 50° = cos 40°, а cos 50° = sin 40°. Другими словами, косинус данного угла (40°) равен синусу дополнительного (50°).

Кроме синуса, косинуса и тангенса в тригонометрии есть еще три элементарные функции. Используются они, правда, не так часто, как уже известные нам, но почему бы не упомянуть и их? Это секанс, косеканс и котангенс, и смысл их заключается в том, что

Приставка «ко-» означает здесь те же отношения дополнения, что и в паре «синус – косинус», а именно: для любого острого угла прямоугольного треугольника sec (90° – A) = csc A, а tan (90° – A) = cot A.

Чтобы найти косинусы, тангенсы и все остальное, достаточно знать значение синуса одного из углов, это очевидно. Но ведь и его (скажем, sin 40°) тоже надо как-то найти, правда? Самый простой способ – воспользоваться калькулятором: просто включаем его и узнаем, что sin 40° = 0,642…. Откуда это значение берется, мы узнаем чуть позже.

Некоторые значения тригонометрических функций встречаются в расчетах настолько часто, что лучше всего их просто запомнить. Вернемся к треугольнику с углами 30°, 60° и 90° и вспомним про соотношение его сторон – 1: √3: 2. Получается, что

Стороны же треугольника с углами 45°, 45° и 90° имеют соотношение 1: 1: √2, следовательно

sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2

А так как tan запомнить придется только то, что tan 45° = 1 и что tan 90° определить невозможно, потому что cos 90° = 0.

С такими знаниями пора вернуться к подножию нашей горы. Только сначала давайте остановимся у первого попавшегося дерева и попробуем рассчитать его высоту.

Предположим, что мы не дошли до ствола 3 метра и что угол между землей под нашими ногами и верхушкой дерева составляет 50°, как изображено на рисунке. (Определить угол, кстати, можно либо с помощью приложения, которое в наши дни есть на многих смартфонах, либо посредством простого устройства, называющегося клинометр, которое легко собирается из транспортира, соломинки для питья и канцелярской скрепки.)

Обозначим высоту буквой h. То есть

Следовательно, h = 3 tan 50°. Последний, если верить калькулятору, равен 1,19…. Получаем 3(1,19…) ≈ 3,57, что и является высотой дерева.

Теперь пойдем к горе – испытаем первый из наших математических методов. Сложность его в том, что мы даже примерно не сможем прикинуть расстояние до центра подножья – то есть вместе с высотой горы мы получаем уравнение с двумя неизвестными. Предположим, что мы измерили угол от точки, в которой находимся, до вершины и получили 40°, потом отошли на 300 метров дальше и получили уже 32° (см. рисунок). Что нам теперь с этой информацией делать?

Способ 4 (метод тангенсов): Обозначим высоту горы h, а расстояние до центра ее подножья в изначальной позиции – буквой x (то есть x это длина отрезка CD). Калькулятор говорит, что в треугольнике BCD tan 40° ≈ 0,839, следовательно

что можно представить как h = 0,839x. В треугольнике ABC имеем

что дает нам h = 0,625(x + 300) = 0,625x + 187,5.

Так как h в обоих случаях есть величина одинаковая, мы имеем полное право эти два уравнения соединить:

0,839x = 0,625x + 187,5

Решается это как x = 187,5/(0,214) ≈ 876. Значит, h приблизительно соответствует 0,839(876) ≈ 735, что и будет высотой горы.

Пока что наши знания о тригонометрических функциях ограничиваются прямоугольными треугольниками. Для решения повседневных задач этого, в принципе, более чем достаточно. Но разве вам не интересно узнать, как они ведут себя в других углах, а не только в тех, значения которых колеблются исключительно в диапазоне от 0° до 90° (ведь в прямоугольном треугольнике один из углов всегда прямой, а два оставшихся – острые)? Конечно, интересно, и именно этим мы и займемся в этом разделе – посмотрим на тригонометрические функции через призму единичного круга и разберемся в особенностях поведения синусов, косинусов и тангенсов углов других типов.

Надеюсь, вы не забыли, что единичным называется такой круг, радиус которого равен 1, а центр расположен в точке начала координат (0, 0). Для него отлично работает уравнение x² + y² = 1, которое получилось у нас в прошлой главе из теоремы Пифагора.

Давайте попробуем найти некую точку (x, y), расположенную на окружности выше и левее точки (1, 0) и образующую с центром круга и осью x острый угол A:

Для того чтобы найти x и y, нам нужно начертить прямоугольный треугольник и применить к нему наши формулы косинусов и синусов:

Другими словами, значения координат (x, y) составят (cos A, sin A). Если обобщать, то при радиусе, равном r, (x, y) = (r cos A, r sin A).

Для любого угла A нам нужно определить (cos A, sin A), то есть место расположения на окружности его вершины. При этом cos A будет соответствовать значению координаты по оси x, а sin A – по оси у, вот так:

А вот еще одно общее представление. Только теперь мы разделим единичный круг на много углов с шагом 30° (и сделаем один шаг в 45° для большей наглядности) – так мы получим углы из уже очень хорошо знакомых нам треугольников. Помните, я советовал вам выучить значения косинусов и синусов для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°?

К углам этим можно прийти с помощью простого отражения значений, содержащихся в первой четверти окружности.

Прибавление или вычитание 360° на величину угла никак не повлияет (мы просто обойдем вокруг него с одной или другой стороны), а значит, для любого ∠A

sin (A ± 360°) = sin A cos (A ± 360°) = cos A

Имея дело с отрицательными значениями углов, мы двигаемся по окружности слева направо: так, угол, равный –30°, ничем, по сути, не отличается от угла, равного 330°. Обратите внимание, что сдвиг на A градусов по часовой стрелке приводит нас к той же x-координате, что и сдвиг на те же A градусов против часовой стрелки. Y-координата же при этом сменит знак на противоположный. Другими словами, для любого значения угла A

cos (–A) = cos A sin (–A) = –sin A

Например,

cos (–30°) = cos 30° = √3/2 sin (–30°) = –sin 30° = –1/2

Обратное происходит, когда мы «отзеркаливаем» ∠A через ось y. Значение y-координаты получившегося таким образом дополнительного угла 180 – A остается неизменным, а значение x-координаты меняет знак на противоположный. То есть

cos (180 – A) = –cos A sin (180 – A) = sin A

Скажем, при A = 30°

cos 150° = –cos 30° = –√3/2 sin 150° = sin 30° = 1/2

Остальные тригонометрические функции определяются по старой схеме (например, tan A = sin A/cos A).

Оси x и y «разрезают» поверхность окружности на четыре сектора-квадранта. Пронумеруем их римскими цифрами по часовой стрелке – I, II, III и IV, – начиная с правой верхней, то есть с диапазона углов от 0° до 90°. Квадрант II, таким образом, охватит диапазон от 90° до 180°, квадрант III – от 180° до 270°, а квадрант IV – от 270° до 360°. Обратите внимание, что в разных квадрантах разные тригонометрические функции будут вести себя по-разному: положительные значения синуса мы получим в квадрантах I и II, косинуса – в квадрантах I и IV, тангенса – в квадрантах I и III. Чтобы это запомнить, некоторые из моих учеников любят повторять «Все студенты таскают калькуляторы» (посмотрите на первые буквы в каждом слове этой «запоминалки»: «в» – «все функции» в квадранте I, «с» – «синусы» в квадранте II, «т» – «тангенсы» в квадранте III, «к» – «косинусы» в квадранте IV).

Ну и еще немного терминологии. Для определения неизвестных значений углов нужны обратные тригонометрические (циклометрические, круговые) функции. Например, обратным синусом 1/2 будет sin^–1(1/2)[32]. Такого рода функция говорит нам, что мы имеем дело с неким ∠A, синус которого равен 1/2. А так как мы знаем, что sin 30° = 1/2, получаем

sin^–1(1/2) = 30°

Функция sin^–1 (которая также называется арксинусом) всегда даст нам угол в диапазоне от –90° до 90°, но мы-то с вами знаем, что есть и другие углы с тем же значением синуса – синус 150°, например, будет также равен 1/2. То же происходит и с любым кратным 360° значением, прибавляемым к 30° или 150° – синусы будут равны.

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции:

∠A = sin^–1(3/5) = cos^–1(4/5) = tan^–1(3/4) ≈ 36,87° ≈ 37°

Самое время применять все эти знания на деле. В «геометрической» главе мы доказали теорему Пифагора, с помощью которой можно вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длины его катетов. Здесь же, в главе «тригонометрической», мы можем сделать практически то же самое для любого треугольника. В этом нам поможет закон косинусов.

Теорема (закон косинусов): Длина стороны c любого треугольника ABC, в котором стороны a и b образуют ∠C, соответствует

c² = a² + b² – 2ab cos C.

Для примера взгляните на изображенный ниже треугольник ABC. Между двумя его сторонами с длинами 21 и 26 лежит угол 15°. Согласно закону косинусов, длина третьей стороны с составит

c² = 21² + 26² – 2(21)(26) cos 15°

А так как cos 15° ≈ 0,9659, уравнение упрощается сначала до c² = 62,21, а потом и до c ≈ 7,89.

Отступление

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим три частных случая – в зависимости от того, будет ли ∠C прямым, острым или тупым. Если ∠C – прямой, его косинус будет равен cos 90° = 0, что упрощает закон косинусов до c² = a² + b², то есть до уже доказанной нами теоремы Пифагора.

Если ∠C – острый (как на рисунке), опустим перпендикуляр из ∠B к стороне AC до лежащей на ней точки D. Получим два треугольника. Применим теорему Пифагора к CBD – a² = h² + x² и придем к

h² = a² – x²

Треугольник же ABD можно просчитать как c² = h² + (b – x)² = h² + b² – 2bx + x², то есть

h² = c² – b² + 2bx – x²

Составим из двух равных h² частей уравнение:

c² – b² + 2bx – x² = a² – x²

Следовательно,

c² = a² + b² – 2bx

В треугольнике CBD cos C = x/a, поэтому x = a cos C. Следовательно, если ∠C является острым, то

c² = a² + b² – 2ab cos C

Если же ∠C – тупой, дополним треугольник ABC прямоугольным треугольником CBD, как на рисунке:

Для него, как и для получившегося большого, верна теорема Пифагора: a² = h² + x² и c² = h² + (b + x)². Как и в случае с острым ∠C, соединим уравнения:

c² = a² + b² + 2bx

В треугольнике CBD cos (180° – C) = x/a, то есть x = a cos (180° – C) = –a cos C. И мы вновь приходим к искомому:

c² = a² + b² – 2ab cos C☺

Кроме того с помощью функций можно рассчитать площадь треугольника.

Сопутствующая теорема: В любом треугольнике ABC со сторонами a и b и лежащим между ними ∠C

Отступление

Доказательство: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h равна Все три треугольника, рассмотренные при доказательстве закона косинусов, имеют основание b. Определим высоту h. В остроугольном треугольнике обратим внимание на то, что sin C = h/a, то есть h = a sin C. В тупоугольном треугольнике sin (180° – C) = h/a, поэтому опять имеем h = a sin (180° – C) = a sin C. В прямоугольном же треугольнике h = a, что равно a sin C, потому что C = 90°, а sin 90° = 1. Следовательно, так как во всех трех случаях h = a sin C, площадь треугольников составит что и требовалось доказать.

Следствия этой теоремы очевидны:

Другими словами, в треугольнике ABC (sin C)/c равен его удвоенной площади, разделенной на произведение длин трех его сторон. Какой угол выбрать, по большому счету не так уж и важно – (sin B)/b или (sin A)/a дадут нам тот же результат. И это доказывает одну очень полезную теорему.

Теорема (закон синусов): В любом треугольнике ABC, длины сторон которого соответственно равны a, b и c,

Закон синусов – это еще один способ вычислить высоту нашей горы. На этот раз мы сосредоточимся на a – диагонали, пролегающей между нами и вершиной:

Способ № 5 (закон синусов): В треугольнике ABD ∠BAD = 32°, а ∠BDA = 180° – 40° = 140°. Следовательно, ∠ABD = 8°. Согласно закону синусов получаем

Умножим обе части на sin 32°, что даст нам a = 300 sin 32°/ sin 8° ≈ 1143 метров. А так как sin 40 ≈ 0,6428 = h/a, то

h = a sin 40 ≈ (1143)(0,6428) = 735

что полностью совпадает с ответом, к которому мы пришли в прошлом разделе.

Отступление

Не менее замечательна в этом отношении формула Герона, с помощью которой можно найти площадь треугольника по длинам его сторон a, b и c. Сначала мы находим полупериметр p:

А потом и площадь S:

S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

Например, если взять треугольник со сторонами 3, 14 и 15 (узнаете первые пять цифр числа π?), полупериметр будет равен (3 + 14 + 15)/2 = 16, а площадь, таким образом, – √(16(16 – 3)(16 – 14)(16 – 15)) = √416 ≈ 20,4.

Несложно, правда? Уверен, внимательный читатель не сможет не заметить здесь закон косинусов, слегка приправленный алгеброй.